1、32 利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性 【教材梳理】 1函数的单调性与导数 (1)在某个区间(a，b)内，如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内_；如果 f(x)0(f(x)k(k0)，构造函数 g(x)f(x)kxb (2)对于不等式 xf(x)f(x)0，构造函数 g(x)xf(x)； 对于不等式 xf(x)f(x)0，构造函数 g(x)f（x） x (x0) (3)对于不等式 xf(x)nf(x)0，构造函数 g(x)xnf(x)； 对于不等式 f(x)nf(x)0，构造函数 g(x)f（x） xn (x0) (4)对于不等式 f(x)f(x)0，构造函数 g
2、(x)exf(x)； 对于不等式 f(x)f(x)0，构造函数 g(x)f（x） ex (5)对于不等式 f(x)sinxf(x)cosx0(或 f(x)f(x)tanx0)，构造函数 g(x)f(x)sinx； 对于不等式 fcosxf(x)sinx0(或 f(x)f(x)tanx0)，构造函数 g(x)f(x)cosx (6)对于不等式f（x） f（x） 0，构造函数 g(x)lnf(x)； 对于不等式 f(x)lnxf（x） x 0，构造函数 g(x)f(x) lnx 【自查自纠】 1(1)单调递增 单调递减 (2)常数函数 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1
3、)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，则一定有 f(x)0 ( ) (2)若函数 f(x)在某个区间内恒有 f(x)0， 则 f(x)在此区间内没有单调性 ( ) (3)在(a，b)内，f(x)0 且 f(x)0 的根有有限个，则 f(x)在(a，b)内是减函 数 ( ) (4)函数 f(x)xlnx 的单调递增区间为(，0)和(1，) ( ) (5)若函数 f(x)x3ax2 在区间(1， )内是增函数， 则实数 a 的取值范围是( 3，) ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) 如图所示为 yf(x)的图象，则函数 yf(x)的单调递减区间是 ( ) A(，1) B
4、(2，0) C(2，0)，(2，) D(，1)，(1，) 解：由导函数图象，知2x2 时，f(x)f(3)f() Bf(3)f(2)f() Cf(2)f()f(3) Df()f(3)f(2) 解：f(x)1cosx，当 x(0，时，f(x)0，所以 f(x)在(0，上是增函数， 所以 f()f(3)f(2)故选 D 若函数 f(x)x3bx2cxd 的单调减区间为(1，3)，则 bc _ 解：f(x)3x22bxc，由题意知1x3 是不等式 3x22bxc0， 则其在区间(，)上的解集为 ， 2 和 0， 2 ， 即 f(x)的单调递增区间为 ， 2 和 0， 2 故填 ， 2 和 0， 2
5、【点拨】 确定函数单调区间的步骤：第一步，确定函数 f(x)的定义 域第二步，求 f(x)第三步，解不等式 f(x)0，解集在定义域内的部 分为单调递增区间；解不等式 f(x)0 且 x1 所以 f(x) lnx1 （lnx）2， 令 f(x)0，解得 0 x1 或 1xe 所以 f(x)的单调递减区间为(0，1)，(1，e) 故填(0，1)，(1，e) (2)(2020届上海市进才中学高三上期中)函数 f(x)1 2x 2x3 2在区间 I 上是 增函数，且函数 y f（x） x 在区间 I 上又是减函数，那么区间 I 可以是 ( ) A1，) B 3，) C1，3 D1， 3 解： f(x
6、)1 2x 2x3 2在区间1， )上是增函数， y f（x） x x 21 3 2x， 由 y 1 2 3 2 1 x2 x 23 2x2 0，解得 x 3，0)(0， 3 故 yf（x） x 1 2x1 3 2x在 3，0)及(0， 3上是减函数 综上知， 区间 I 可以为1， 3故选 D 命题角度 2 含参函数单调性的讨论 (1)(2020届河南新乡高三上一模)已知函数 f(x)x3eax1(a0)，讨论 f(x)的单调性 解：f(x)3x2eaxax3eaxx2eax(ax3) 当 a0 时，令 f(x)0，得 x3 a；令 f(x)0，得 x 3 a所以 f(x)的单调递减区间为 3
7、 a， ，单调递增区间为 ，3 a 当 a0 时，令 f(x)0，得 x3 a；令 f(x)0，得 x 3 a所以 f(x)的单调递减区间为 ，3 a ，单调递增区间为 3 a， (2)(2020届益阳市湘潭市高三9月质检)已知函数 f(x)lnxax2(a2)x2(a 为常数)， 讨论函数 f(x)的单调性 解：f(x)1 x2axa2 2ax2（a2）x1 x （2x1）（ax1） x (x0)， 当 a0 时，f(x)0，则函数 f(x)在(0，)上单调递增 当a0时， 由f(x)0， 得0 x1 a， 由f(x)0得x 1 a 所以f(x)在 0，1 a 上单调递增，在 1 a， 上单
8、调递减 【点拨】 利用导数研究含参函数的单调性是高考热点问题， 通过重点 考查分类与整合思想来检测考生思维的严谨性与周密性， 一个是标准统一， 另一个是不重不漏研究含参数函数的单调性，要依据参数对不等式解集 的影响进行分类讨论划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论， 还要确定导数为 0 的点和函数的间断点 (1)(2020届山东省高三九月摸底)已知函数 f(x)(ax2)e2x，讨论 f(x) 的单调性 解：因为 f(x)(ax2)e2x，所以 f(x)(2axa4)e2x， 当 a0 时，f(x)4e2x0，所以 f(x)在 R 上单调递减 当 a0 时，令 f(x)0，得 x4a 2a
9、 ； 令 f(x)0，得 x4a 2a ， 所以 f(x)的单调递减区间为 ，4a 2a ，单调递增区间为 4a 2a ， 当 a0 时，令 f(x)0，得 x4a 2a ；令 f(x)0，得 x4a 2a 所以 f(x)的单调递减区间为 4a 2a ， ，单调递增区间为 ，4a 2a (2)(2020届山东滨州市高三期初考试)已知函数 f(x)1 2x 2(a1)lnxax，其中 aR，讨论函 数 f(x)的单调性 解：函数 f(x)的定义域为(0，)， f(x)xa1 x a（x1）（xa1） x 若 a1，则当 x(0，1)时，f(x)0，所以函数 f(x)在区间(0，1)上单调递减；当
10、 x(1，)时，f(x)0，所以函数 f(x)在区间(1，)上单调递增 若 1a2，则当 x(0，a1)或 x(1，)时，f(x)0，所以函数 f(x)在区间 (0，a1)，(1，)上单调递增；当 x(a1，1)时，f(x)0，所以函数 f(x)在区间(a 1，1)上单调递减 若 a2，则当 x(0，)时，f(x)0，所以函数 f(x)在区间(0，)上单调递增 若 a2，则当 x(0，1)，x(a1，)时，f(x)0，所以函数 f(x)在区间(0， 1)，(a1，)上单调递增；当 x(1，a1)时，f(x)0，所以函数 f(x)在区间(1，a 1)上单调递减 考点二 利用导数解决函数单调性的应
11、用问题 命题角度 1 图象识别 (2017浙江卷)函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象如图所示，则函数 yf(x)的图象可能是( ) A B C D 解：由导函数 yf(x)的图象可知，该图象在 x 轴的负半轴上有一个零点(不妨设 为 x1)，并且当 xx1时，f(x)0；当 x(x2，x3)时，f(x)x3时， f(x)0因此函数 f(x)在 xx1处取得极小值，在 xx2处取得极大值，在 xx3处取 得极小值对照四个选项，选项 A 中，在 xx1处取得极大值，不合题意；选项 B 中， 极大值点应大于 0，不合题意；选项 C 中，在 xx1处取得极大值，也不合题意；选 项 D 合题意故
12、选 D 【点拨】 利用导数进行图象识别有以下三个结论：在导函数图象中，在 x 轴上方区域对应原函数单调递增区间，在 x 轴下方区域对应原函数单调递减 区间；在导函数图象中， 图象由 x 轴上方到 x 轴下方与 x 轴的交点为极大值 点；由 x 轴下方到 x 轴上方与 x 轴的交点为极小值点；导函数与 x 轴的交点 不一定是极值点， 交点两侧导函数值可能恒正或者恒负， 若交点是极值点， 交 点两侧导函数值必须异号 已知定义在 R 上的函数 f(x)，其导函数 f(x)的大致图象如图所示，则 下列叙述正确的是 ( ) Af(b)f(c)f(d) Bf(b)f(a)f(e) Cf(c)f(b)f(a
13、) Df(c)f(e)f(d) 解：依题意得，当 x(，c)时，f(x)0，所以函数 f(x)在(，c)上是增函数，因 为 abf(b)f(a)故选 C 命题角度 2 比较大小 (1)(2019年广东潮州市高二下期末)当 x(1 2，1)时，函数 f(x)xlnx， 则下列大小关系正确的是 ( ) Af(x)2f(x2)f(x) Bf(x2)f(x)2f(x) Cf(x)f(x2)f(x)2 Df(x2)f(x)f(x)2 解：因为 f(x)xlnx，所以 f(x)1lnx， 由于 x 1 2，1 时，f(x)0，函数在 1 2，1 上单调递增， 由于1 2x1，故 x 2x，所以 f(x2)
14、f(x)f(1)0， 而f(x)20，所以 f(x2)f(x)f(x)2故选 D (2)(2020届山东高三九月摸底)已知 ab1，e 为自然对数的底数，则下列不等式不 一定成立的是 ( ) Aaeabeb Balnbblna Calnablnb Dbeaaeb 解：设 f(x)lnx x (x1)，则 f(x)1lnx x2 令 f(x)0，解得 1xe，令 f(x)0，解得 xe，故 f(x)在(1，e)上单调递增，在(e，)上 单调递减，所以lna a 与lnb b 的大小不确定，即 alnb，blna 的大小不确定对于 A，C，D，分别考查函 数 y1xex，y2xlnx，y3e x
15、x ，求导易得它们均在(1，)上单调递增，从而 A，C，D 一定成立故 选 B 【点拨】 利用导数比较大小， 其关键在于利用题目条件构造辅助函 数， 把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性， 进而根据单调 性比较大小的问题；比较大小时，需关注函数的性质，如奇偶性、对称性， 进而把自变量转移到同一区间，再利用单调性比较即可 (1)已知函数 f(x)cosx1 2x 2，记 af log21 5 ，bf(2 03)，c f(2log23)，则 ( ) Aabc Bbac Cacb Dbc2，02 031，12log 2 3log232， 所以 f log21 5 f(2log23)f(2
16、 03)，即 ac1 的解集为( ) A(3，2)(2，3) B( 2， 2) C(2，3) D(， 2)( 2，) 解：由 yf(x)的图象知，f(x)在(，0上单调递增，在(0，)上单调递减，又 f( 2)1，f(3)1，所以 f(x26)1 可化为2x263，所以 2x3 或3x0)的单调递增区间是1，)，则 a 的取 值集合是_ 解：f(x)的单调递增区间为1，)，即 f(x)仅在区间1，)上单调递增，f(x) a ax1 2 （1x）2 ax2a2 （ax1）（1x）2令 f(x)0ax 2a20 x22a a 若2a a 0，即 a2，则 x22a a 恒成立，f(x)的单调递增区
17、间为0，)，不符合题意； 若2a a 0，即 0a2，则 f(x)的单调递增区间为 2a a ， ，所以 2a a 1，即 a1 时，符合题意故填a|a1 (2)若函数 f(x)ln(ax1)1x 1x(x0， a0)在区间1， )上单调递增， 则 a 的取值范围是_ 解：f(x) a ax1 2 （x1）2 ax2a2 （ax1）（x1）2，由 f(x)在1，)上单调递增 可得，对任意 x1，f(x)0a(x21)2所以 a 2 x21 max1，所以 a1故填 1，) 【点拨】 根据函数单调性求参数的一般思路：利用集合间的包含关系处理： yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应
18、单调区间的子集；f(x)为增函数的充 要条件是对任意的 x(a， b)都有 f(x)0 且在(a， b)内的任一非空子区间上 f(x)不恒 为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解；函数在某个区间存在单调 区间可转化为不等式有解问题 (1)(2020届山东临沂高三上期中)若函数f(x)x3ax23x1在区间 1 2，1 上单调递减，则实数 a 的取值范围为_ 解：由题意得，f(x)3x22ax3，因为 f(x)在区间 1 2，1 上单调递减，所以 f(x)0 在区间 1 2，1 上恒成立，所以 f 1 2 0， f（1）0， 3 1 2 2 2a1 230， 32a30， a 15 4
19、故填 15 4 ， (2)(2020届安徽六校高三一测)若函数 f(x)ex(sinxa)在区间 2， 2 上 单调递增，则实数 a 的取值范围是( ) A 2，) B(1，) C1，) D( 2，) 解：因为 f(x)ex(sinxa)，x 2， 2 ， 所以 f(x)ex(sinxcosxa)， 由于函数 f(x)ex(sinxa)在区间 2， 2 上单调递增， 则x 2， 2 ，f(x)0，所以 sinxcosxa0， 得 asinxcosx 2sin x 4 ， 当 2x 2， 4x 4 3 4 ， 则 2 2 sin x 4 1， 所以 2 2sin x 4 1，所以 a1 因此，实数 a 的取值范围是1，)故选 C
