1、08 相似形高中必备知识点 1：平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平行线 123,l（如图 3.1-1） ，直线 a交 123,l于点,ABC， 2,3，另作直线 b交 123,l于点 ,ABC，不难发现.我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图， 123/l，有 ABDECF=.当然，也可以得出 ABDECF.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.典型考题【
2、典型例题】已知：12，EG 平分 AEC（1 ）如图，MAE45 ， FEG 15，NCE 75 求证：AB CD ；（2 ）如图，MAE140，FEG 30，当NCE 时，AB CD ；（3 ）如图，请你直接写出 MAE 、FEG、NCE 之间满足什么关系时，ABCD；（4 ）如图，请你直接写出 MAE 、FEG、NCE 之间满足什么关系时，ABCD【变式训练】已知，如图，12，DC FE，DE AC，求证：FE 平分 BED.【能力提升】如图，已知 ADBC，FGBC，垂足分别为 D，G.且1 2 ，猜想：DE 与 AC 有怎样的关系？说明理由高中必备知识点 2：平行线分线段成比例定理的推
3、论推论 1：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例.推论 2：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.在 ABCV中， D为 BAC的平分线，求证： ABDC=.证明 过 C 作 CE/AD，交 BA 延长线于 E，/,.BADE=QAD 平分 ,AC由 /知 ,E=,EAC=即BD.上述试题的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.典型考题【典型例题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应
4、成比例已知：如图，ABC 中， AD 是角平分线求证： DCBA证明：过 C 作 CEDA，交 BA 的延长线于 E 1E,23 AD 是角平分线， 123AEC 又 D/，B CA（1 ）上述证明过程中，步骤处的理由是什么？（写出两条即可）（2 ）用三角形内角平分线定理解答：已知，ABC 中，AD 是角平分线，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm ，求 BD 的长；DAB C（3 ）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比请你通过研究ABD 和ACD 面积的比来证明三角形内角平分线定理【变式训练】如图，PB 和 PC 是ABC 的两条外角平分线。求证：BPC=90-
5、12BAC根据第问的结论猜想：三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？【能力提升】在直角三角形 中， 的角平分线交 于点 ,交 于点 ,取 ,连接 . 求证： ; .=高中必备知识点 3：射影定理我们把下面试题的结论称为射影定理：如图,在直角三角形 ABC 中， BAC为直角， DBC于 .求证：（1） 2ABD=， 2=；（2）证明 （1）在 RtBACV与 tD中， B=，BA D， 2,.C=即 同理可证得 2ACDB=.（2）在 RtV与 t中， 90oCADB=-=，B ， 2,.AC 即典型考题【典型例题】如图，ABC 是等腰直角三角形，ABBC，O 是
6、ABC 内部的一个动点，OBD 是等腰直角三角形，OBBD（1 ）求证：AOBCDB ；（2 ）若COD 是等腰三角形，AOC140，求AOB 的度数【变式训练】如图所示， ACB和 ED都是等腰直角三角形， ACB的顶点 在 ECD的斜边DE上，若13，求 的值【能力提升】如图，ADBC，垂足为 D如果 CD1，AD 2，BD4，(1)求出 AC、AB 的长度；(2)ABC 是直角三角形吗？证明你的结论专题验收测试题1如图，点 A、B、C 在半径为 9 的O 上，OABC， OAB=70，则弧 AC 的长为（ ）A 6B 7C 2D632如图，已知 ab，点 A 在直线 a 上，点 B、C
7、在直线 b 上，1120，250，则3 为（ ）A70 B60 C45 D303给出下列说法：（1 ）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（2 ）不相等的两个角不是同位角；（3 ）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；（4 ）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做该点到直线的距离；（5 ）过一点作已知直线的平行线，有且只有一条。其中真命题的有（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个4下列说法不正确的是（ ）A过任意一点可作已知直线的一条平行线 B在同一平面内两条不相交的直线是平行线C在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D直线外一点与直线上各点连接
8、的所有线段中，垂线段最短5如图，a b，点 B 在直线 b 上，且 ABBC，若1=36，则2 的大小为（ ）A34 B54 C56 D666如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含 30角直角三角板的斜边与纸条一边重合，含 45角的三角板的一个顶点在纸条的另一边，则 1的度数是（ ）A14 B15 C20 D307如图，直线 a，b 被直线 c 所截，下列条件中，不能判定 ab（ ）A2=4 B1+4=180 C5=4 D 1=38在同一平面内，设 a、b 、c 是三条互相平行的直线，已知 a 与 b 的距离为 4cm，b 与 c的距离为 1cm，则
9、 a 与 c 的距离为（ ）A1cm B3cm C5cm 或 3cm D1cm 或 3cm9如图所示，直线 c截直线 a， b，给出下列以下条件： 48； 17； 26； 47180其中能够说明 ab 的条件有A 1个 B 2个 C 3个 D 个10 两点之间线段最短；同旁内角互补；若 ，则点 是线段 的中点；=经过一点有且只有一条直线与这条直线平行，其中正确的说法有 A 个 B 个 C 个 D 个1 2 3 411如图，A、B、C 表示三位同学所站位置，C 同学在 A 同学的北偏东 方向，在 B 同学的北偏西 方向，那么 C 同学看 A、B 两位同学的视角 _鈭燗 =12将一个直角三角板和一
10、把直尺如图放置，如果 43，则 的度数是_13如图，四边形 ABCD 中，点 MN 分别在 AB，AC 上， C=80，按如图方式沿着 MN 折叠，使 FNCD，此时量得 FMN=40，则B 的度数是_14如图，四边形 ABCD中， 0/,1BA，则 B_.15如图，AOB 的一边 OA 为平面镜，AOB=3745 ，在 OB 边上有一点 E，从点 E 射出一束光线经平面镜反射后，反射光线 DC 恰好与 OB 平行，则 DEB 的度数是_16某同学在研究传统文化“抖空竹” 时有一个发现：他把它抽象成数学问题如图所示，已知 ABCD ，BAE=87 ， DCE=121 ，则E 的度数是 _掳 掳
11、17如图，平面直角坐标系中，ABCD 为长方形，其中点 A、C 坐标分别为（ 4，2） 、（1 ， 4） ，且 ADx 轴，交 y 轴于 M 点，AB 交 x 轴于 N（1 ）求 B、D 两点坐标和长方形 ABCD 的面积；（2 ）一动点 P 从 A 出发（不与 A 点重合） ，以 个单位/秒的速度沿 AB 向 B 点运动，在 P12点运动过程中，连接 MP、OP，请直接写出AMP、MPO、PON 之间的数量关系；（3 ）是否存在某一时刻 t，使三角形 AMP 的面积等于长方形面积的 ？若存在，求 t 的值13并求此时点 P 的坐标；若不存在请说明理由18如图，直线 AB/CD，BC 平分AB
12、D ，1=54 ，求2 的度数.19如图，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，点 F 在 BA 的延长线上，点 E 在线段 CD 上，EF 与AC 相交于点 G，BDA+ CEG=180（1 ） AD 与 EF 平行吗？请说明理由；（2 ）若点 H 在 FE 的延长线上，且EDH=C，则F 与H 相等吗，请说明理由20已知：如图，1=2，3=E 求证：AD BE21如图，1ACB ，23 ，求证：BDCDGF18022如图，直线 AB、CD 相交于点 O已知BOD=75 ，OE 把AOC 分成两个角，且AOE= 23EOC（1 ）求AOE 的度数；（2 ）将射线 OE 绕点 O 逆时针旋转
13、（0360）到 OF如图 2，当 OF 平分BOE 时，求DOF 的度数；若AOF=120 时，直接写出 的度数.专题 08 相似形高中必备知识点 1：平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平行线 123,l（如图 3.1-1） ，直线 a交 123,l于点,ABC， 2,3，另作直线 b交 123,l于点 ,ABC，不难发现.我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图， 123/l，有 ABDECF=.当然，也
14、可以得出 ABDECF.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.典型考题【典型例题】已知：12，EG 平分 AEC（1 ）如图，MAE45 ， FEG 15，NCE 75 求证：AB CD ；（2 ）如图，MAE140，FEG 30，当NCE 时，AB CD ；（3 ）如图，请你直接写出 MAE 、FEG、NCE 之间满足什么关系时，ABCD；（4 ）如图，请你直接写出 MAE 、FEG、NCE 之间满足什么关系时，ABCD【答案】 （1）见解析；（2）当NCE80时，AB CD；（ 3） 当 2FEG+NCE MAE时 AB CD；（4 ）当MA
15、E+2FEG +NCE360时，ABCD.【解析】（1 ） 1 2AB EFMAEAEF45，且FEG15AEG60EG 平分AECAEGCEG60CEF75ECN 75FECECNEFCD 且 ABEFAB CD（2 ） 1 2AB EFMAE+FEA 180且MAE140AEF40FEG30AEG70EG 平分AECGECAEG70FEC100AB CD，AB EFEFCDNCE +FEC 180NCE 80当NCE 80时，ABCD（3 ） 1 2AB EFMAE+FEA 180FEA180MAE，AEGFEA+FEG180MAE+ FEGEG 平分AECGECAEGFECGEC +FE
16、G180 MAE +FEG +FEG 180MAE +2FEGAB CD，AB EFEFCDFEC+NCE180180MAE+2FEG+NCE 1802 FEG+NCEMAE当 2FEG+NCEMAE 时 ABCD（4 ） 1 2AB EFMAE+FEA 180FEA180MAE，AEGFEGFEAFEG180+MAEEG 平分AECGECAEGFECFEA +2AEG180MAE+2 FEG 360+2MAEMAE+2FEG180AB CD，AB EFEFCDFEC+NCE180MAE+2FEG180+ NCE180MAE+2FEG+NCE360当MAE+2FEG+NCE 360时，ABCD
17、【变式训练】已知，如图，12，DC FE，DE AC，求证：FE 平分 BED.【答案】详见解析【解析】DCFE， 13，CDE4，DE AC，2CDE，24 ，12 ，34 ，EF 是BED 的平分线【能力提升】如图，已知 ADBC，FGBC，垂足分别为 D，G.且1 2 ，猜想：DE 与 AC 有怎样的关系？说明理由【答案】DE AC理由见解析.【解析】DEAC理由如下：ADBC，FGBC，ADG=FGC=90 ，ADFG，1= CAD，1= 2，CAD=2 ，DE AC高中必备知识点 2：平行线分线段成比例定理的推论推论 1：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线） ，所得的
18、对应线段成比例.推论 2：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.在 ABCV中， D为 BAC的平分线，求证： ABDC=.证明 过 C 作 CE/AD，交 BA 延长线于 E，/,.BADE=QAD 平分 ,AC由 /知 ,E=,EAC=即ABDC=.上述试题的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.典型考题【典型例题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例已知：如图，ABC 中， AD 是角平分线求证： DCBA证明
19、：过 C 作 CEDA，交 BA 的延长线于 E 1E,23 AD 是角平分线， 123AEC 又 D/，B CA（1 ）上述证明过程中，步骤处的理由是什么？（写出两条即可）（2 ）用三角形内角平分线定理解答：已知，ABC 中，AD 是角平分线，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm ，求 BD 的长；DAB C（3 ）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比请你通过研究ABD 和ACD 面积的比来证明三角形内角平分线定理【答案】 （1）平行线的性质定理； 等腰三角形的判定定理； 平行线分线段成比例定理；（2）4cm （3）证明见解析【解析】（1 ）证明过程中用到的定理有
20、：平行线的性质定理；等腰三角形的判定定理；平行线分线段成比例定理；（2 ） AD 是角平分线，BDAC，又AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，764B，BD=21（cm ） （3 ） ABD 和ACD 的高相等，可得：ABD 和ACD 面积的比=1122BDhABhCC，可得：BDAC【变式训练】如图，PB 和 PC 是ABC 的两条外角平分线。求证：BPC=90- 12BAC根据第问的结论猜想：三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？【答案】证明见解析锐角三角形【解析】证明：PB 和 PC 是ABC 的两条外角平分线，P=180(PBC+ PCB)=180
21、12 (CBD+BCE )=180 12 (A +ACB+BCE)=180 12 (A +180)=90 12A；根据的结论，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，故该三角形是锐角三角形。【能力提升】在直角三角形 中， 的角平分线交 于点 ,交 于点 ,取 ,连接 . = 求证： ; .=【答案】(1)见解析 ;(2)见解析.【解析】. 证明：作 DHAB 于 H，CE AB，CEB DHB90，CE DH，12 ，又ACB 90,AD 平分BAC,DH DC ，34 ，56 903 ，7 904，57 ，CDCF，DH CF，BG
22、CD，BGGDCDGD，即 BD GC，在BHD 和GFC 中BHD GFC，BHD GFC90，GFCBEC 90 ，FG AB.高中必备知识点 3：射影定理我们把下面试题的结论称为射影定理：如图,在直角三角形 ABC 中， BAC为直角， DBC于 .求证：（1） 2ABD=， 2=；（2）证明 （1）在 RtBACV与 tD中， B=，BA D， 2,.C=即 同理可证得 2.（2）在 t与 t中， 90oAD-=，RV C， 2,.ADBB=即典型考题【典型例题】如图，ABC 是等腰直角三角形，ABBC，O 是ABC 内部的一个动点，OBD 是等腰直角三角形，OBBD（1 ）求证：AO
23、BCDB ；（2 ）若COD 是等腰三角形，AOC140，求AOB 的度数【答案】 （1）详见解析；（2）AOB 的度数为 110或 95或 125【解析】（1 ） ABC 和OBD 是等腰直角三角形，AB BC，OBBD，ABCOBD 90 ，ABO+OBCCBD+OBC，ABOCBD，在ABO 和CBD 中，ABOCBD（SAS） ，AOBCDB；（2 ）设AOB 的度数为 x，则 CDBx，CDOx 45，CODCOBDOB360 140x45175x，OCD180 CDOCOD 50，当CDOCOD 时，x45175 x，解得：x110，当CDOOCD 时，x4550 ，解得：x 95
24、 ，当CODOCD 时，175x50，解得：x125，故AOB 的度数为 110或 95或 125【变式训练】如图所示， ACB和 ED都是等腰直角三角形， ACB的顶点 在 ECD的斜边DE上，若13，求 的值【答案】51【解析】如图, 连结 BDACB 与 ECD 都是等腰直角三角形ECD=ACB=90，E= ADC=CAB=45，EC=DC,AC=BC,AC 2+BC =AB 22AC 2=AB ECD-ACD=ACB-ACDACE=BCD.在AEC 和 BDC 中,ACBEDAEC BDC(SAS)AE=BD,E= BDC.BDC=45BDC+ADC=90即ADB=90AD 2+BD
25、=AB 2AD 2+AE -=2AC 2又13AEDAD= 3AE10AE 2=2AC51ACE故答案是:【能力提升】如图，ADBC，垂足为 D如果 CD1，AD 2，BD4，(1)求出 AC、AB 的长度；(2)ABC 是直角三角形吗？证明你的结论【答案】(1)AC= ，AB=2 ；(2) ABC 是直角三角形，理由见解析. 5 5【解析】(1)ADBC ， ADC= ADB=90，CD1 ，AD2，BD4，AC ，AB ， =2 (写成 不2+2=5 2+2 5 20算错)(2)AC ，AB2 ，BC CD +BD5 ，5 5AC 2+AB2BC 2=25，BAC=90 ， 即ABC 是直
26、角三角形.专题验收测试题1如图，点 A、B、C 在半径为 9 的O 上，OABC， OAB=70，则弧 AC 的长为（ ）A 6B 7C 2D63【答案】C【解析】解：连接 OB，OA=OB ，OBA=OAB=70，AOB=40，OABC，OBC=AOB=40，OB=OC，C=OBC=40 ，BOC=100，AOC=100+40=140，弧 AC 的长=1409782，故选：C2 如图，已知 ab，点 A 在直线 a 上，点 B、C 在直线 b 上，1120，250，则3 为（ ）A70 B60 C45 D30【答案】A【解析】解：ab ，1 120 ，ACD 120，250，3120 507
27、0，故选：A3 给出下列说法：（1 ）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（2 ）不相等的两个角不是同位角；（3 ）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；（4 ）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做该点到直线的距离；（5 ）过一点作已知直线的平行线，有且只有一条。其中真命题的有（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【答案】B【解析】根据两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故（1）不正确；同位角不一定相等，只有在两直线平行时，同位角相等，故（2）不正确；平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，故（3）正确；从直线外一点到这条直线的垂线段的长
28、度，叫做该点到直线的距离，故（4）不正确；过直线外一点作已知直线的平行线，有且只有一条，故（5）不正确.故选：B.4 下列说法不正确的是（ ）A过任意一点可作已知直线的一条平行线 B在同一平面内两条不相交的直线是平行线C在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短【答案】A【解析】平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故 A 不正确；在同一平面内两条不相交的直线是平行线，这是平行线的概念，故 B 正确；在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直，故 C 正确；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段
29、最短，故 D 正确；故选：A.5 如图，a b，点 B 在直线 b 上，且 ABBC，若1=36，则2 的大小为（ ）A34 B54 C56 D66【答案】B【解析】分析：根据 ab 求出3 的度数，然后根据平角的定义求出 2 的度数详解：ab ， 3=1=36， ABC=90， 2+3=90，2=9036=54，故选 B点睛：本题主要考查的是平行线的性质以及平角的性质，属于基础题型明白平行线的性质是解决这个问题的关键6 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含 30角直角三角板的斜边与纸条一边重合，含 45角的三角板的一个顶点在纸条的另一边，则 1的
30、度数是（ ）A14 B15 C20 D30【答案】B【解析】过 A 点作 ABa，利用平行线的性质得 ABb，所以 1=2，3=4=30，加上2+ 3=45，易得1=15详解：如图，过 A 点作 ABa，1= 2，a b，AB b，3= 4=30，而2+ 3=45，2=15，1=15故选：B点睛：本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等7 如图，直线 a，b 被直线 c 所截，下列条件中，不能判定 ab（ ）A2=4 B1+4=180 C5=4 D 1=3【答案】D【解析】如图，作 ，故答案为： 12 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果 43，则 的度数是_【答案】47【解析】首先过点 C 作 CHDE 交 AB 于 H，即可得 CHDEFG，然后利用两直线平行，同位角相等与余角的性质，即可求得 的度数解：如图，过点 C 作 CHDE 交 AB 于 H根据题意得：ACB=90，DEFG，CH DE FG，BCH=43，
