1、21.2.2 公式法公式法 教学内容教学内容 1一元二次方程求根公式的推导过程； 2公式法的概念； 3利用公式法解一元二次方程 教学目标教学目标 知识与技能知识与技能 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程 过程与方法过程与方法 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入 ax2+bx+c=0（a0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程 重难点重难点 1重点：求根公式的推导和公式法的应用 2难点：一元二次方程求根公式法的推导 教学过程教学过程 一、复习引入一、复习引入 （学生活动）用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （
2、2）4x2-3x=52 （老师点评） （1）移项，得：6x2-7x=-1 二次项系数化为 1，得：x2-76x=-16 配方，得：x2-76x+（712）2=-16+（712）2 （x-712）2=25144 x-712=512 x1=512+712=7512=1 x2=-512+712=7512=16 （2）略 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评） （1）移项； （2）化二次项系数为 1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解 二、
3、探索新知二、探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式 ax2+bx+c=0（a0） ，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题 问题问题：已知 ax2+bx+c=0（a0）且 b2-4ac0，试推导它的两个根 x1=242bbaca ，x2=242bbaca 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去 解：移项，得：ax2+bx=-c 二次项系数化为 1，得 x2+bax=-ca 配方，得：x2+bax+（2ba）2=-ca+（2ba）2 即（x+2ba）2=2244baca b2-4ac0 且
4、4a20 2244baca0 直接开平方，得：x+2ba=242baca 即 x=242bbaca x1=242bbaca ，x2=242bbaca 由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当 b-4ac0 时，将 a、b、c 代入式子 x=242bbaca 就得到方程的根 （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式 （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根 例例 1用公式法解下列方程 （1）2x2-4x-1=0
5、 （2）5x+2=3x2 （3） （x-2） （3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可 解： （1）a=2，b=-4，c=-1 b2-4ac=（-4）2-42（-1）=240 x=( 4)2442 6262 242 x1=262，x2=262 （2）将方程化为一般形式 3x2-5x-2=0 a=3，b=-5，c=-2 b2-4ac=（-5）2-43（-2）=490 x=( 5)49572 36 x1=2，x2=-13 （3）将方程化为一般形式 3x2-11x+9=0 a=3，b=-11，c=9 b2-4ac=（-11）
6、2-439=130 x=( 11)1311132 36 x1=11136，x2=11136 （3）a=4，b=-3，c=1 b2-4ac=（-3）2-441=-70 因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根 三、巩固练习三、巩固练习 教材 P12练习 1 （1） 、 （3） 、 （5） 四、应用拓展四、应用拓展 例例 2某数学兴趣小组对关于 x 的方程（m+1）22mx+（m-2）x-1=0 提出了下列问题 （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出 m 并解此方程 （2）若使方程为一元二次方程 m 是否存在？若存在，请求出 你能解决这个问题吗？ 分析分析：能 （1）要
7、使它为一元二次方程，必须满足 m2+1=2，同时还要满足（m+1）0 （2）要使它为一元一次方程，必须满足: 21 1(1)(2)0mmm 或21020mm 或1020mm 解：解： （1）存在根据题意，得：m2+1=2 m2=1 m=1 当 m=1 时，m+1=1+1=20 当 m=-1 时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） 当 m=1 时，方程为 2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b2-4ac=（-1）2-42（-1）=1+8=9 x=( 1)91 32 24 x1=，x2=-12 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根 x1=1，x2=-12 （2）存在根据题意，
8、得：m2+1=1，m2=0，m=0 因为当 m=0 时， （m+1）+（m-2）=2m-1=-10 所以 m=0 满足题意 当 m2+1=0，m 不存在 当 m+1=0，即 m=-1 时，m-2=-30 所以 m=-1 也满足题意 当 m=0 时，一元一次方程是 x-2x-1=0， 解得：x=-1 当 m=-1 时，一元一次方程是-3x-1=0 解得 x=-13 因此，当 m=0 或-1 时，该方程是一元一次方程，并且当 m=0 时，其根为 x=-1；当 m=-1时，其一元一次方程的根为 x=-13 五、归纳小结五、归纳小结 本节课应掌握： （1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概
9、念； （3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况 六、布置作业六、布置作业 1教材 P17复习巩固 5 2选用作业设计: 一、选择题一、选择题 1用公式法解方程 4x2-12x=3，得到（） Ax=362 Bx=362 Cx=32 32 Dx=32 32 2方程2x2+43x+62=0 的根是（） Ax1=2，x2=3 Bx1=6，x2=2 Cx1=22，x2=2 Dx1=x2=-6 3 （m2-n2） （m2-n2-2）-8=0，则 m2-n2的值是（） A4 B-2 C4 或-2 D-4 或 2 二、填空题二、填空题 1一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的
10、求根公式是_，条件是_ 2当 x=_时，代数式 x2-8x+12 的值是-4 3若关于 x 的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0 有一根为 0，则 m 的值是_ 三、综合提高题三、综合提高题 1用公式法解关于 x 的方程：x2-2ax-b2+a2=0 2设 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根， （1）试推导 x1+x2=-ba，x1 x2=ca； （2）求代数式 a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值 3某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过 A 千瓦时，那么这户居民这个月只交 10 元电费， 如果超过 A 千瓦时
11、， 那么这个月除了交 10 元用电费外超过部分还要按每千瓦时100A元收费 （1）若某户 2 月份用电 90 千瓦时，超过规定 A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用 A表示） （2）下表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况 月份 用电量（千瓦时） 交电费总金额（元） 3 80 25 4 45 10 根据上表数据，求电厂规定的 A 值为多少？ 答案答案: 一、1D 2D 3C 二、1x=242bbaca ，b2-4ac0 24 3-3 三、1x=22224442aaba=ab 2 （1）x1、x2是 ax2+bx+c=0（a0）的两根， x1=242bbaca ，x2=242bbaca x1+x2=22442bbacbbaca =-ba， x1 x2=242bbaca 242bbaca =ca （2）x1，x2是 ax2+bx+c=0 的两根，ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0 原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2 =x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c） =0 3 （1）超过部分电费=（90-A） 100A=-1100A2+910A （2）依题意，得： （80-A） 100A=15，A1=30（舍去） ，A2=50
