1、4.5三角形的中位线,A,B,C,D,E,两个点B、C被池塘隔开，只要在平地上选一点A,再分别找出线段AB，AC的中点D、E，并测出DE的长，就能求出BC的长，你知道为什么吗？,生活中的数学,合作学习,剪一刀,将一张三角形纸片剪成一张三角形和一张梯形纸片.,(1) 如果要求剪得的两个图形拼成一个平行四边形,剪痕的位置有什么要求?,A,B,C,D,E,概念学习,F,三角形有三条中位线,连结三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线.,合作学习,剪一刀,将一张三角形纸片剪成一张三角形和一张梯形纸片.,(1) 如果要求剪得的两个图形拼成一个平行四边形,剪痕的位置有什么要求?,(2) 那么如何把剪得的两
2、个图形平成一个平行四边形呢?,猜想：三角形的中位线和第三边有什么关系呢？,已知：如图，DE是ABC的中位线.求证：,证明：如图，以点E为旋转中心，把ADE绕点E，按顺时针方向旋转180，得到 CFE,A,B,C,D,E,F,则D,E,F在同一直线上， ADE CFE.,ADE=F，AD=CF，DE=EF,ABCF,又BD=AD=CF,四边形BCFD是平行四边形,A,B,C,E,D,F,返回,A,C,E,D,F,G,B,返回,证法三：如图，过点E作AB的平行线交BC于点F，过点A作BC的平行线交FE于点G AGBC EAG=ECF AE=EC, AEG=CEF AEGCEF(ASA) AG=FC
3、，GE=EF ABGF，AGBF 四边形ABFG是平行四边形 BF=AG=FC，AB=GF D为AB中点，GE=EF 四边形DBFE是平行四边形 DEBF，即DEBC，DE=BF=FC 即,三角形中位线定理,三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半.,几何语言：,DE是ABC的中位线（或AD=BD,AE=CE), 证明平行问题 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半,用 途,A,B,C,D,E,学以致用,两个点B、C被池塘隔开，只要在平地上选一点A,再分别找出线段AB，AC的中点D、E，并测出DE的长，就能求出BC的长，你知道为什么吗？,A,B,C,D,E,F,(1) DEF的周长与
4、ABC的周长有什么关系?,(2) 面积呢?,DEF的周长是ABC周长的一半,四分之一,在三角形ABC中，D、E、F为AB、AC、BC的中点，则,小试牛刀,1，三角形的三边长分别为3cm，6cm，7cm，它的3条中位线围成的三角形的周长是_.2，在RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，则连结两条直角边中点的线段长为_.3，已知三角形三边长之比为2:3:4，且此三角形三条中位线围成的三角形的周长为9，则原三角形的最长边是_,8cm,2.5,8,例1：,证明：如图，连结AC,EF是ABC的中位线,同理，,四边形EFGH是平行四边形,有中点连线而无三角形,要作辅助线构造三角形,有三角形而无中位线
5、,可连结两边中点得中位线,想一想,从刚才例题中你能得到什么结论？,顺次连接四边形各边中点的线段组成一个,平行四边形,1.已知: 如图,DE,EF是ABC的两条中位线.求证:四边形BFED是平行四边形.,2.如图,DE是ABC的中位线,AF是BC边上的中线,DE和AF交于点O.求证:DE与AF互相平分.,练一练,能力拓展：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M,N,P分别是AD,BC,BD的中点，连接MN,PHMN于点H。求证：H是MN的中点,本节课你学到什么？,小 结,1. 三角形中位线的定义：,连结三角形两边 的线段叫三角形的中位线,2. 三角形中位线定理：,三角形的中位线 于第三边，并且等于第三边的 .,平行,一半,中点,3、三角形中位线定理的证明方法，关键在于添加辅助线，把三角形补成平行四边形来证的，证明的方法很多，当一个命题有几种证明方法时，要选用比较简捷的方法进行证明；,5. 三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形，记住三条中位线构成的三角形和原三角形周长，面积的关系。,4、定理为证明平行关系提供了新的工具定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或 1/2提供了一个新的途径,6、在处理问题时,要求同时出现三角形及中位线有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线,
