1、22.1 二次函数的图象和性质一选择题（共 16 小题）1（2018临安区）抛物线 y=3（x1） 2+1 的顶点坐标是（ ）A（1，1） B（1，1） C（1，1） D（1，1）2（2018上海）下列对二次函数 y=x2x 的图象的描述，正确的是（ ）A开口向下 B对称轴是 y 轴C经过原点 D在对称轴右侧部分是下降的3（2018山西）用配方法将二次函数 y=x28x9 化为 y=a（xh） 2+k 的形式为（ ）Ay=（x4） 2+7By=（x4） 225 Cy=（x+4） 2+7 Dy=（x+4） 2254（2018枣庄）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，且过点 A（3
2、，0），二次函数图象的对称轴是直线 x=1，下列结论正确的是（ ）Ab 24ac Bac0 C2ab=0 Dab+c=05（2018潍坊）已知二次函数 y=（xh） 2（h 为常数），当自变量 x 的值满足2x5 时，与其对应的函数值 y 的最大值为1，则 h 的值为（ ）A3 或 6 B1 或 6 C1 或 3 D4 或 66（2018泸州）已知二次函数 y=ax2+2ax+3a2+3（其中 x 是自变量），当 x2 时，y 随x 的增大而增大，且2x1 时，y 的最大值为 9，则 a 的值为（ ）A1 或2 B 或 C D17（2018遂宁）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象
3、如图所示，则以下结论同时成立的是（ ）A BC D8（2017黔东南州）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x=1，给出下列结论：b 2=4ac；abc0；ac；4a2b+c0，其中正确的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个9（2017泰安）如图，在ABC 中，C=90，AB=10cm，BC=8cm，点 P 从点 A 沿 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度运动，同时点 Q 从点 C 沿 CB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动（点 Q 运动到点 B 停止），在运动过程中，四边形 PABQ 的面积最小值为（ ）A19cm 2B16cm 2C15cm 2D
4、12cm 210（2017资阳）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的顶点和该抛物线与 y 轴的交点在一次函数 y=kx+1（k0）的图象上，它的对称轴是 x=1，有下列四个结论：abc0，a ，a=k，当 0x1 时，ax+bk，其中正确结论的个数是（ ）A4 B3 C2 D111（2017玉林）对于函数 y=2（xm） 2的图象，下列说法不正确的是（ ）A开口向下 B对称轴是 x=m C最大值为 0 D与 y 轴不相交12（2017杭州）设直线 x=1 是函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是实数，且 a0）的图象的对称轴，（ ）A若 m1，则（m1）a+b0 B若 m1，则（m
5、1）a+b0C若 m1，则（m+1）a+b0 D若 m1，则（m+1）a+b013（2016沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+2x3 的图象如图所示，点A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）是该二次函数图象上的两点，其中3x 1x 20，则下列结论正确的是（ ）Ay 1y 2 By 1y 2Cy 的最小值是3 Dy 的最小值是414（2016株洲）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点 A（1，2），B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（ ）Ac3 Bm Cn2 Db115（2016绵阳）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论
6、：b2a；a+2cb0；bac；b 2+2ac3ab其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D416（2016泰安）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么一次函数 y=ax+b 的图象大致是（ ）A B C D二填空题（共 10 小题）17（2018哈尔滨）抛物线 y=2（x+2） 2+4 的顶点坐标为 18（2018广州）已知二次函数 y=x2，当 x0 时，y 随 x 的增大而 （填“增大”或“减小”）19（2018新疆）如图，已知抛物线 y1=x 2+4x 和直线 y2=2x我们规定：当 x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为 y1和 y2，若 y1y 2，取 y1
7、和 y2中较小值为 M；若 y1=y2，记 M=y1=y2当 x2 时，M=y 2；当 x0 时，M 随 x 的增大而增大；使得 M 大于4 的 x 的值不存在；若 M=2，则 x=1上述结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）20（2017河北）对于实数 p，q，我们用符号 minp，q表示 p，q 两数中较小的数，如min1，2=1，因此，min ， = ；若 min（x1） 2，x 2=1，则 x= 21（2017邵阳）若抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下，则 a 的值可能是 （写一个即可）22（2017广州）当 x= 时，二次函数 y=x22x+6 有最小值 23（2017黔西南
8、州）如图，图中二次函数解析式为 y=ax2+bx+c（a0）则下列命题中正确的有 （填序号）abc0；b 24ac；4a2b+c0；2a+bc24（2016营口）如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点 C，对称轴是直线 x=1，点 B 的坐标为（1，0）下面的四个结论：AB=4；b 24ac0；ab0；ab+c0，其中正确的结论是 （填写序号）25（2016大庆）直线 y=kx+b 与抛物线 y= x2交于 A（x 1，y 1）、B（x 2，y 2）两点，当OAOB 时，直线 AB 恒过一个定点，该定点坐标为 26（2016南充）已知抛物
9、线 y=ax2+bx+c 开口向上且经过点（1，1），双曲线 y= 经过点（a，bc），给出下列结论：bc0；b+c0；b，c 是关于 x 的一元二次方程x2+（a1）x+ =0 的两个实数根；abc3其中正确结论是 （填写序号）三解答题（共 8 小题）27（2018湖州）已知抛物线 y=ax2+bx3（a0）经过点（1，0），（3，0），求a，b 的值28（2018宁夏）抛物线 y= x2+bx+c 经过点 A（3 ，0）和点 B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线 l，顶点为 C（1）求抛物线的解析式；（2）连接 AB、AC、BC，求ABC 的面积29（2018黑龙江）如图，抛物线 y=
10、x2+bx+c 与 y 轴交于点 A（0，2），对称轴为直线x=2，平行于 x 轴的直线与抛物线交于 B、C 两点，点 B 在对称轴左侧，BC=6（1）求此抛物线的解析式（2）点 P 在 x 轴上，直线 CP 将ABC 面积分成 2：3 两部分，请直接写出 P 点坐标30（2017广州）已知抛物线 y1=x 2+mx+n，直线 y2=kx+b，y 1的对称轴与 y2交于点A（1，5），点 A 与 y1的顶点 B 的距离是 4（1）求 y1的解析式；（2）若 y2随着 x 的增大而增大，且 y1与 y2都经过 x 轴上的同一点，求 y2的解析式31（2017杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数
11、y1=（x+a）（xa1），其中a0（1）若函数 y1的图象经过点（1，2），求函数 y1的表达式；（2）若一次函数 y2=ax+b 的图象与 y1的图象经过 x 轴上同一点，探究实数 a，b 满足的关系式；（3）已知点 P（x 0，m）和 Q（1，n）在函数 y1的图象上，若 mn，求 x0的取值范围32（2016宁波）如图，已知抛物线 y=x 2+mx+3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点C，点 B 的坐标为（3，0）（1）求 m 的值及抛物线的顶点坐标（2）点 P 是抛物线对称轴 l 上的一个动点，当 PA+PC 的值最小时，求点 P 的坐标33（2016三明）如图，已知点
12、 A（0，2），B（2，2），C（1，2），抛物线F：y=x 22mx+m 22 与直线 x=2 交于点 P（1）当抛物线 F 经过点 C 时，求它的表达式；（2）设点 P 的纵坐标为 yP，求 yP的最小值，此时抛物线 F 上有两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），且 x1x 22，比较 y1与 y2的大小；（3）当抛物线 F 与线段 AB 有公共点时，直接写出 m 的取值范围34（2016安徽）如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点 A（2，4）与 B（6，0）（1）求 a，b 的值；（2）点 C 是该二次函数图象上 A，B 两点之间的一动点，横坐标为 x（2x6），写出四边
13、形 OACB 的面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值参考答案一选择题（共 16 小题）1A2C3B4D5B6D7C8C9C10A11D12C13D14B15C16A二填空题（共 10 小题）17（2，4）18增大1920 ；2 或1211、5232425（0，4）26三解答题（共 8 小题）27解：抛物线 y=ax2+bx3（a0）经过点（1，0），（3，0）， ，解得，即 a 的值是 1，b 的值是228解：（1）抛物线 经过 A 、B（0，3） 由上两式解得抛物线的解析式为： ；（2）由（1）抛物线对称轴为直线 x=把 x= 代入， 得 y=4则点 C 坐标
14、为（ ，4）设线段 AB 所在直线为：y=kx+b线段 AB 所在直线经过点 A 、B（0，3）抛物线的对称轴 l 于直线 AB 交于点 D设点 D 的坐标为 D将点 D 代入 ，解得 m=2点 D 坐标为 ，CD=CEDE=2过点 B 作 BFl 于点 FBF=OE=BF+AE=OE+AE=OA=S ABC =SBCD +SACD = CDBF+ CDAES ABC = CD（BF+AE）= 2 =29解：（1）由题意得：x= = =2，c=2，解得：b=4，c=2，则此抛物线的解析式为 y=x2+4x+2；（2）抛物线对称轴为直线 x=2，BC=6，B 横坐标为5，C 横坐标为 1，把 x
15、=1 代入抛物线解析式得：y=7，B（5，7），C（1，7），设直线 AB 解析式为 y=kx+2，把 B 坐标代入得：k=1，即 y=x+2，作出直线 CP，与 AB 交于点 Q，过 Q 作 QHy 轴，与 y 轴交于点 H，BC 与 y 轴交于点 M，可得AQHABM， = ，点 P 在 x 轴上，直线 CP 将ABC 面积分成 2：3 两部分，AQ：QB=2：3 或 AQ：QB=3：2，即 AQ：AB=2：5 或 AQ：QB=3：5，BM=5，QH=2 或 QH=3，当 QH=2 时，把 x=2 代入直线 AB 解析式得：y=4，此时 Q（2，4），直线 CQ 解析式为 y=x+6，令
16、y=0，得到 x=6，即 P（6，0）；当 QH=3 时，把 x=3 代入直线 AB 解析式得：y=5，此时 Q（3，5），直线 CQ 解析式为 y= x+ ，令 y=0，得到 x=13，此时P（13，0），综上，P 的坐标为（6，0）或（13，0）30解：（1）抛物线 y1=x 2+mx+n，直线 y2=kx+b，y 1的对称轴与 y2交于点 A（1，5），点 A 与 y1的顶点 B 的距离是 4B（1，1）或（1，9）， =1， =1 或 9，解得 m=2，n=0 或 8，y 1的解析式为 y1=x 22x 或 y1=x 22x+8；（2）当 y1的解析式为 y1=x 22x 时，抛物线与
17、 x 轴交点是（0.0）和（2.0），y 1的对称轴与 y2交于点 A（1，5），y 1与 y2都经过 x 轴上的同一点（2，0），把（1，5），（2，0）代入得 ，解得 ，y 2=5x+10当 y1=x 22x+8 时，解x 22x+8=0 得 x=4 或 2，y 2随着 x 的增大而增大，且过点 A（1，5），y 1与 y2都经过 x 轴上的同一点（4，0），把（1，5），（4，0）代入得 ，解得 ；y 2= x+ 31解：（1）函数 y1的图象经过点（1，2），得（a+1）（a）=2，解得 a1=2，a 2=1，函数 y1的表达式 y=（x2）（x+21），化简，得 y=x2x2；函数
18、y1的表达式 y=（x+1）（x2）化简，得 y=x2x2，综上所述：函数 y1的表达式 y=x2x2；（2）当 y=0 时（x+a）（xa1）=0，解得 x1=a，x 2=a+1，y1的图象与 x 轴的交点是（a，0），（a+1，0），当 y2=ax+b 经过（a，0）时，a 2+b=0，即 b=a2；当 y2=ax+b 经过（a+1，0）时，a 2+a+b=0，即 b=a 2a；（3）当 P 在对称轴的左侧（含顶点）时，y 随 x 的增大而减小，（1，m）与（0，n）关于对称轴对称，由 mn，得 0x 0 ；当 P 在对称轴的右侧时，y 随 x 的增大而增大，由 mn，得 x 01，综上所
19、述：mn，所求 x0的取值范围 0x 0132解：（1）把点 B 的坐标为（3，0）代入抛物线 y=x 2+mx+3 得：0=3 2+3m+3，解得：m=2，y=x 2+2x+3=（x1） 2+4，顶点坐标为：（1，4）（2）连接 BC 交抛物线对称轴 l 于点 P，则此时 PA+PC 的值最小，设直线 BC 的解析式为：y=kx+b，点 C（0，3），点 B（3，0）， ，解得： ，直线 BC 的解析式为：y=x+3，当 x=1 时，y=1+3=2，当 PA+PC 的值最小时，点 P 的坐标为：（1，2）33解：（1）抛物线 F 经过点 C（1，2），2=（1） 22m（1）+m 22，解得
20、，m=1，抛物线 F 的表达式是：y=x 2+2x1；（2）当 x=2 时，y p=4+4m+m22=（m+2） 22，当 m=2 时，y p取得最小值，最小值是2，此时抛物线 F 的表达式是：y=x 2+4x+2=（x+2） 22，当 x2 时，y 随 x 的增大而减小，x 1x 22，y 1y 2；（3）m 的取值范围是2m0 或 2m4，理由：抛物线 F 与线段 AB 有公共点，点 A（0，2），B（2，2）， 或 或 ，解得，2m0 或 2m434解：（1）将 A（2，4）与 B（6，0）代入 y=ax2+bx，得 ，解得： ；（2）如图，过 A 作 x 轴的垂直，垂足为 D（2，0），连接 CD、CB，过 C 作 CEAD，CFx轴，垂足分别为 E，F，SOAD = ODAD= 24=4；SACD = ADCE= 4（x2）=2x4；SBCD = BDCF= 4（ x2+3x）=x 2+6x，则 S=SOAD +SACD +SBCD =4+2x4x 2+6x=x 2+8x，S 关于 x 的函数表达式为 S=x 2+8x（2x6），S=x 2+8x=（x4） 2+16，当 x=4 时，四边形 OACB 的面积 S 有最大值，最大值为 16
