1、第 1 页（共 25 页）第 1 章 三角形的初步认识一、填空题1已知三角形的两边分别为 4 和 9，则此三角形的第三边可能是（ ）A4 B5 C9 D132如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，1=30，2=50，则3 的度数等于（ ）A50 B30 C20 D153如图所示，ACBACB，BCB=30，则ACA的度数为（ ）A20 B30 C35 D404长为 9，6，5，4 的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（ ）A1 种 B2 种 C3 种 D4 种5尺规作图是指（ ）A用直尺规范作图B用刻度尺和圆规作图C用没有刻度的直尺和圆规作图D直尺和圆规是作图工具6如图，BE、CF 都
2、是ABC 的角平分线，且BDC=110，则A=（ ）A50 B40 C70 D35第 2 页（共 25 页）7如图，在ABC 中，B=46，C=54，AD 平分BAC，交 BC 于 D，DEAB，交 AC 于 E，则ADE 的大小是（ ）A45 B54 C40 D508一副三角板如图叠放在一起，则图中 的度数为（ ）A75 B60 C65 D559如图，在ABC 中，CAB=70，将ABC 绕点 A 逆时针旋转到ADE 的位置，连接 EC，满足ECAB，则BAD 的度数为（ ）A30 B35 C40 D5010如图所示，ABC 与BDE 都是等边三角形，ABBD若ABC 不动，将BDE 绕点
3、B 旋转，则在旋转过程中，AE 与 CD 的大小关系为（ ）AAE=CD BAECD CAECD D无法确定二、认真填一填11若三角形的两边长分别为 3、4，且周长为整数，这样的三角形共有 个第 3 页（共 25 页）12如图，在ABC 和DEF 中，已知：AC=DF，BC=EF，要使ABCDEF，还需要的条件可以是 （只填写一个条件）13若ABCDEF，且A=110，F=40，则E= 度14在ABC 中，A：B：C=1：2：3，则A= ，C= 15如图，在ABC 中，B=60，C=40，ADBC 于 D，AE 平分BAC；则DAE= 16如图，D、E 分别是ABC 边 AB、BC 上的点，A
4、D=2BD，BE=CE，设ADC 的面积为 S1，ACE 的面积为 S2，若 SABC =6，则 S1S 2的值为 17如图，将纸片ABC 沿 DE 折叠，点 A 落在点 P 处，已知1+2=100，则A 的大小等于 度18如图，ABC 中，BAC=100，EF，MN 分别为 AB，AC 的垂直平分线，如果 BC=12cm，那么FAN 的周长为 cm，FAN= 第 4 页（共 25 页）三、解答题19如图，点 A、C、D、B 四点共线，且 AC=DB，A=B，E=F求证：DE=CF20如图，已知点 A、F、E、C 在同一直线上，ABCD，ABE=CDF，AF=CE（1）从图中任找两组全等三角形
5、；（2）从（1）中任选一组进行证明21如图，在ABC 中，B=40，C=110（1）画出下列图形：BC 边上的高 AD；A 的角平分线 AE（2）试求DAE 的度数22作图，如图已知三角形 ABC 内一点 P（1）过 P 点作线段 EFAB，分别交 BC，AC 于点 E，F（2）过 P 点作线段 PD 使 PDBC 垂足为 D 点23如图，在ABC 中，AD 平分BAC，AD 的垂直平分线 EF 交 BC 的延长线于点 F，连接 AF，求证：CAF=B第 5 页（共 25 页）24如图，点 D 为锐角ABC 内一点，点 M 在边 BA 上，点 N 在边 BC 上，且DM=DN，BMD+BND=
6、180求证：BD 平分ABC25如图，在长方形 ABCD 中，AB=8cm，BC=6cm，点 E 是 CD 的中点，动点 P 从 A 点出发，以每秒2cm 的速度沿 ABCE 运动，最终到达点 E若设点 P 运动的时间是 t 秒，那么当 t 取何值时，APE 的面积会等于 10？26（14 分）课本拓展旧知新意：我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？1尝试探究：（1）如图 1，DBC 与ECB 分别为ABC 的两个外角，试探究A 与DBC+ECB 之间存在怎样的数量关系？为什么？2初步应用：（2）如图
7、2，在ABC 纸片中剪去CED，得到四边形 ABDE，1=130，则2C= ；第 6 页（共 25 页）（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图 3，在ABC 中，BP、CP 分别平分外角DBC、ECB，P 与A 有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 3 拓展提升：（4）如图 4，在四边形 ABCD 中，BP、CP 分别平分外角EBC、FCB，P 与A、D 有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）参考答案与试题解析一、填空题1已知三角形的两边分别为 4 和 9，则此三角形的第三边可能是（ ）A4 B5 C9 D13【考点】三角形三边关系【分析】根据三
8、角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值范围，再进一步选择【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边大于 5，而小于 13第 7 页（共 25 页）故选 C【点评】本题考查了三角形的三边关系，即三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和，此题基础题，比较简单2如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，1=30，2=50，则3 的度数等于（ ）A50 B30 C20 D15【考点】平行线的性质；三角形的外角性质【专题】计算题【分析】首先根据平行线的性质得到2 的同位角4 的度数，再根据三角形的外角的性质进行求解【解答】解：根据平行线的性质，得4=2=503=41=5030=20故
9、选：C【点评】本题应用的知识点为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和两直线平行，同位角相等3如图所示，ACBACB，BCB=30，则ACA的度数为（ ）第 8 页（共 25 页）A20 B30 C35 D40【考点】全等三角形的性质【分析】根据全等三角形性质求出ACB=ACB，都减去ACB 即可【解答】解：ACBACB，ACB=ACB，ACBACB=ACBACB，ACA=BCB，BCB=30，ACA=30，故选 B【点评】本题考查了全等三角形性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等4长为 9，6，5，4 的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（ ）A1 种 B2 种 C3 种 D4 种
10、【考点】三角形三边关系【专题】常规题型【分析】要把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数【解答】解：四根木条的所有组合：9，6，5 和 9，6，4 和 9，5，4 和 6，5，4；根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有 9，6，5 和 9，6，4 和 6，5，4故选：C【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键5尺规作图是指（ ）A用直尺规范作图B用刻度尺和圆规作图第 9 页（共 25 页）C用没有刻度的直尺和圆规作图D直尺和圆规是作图工具【考点】作图尺规作图的定义【分析】根据尺规作图的定义作答【解答
11、】解：根据尺规作图的定义可知：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图故选 C【点评】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图6如图，BE、CF 都是ABC 的角平分线，且BDC=110，则A=（ ）A50 B40 C70 D35【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义【分析】根据数据线的内角和定理以及角平分线的定义，可以证明【解答】解：BE、CF 都是ABC 的角平分线，A=180（ABC+ACB），=1802（DBC+BCD）BDC=180（DBC+BCD），A=1802（180BDC）BDC=90+ A，A=2（11090）=40故选 B【点评】注意此题中的A 和BDC 之间的关系：BDC=
12、90+ A7如图，在ABC 中，B=46，C=54，AD 平分BAC，交 BC 于 D，DEAB，交 AC 于 E，则ADE 的大小是（ ）第 10 页（共 25 页）A45 B54 C40 D50【考点】平行线的性质；三角形内角和定理【分析】根据三角形的内角和定理求出BAC，再根据角平分线的定义求出BAD，然后根据两直线平行，内错角相等可得ADE=BAD【解答】解：B=46，C=54，BAC=180BC=1804654=80，AD 平分BAC，BAD= BAC= 80=40，DEAB，ADE=BAD=40故选：C【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概
13、念是解题的关键8一副三角板如图叠放在一起，则图中 的度数为（ ）A75 B60 C65 D55【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理【分析】因为三角板的度数为 45，60，所以根据三角形内角和定理即可求解【解答】解：如图，1=60，2=45，=1804560=75，第 11 页（共 25 页）故选 A【点评】本题利用三角板度数的常识和三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键9如图，在ABC 中，CAB=70，将ABC 绕点 A 逆时针旋转到ADE 的位置，连接 EC，满足ECAB，则BAD 的度数为（ ）A30 B35 C40 D50【考点】旋转的性质【分析】根据两直线平行，内错角相等可
14、得ACB=CAB，根据旋转的性质可得AC=AE，BAC=DAE，再根据等腰三角形两底角相等列式求出CAE，然后求出DAB=CAE，从而得解【解答】解：CEAB，ACB=CAB=75，ABC 绕点 A 逆时针旋转到AED，AC=AE，BAC=DAE，CAE=180702=40，CAE+CAD=DAE，DAB+CAD=BAC，DAB=CAE=40故选 C【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记各性质并求出DAB=CAE 是解题的关键第 12 页（共 25 页）10如图所示，ABC 与BDE 都是等边三角形，ABBD若ABC 不动，将BDE 绕点 B 旋转，则在旋
15、转过程中，AE 与 CD 的大小关系为（ ）AAE=CD BAECD CAECD D无法确定【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质【分析】本题可通过证ABE 和CBD 全等，来得出 AE=CD 的结论两三角形中，已知了AB=BC、BE=BD，因此关键是证得ABE=CBD；由于ABC 和BED 都是等边三角形，因此EBD=ABC=60，即ABE=CBD=120，由此可得证【解答】解：ABC 与BDE 都是等边三角形，AB=BC，BE=BD，ABC=EBD=60；ACB+CBE=EBD+CBE=120，即：ABE=CBD=120；ABECBD；AE=CD故选 A【点评】本题考查了全等三角
16、形的判定与性质，等边三角形的性质，当出现两个等边三角形时，一般要利用等边三角形的边和角从中找到一对全等三角形二、认真填一填11若三角形的两边长分别为 3、4，且周长为整数，这样的三角形共有 5 个【考点】三角形三边关系；一元一次不等式组的整数解【分析】设第三边的长为 x，根据三角形的三边关系的定理可以确定 x 的取值范围，进而得到答案【解答】解：设第三边的长为 x，则43x4+3，所以 1x7第 13 页（共 25 页）x 为整数，x 可取 2，3，4，5，6故答案为 5【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边三角形的两边差小于第三边12如
17、图，在ABC 和DEF 中，已知：AC=DF，BC=EF，要使ABCDEF，还需要的条件可以是 AB=DE （只填写一个条件）【考点】全等三角形的判定【专题】开放型【分析】根据“SSS”添加条件【解答】解：若加上 AB=DE，则可根据“SSS”判断ABCDEF故答案为 AB=DE【点评】本题考查了全等三角形的判定：判定方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”13若ABCDEF，且A=110，F=40，则E= 30 度【考点】全等三角形的性质【分析】根据全等三角形的性质得出D=A=110，C=F=40，进而得出答案【解答】解：ABCDEF，A=110，F=40，D=A=110，C=F
18、=40，DEF=18011040=30故答案为：30；【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，利用其性质得出对应角相等是解题关键14在ABC 中，A：B：C=1：2：3，则A= 30 ，C= 90 【考点】三角形内角和定理第 14 页（共 25 页）【分析】有三角形内角和 180 度，又知三角形内各角比，从而求出【解答】解：由三角形内角和 180，又A：B：C=1：2：3，A=180 =30，C=180 =90故填：30，90【点评】本题考查三角形内角和定理，结合已知条件，从而很容易知道各角所占几分之几而解得15如图，在ABC 中，B=60，C=40，ADBC 于 D，AE 平分BAC；则DA
19、E= 10 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质【分析】根据B=60，C=40可得BAC 的度数，AE 平分BAC，得到BAE 和CAE 的度数，利用外角的性质可得AED 的度数，再根据垂直定义，得到直角三角形，在直角ABD 中，可以求得DAE 的度数【解答】解：C=40，B=60，BAC=1804060=80，AE 平分BAC，BAE=CAE=40，AED=80，ADBC 于 D，ADC=90，DAE=1808090=10，故答案为：10【点评】本题主要考查角平分线的定义和垂直的定义，外角性质，三角形内角和定理，综合利用各定理及性质是解答此题的关键第 15 页（共 25 页）16如图，
20、D、E 分别是ABC 边 AB、BC 上的点，AD=2BD，BE=CE，设ADC 的面积为 S1，ACE 的面积为 S2，若 SABC =6，则 S1S 2的值为 1 【考点】三角形的面积【专题】压轴题【分析】根据等底等高的三角形的面积相等求出AEC 的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出ACD 的面积，然后根据 S1S 2=SACD S ACE 计算即可得解【解答】解：BE=CE，S ACE = SABC = 6=3，AD=2BD，S ACD = SABC = 6=4，S 1S 2=SACD S ACE =43=1故答案为：1【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的
21、三角形的面积相等，等高的三角形的面积的比等于底边的比，需熟记17如图，将纸片ABC 沿 DE 折叠，点 A 落在点 P 处，已知1+2=100，则A 的大小等于 50 度【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）【分析】根据已知求出ADP+AEP=360（1+2）=260，根据折叠求出ADE+AED= 260=130，根据三角形内角和定理求出即可第 16 页（共 25 页）【解答】解：1+2=100，ADP+AEP=360（1+2）=260，将纸片ABC 沿 DE 折叠，点 A 落在点 P 处，ADE= ADP，AED= AEP，ADE+AED= 260=130，A=180（ADE+AED
22、）=50，故答案为：50【点评】本题考查了三角形的内角和定理和折叠的性质的应用，注意：三角形的内角和等于 180，题目比较好，难度适中18如图，ABC 中，BAC=100，EF，MN 分别为 AB，AC 的垂直平分线，如果 BC=12cm，那么FAN 的周长为 12 cm，FAN= 20 【考点】线段垂直平分线的性质【分析】由 EF，MN 分别为 AB，AC 的垂直平分线，可得 AF=BF，AN=CN，即可得FAN 的周长等于BC；又由BAC=100，求得BAF+CAN=B+C=180BAC=80，继而求得答案【解答】解：EF，MN 分别为 AB，AC 的垂直平分线，AF=BF，AN=CN，F
23、AN 的周长为：AF+FN+AN=BF+FN+CN=BC=12cm；BAF=B，CAN=C，ABC 中，BAC=100，BAF+CAN=B+C=180BAC=80，FAN=BAC（BAF+CAN）=20故答案为：12，20【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用第 17 页（共 25 页）三、解答题19如图，点 A、C、D、B 四点共线，且 AC=DB，A=B，E=F求证：DE=CF【考点】全等三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】根据条件可以求出 AD=BC，再证明AEDBFC，由全等三角形的性质就可以得出结论【解答
24、】证明：AC=DB，AC+CD=DB+CD，即 AD=BC，在AED 和BFC 中，AEDBFCDE=CF【点评】本题考查了线段的数量关系，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明AEDBFC是解答本题的关键20如图，已知点 A、F、E、C 在同一直线上，ABCD，ABE=CDF，AF=CE（1）从图中任找两组全等三角形；（2）从（1）中任选一组进行证明【考点】全等三角形的判定【专题】证明题【分析】（1）根据题目所给条件可分析出ABECDF，AFDCEB；（2）根据 ABCD 可得1=2，根据 AF=CE 可得 AE=FC，然后再证明ABECDF 即可【解答】解：（1）ABECDF，AFDCE
25、B；第 18 页（共 25 页）（2）ABCD，1=2，AF=CE，AF+EF=CE+EF，即 AE=FC，在ABE 和CDF 中，ABECDF（AAS）【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角21如图，在ABC 中，B=40，C=110（1）画出下列图形：BC 边上的高 AD；A 的角平分线 AE（2）试求DAE 的度数【考点】作图复杂作图【分析】（1）利用直角三角板一条直角边与 BC 重合，沿
26、BC 平移使另一直角边过 A 画 BC 边上的高AD 即可；再根据角平分线的做法作A 的角平分线 AE；（2）首先计算出BAE 的度数，再计算出BAD 的度数，利用角的和差关系可得答案第 19 页（共 25 页）【解答】解：（1）如图所示：（2）在ABC 中，BAC=1801140=30，AE 平分BAC，BAE= BAC=15，在 RtADB 中，BAD=90B=50，DAE=DABBAE=35【点评】此题主要考查了复杂作图，以及角的计算，关键是正确画出图形22作图，如图已知三角形 ABC 内一点 P（1）过 P 点作线段 EFAB，分别交 BC，AC 于点 E，F（2）过 P 点作线段 P
27、D 使 PDBC 垂足为 D 点【考点】作图基本作图【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线平行线的方法作图即可；（2）利用直角三角板，一条直角边与 BC 重合，沿 BC 平移，使另一条直角边过点 P 画垂线即可【解答】解：如图所示：第 20 页（共 25 页）【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握利用直尺做平行线的方法23如图，在ABC 中，AD 平分BAC，AD 的垂直平分线 EF 交 BC 的延长线于点 F，连接 AF，求证：CAF=B【考点】线段垂直平分线的性质【专题】证明题【分析】EF 垂直平分 AD，则可得 AF=DF，进而再转化为角之间的关系，通过角之间的平衡转化，最终得出结
28、论【解答】证明：EF 垂直平分 AD，AF=DF，ADF=DAF，ADF=B+BAD，DAF=CAF+CAD，又AD 平分BAC，BAD=CAD，CAF=B【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等24如图，点 D 为锐角ABC 内一点，点 M 在边 BA 上，点 N 在边 BC 上，且DM=DN，BMD+BND=180求证：BD 平分ABC第 21 页（共 25 页）【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质【专题】证明题【分析】在 AB 上截取 ME=BN，证得BNDEMD，进而证得DBN=MED，BD=DE，从而证得 BD 平
29、分ABC【解答】解：如图所示：在 AB 上截取 ME=BN，BMD+DME=180，BMD+BND=180，DME=BND，在BND 与EMD 中，BNDEMD（SAS），DBN=MED，BD=DE，MBD=MED，MBD=DBN，BD 平分ABC【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质第 22 页（共 25 页）25如图，在长方形 ABCD 中，AB=8cm，BC=6cm，点 E 是 CD 的中点，动点 P 从 A 点出发，以每秒2cm 的速度沿 ABCE 运动，最终到达点 E若设点 P 运动的时间是 t 秒，那么当 t 取何值时，APE 的面积会等于 10？【考点】
30、一元一次方程的应用；三角形的面积【专题】几何动点问题【分析】分为三种情况讨论，如图 1，当点 P 在 AB 上，即 0t4 时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；如图 2，当点 P 在 BC 上，即 4t7 时，由 SAPE =S 四边形 AECBS PCE S PAB建立方程求出其解即可；如图 3，当点 P 在 EC 上，即 7t9 时，由 SAPE= =10 建立方程求出其解即可【解答】解：如图 1，当点 P 在 AB 上，即 0t4 时，四边形 ABCD 是矩形，AD=BC=6，AB=CD=8AP=2t，SAPE= 2t6=10，t= 如图 2，当点 P 在 BC 上，即 4t7
31、 时，E 是 DC 的中点，DE=CE=4BP=2t8，PC=6（2t8）=142tS= （4+8）6 （2t8）8 （142t）4=10，解得：t=7.57 舍去；当点 P 在 EC 上，即 7t9 时，PE=182tSAPE= （182t）6=10，第 23 页（共 25 页）解得：t= 总上所述，当 t= 或 时APE 的面积会等于 10【点评】本题考查了矩形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键26课本拓展旧知新意：我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在
32、怎样的数量关系呢？1尝试探究：（1）如图 1，DBC 与ECB 分别为ABC 的两个外角，试探究A 与DBC+ECB 之间存在怎样的数量关系？为什么？2初步应用：（2）如图 2，在ABC 纸片中剪去CED，得到四边形 ABDE，1=130，则2C= 50 ；（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图 3，在ABC 中，BP、CP 分别平分外角DBC、ECB，P 与A 有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 P=90 A 3 拓展提升：（4）如图 4，在四边形 ABCD 中，BP、CP 分别平分外角EBC、FCB，P 与A、D 有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不
33、需说明理由）第 24 页（共 25 页）【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理【专题】探究型【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出DBC+ECB，再利用三角形内角和定理整理即可得解；（2）根据（1）的结论整理计算即可得解；（3）表示出DBC+ECB，再根据角平分线的定义求出PBC+PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；（4）延长 BA、CD 相交于点 Q，先用Q 表示出P，再用（1）的结论整理即可得解【解答】解：（1）DBC+ECB=180ABC+180ACB=360（ABC+ACB）=360（180A）=180+A；（2）1+2=180+C，130+2=180+C，2C=50；（3）DBC+ECB=180+A，BP、CP 分别平分外角DBC、ECB，PBC+PCB= （DBC+ECB）= （180+A），在PBC 中，P=180 （180+A）=90 A；第 25 页（共 25 页）即P=90 A；故答案为：50，P=90 A；（4）延长 BA、CD 于 Q，则P=90 Q，Q=1802P，BAD+CDA=180+Q，=180+1802P，=3602P【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键
