1、 2.3 函数的奇偶性函数的奇偶性 典例精析典例精析 题型一 函数奇偶性的判断 【例 1】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)lg(1x2)|x22|2； (2)f(x) 【解析】(1)由得定义域为(1,0)(0,1)， 这时 f(x)lg(1x2)(x22)2lg(1x2)x2， 因为 f(x)lg1(x)2(x)2lg(1x2)x2f(x)，所以 f(x)为偶函数. (2)当 x0 时，x0，则 f(x)(x)2x(x2x)f(x)， 当 x0 时，x0，则 f(x)(x)2xx2xf(x)， 所以对任意 x(，0)(0，)都有 f(x)f(x)，故 f(x)为奇函数. 【点拨】 判断函
2、数的奇偶性时， 应先确定函数的定义域是否关于原点对称， 再分析 f(x)与 f(x)的关系，必要时可对函数的解析式进行化简变形. 【变式训练 1】(2010 广东)若函数 f(x)3x与 g(x)3x的定义域均为 R，则( ) A. f (x)与 g(x)均为偶函数 B. f (x)为偶函数，g(x)为奇函数 C. f (x)与 g(x)均为奇函数 D. f (x)为奇函数，g(x)为偶函数 【解析】B. ).0(),0(22xxxxxx02|2|, 0122xxx3x3题型二 由奇偶性的条件求函数的解析式 【例 2】若函数 f(x)xmx2nx1是定义在(1,1)上的奇函数，求 f(x)的解
3、析式. 【解析】因为函数 f(x)xmx2nx1是定义在(1,1)上的奇函数， 所以 f(0)0，从而得 m0. 又 f(12)f(12)0，解得 n0. 所以 f(x)xx21(1x1). 【变式训练 2】已知定义域为 R 的函数 f(x)2xb2x1a是奇函数，求 a，b 的值. 【解析】因为 f(x)是奇函数，所以 f(0)0，即b1a20，解得 b1，所以 f(x). 又由 f(1)f(1)，所以12a4112a1，解得 a2. 故 a2，b1. 题型三 函数奇偶性的应用 【例 3】设函数 f(x)的定义域为 R，对于任意实数 x，y 都有 f(xy)f(x)f(y)，当 x0 时，f
4、(x)0 且 f(2)6. (1)求证：函数 f(x)为奇函数； (2)求证：函数 f(x)在 R 上是增函数； (3)在区间4,4上，求 f(x)的最值. 【解析】(1)证明：令 xy0，得 f(0)f(0)f(0)，所以 f(0)0， 令 yx，有 f(0)f(x)f(x)，所以 f(x)f(x)，所以函数 f(x)为奇函数. (2)证明：设 x1，x2R，且 x1x2，则 f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)， 又 x0 时，f(x)0，所以 f(x2)f(x1)f(x2x1)0，即 f(x2)f(x1)， 所以函数 f(x)在 R 上是增函数. (3)因为函数 f(x
5、)在 R 上是增函数， 1221xxa所以 f(x)在区间4,4上也是增函数， 所以函数 f(x)的最大值为 f(4)，最小值为 f(4)， 因为 f(2)6，所以 f(4)f(2)f(2)12， 又 f(x)为奇函数，所以 f(4)f(4)12， 故函数 f(x)在区间4,4上的最大值为 12，最小值为12. 【点拨】函数的最值问题，可先通过判断函数的奇偶性、单调性，再求区间上的最值. 【变式训练 3】定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x) 则 f(1) ，f(33) . 【解析】4；2. 总结提高 1.判定函数的奇偶性时， 应先确定函数的定义域是否关于原点对称， 再看 f(x)与 f(x)的关系，必要时可对函数解析式进行化简变形. 2.判定函数的奇偶性时， 有时可通过其等价形式： f(x) f(x)0 或f(x)f(x)1 (f(x)0)进行处理. 3.奇偶性与单调性、不等式相结合的问题，要注意数形结合求解. , 0),2() 1(, 0,21xxfxfxx
