2022高考数学一轮总复习课件:9.5 二项分布与正态分布
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1、95 二项分布与正态分布二项分布与正态分布 【教材梳理】 1条件概率及其性质 (1)一般地,设 A,B 为两个事件,且 P(A)0,称_为事件 A 发生的条件下, 事件 B 发生的条件概率P(B|A)读作_ 在 古 典 概 型 中 , 若 用 n(A) 表 示 事 件 A 中 基 本 事 件 的 个 数 , 则 P(B|A) _ (2)条件概率具有的性质 _; 如果 B 和 C 是两个互斥事件,则 P(BC|A)_ 2相互独立事件 (1)对于事件 A,B,若事件 A 的发生不会影响事件 B 发生的概率,则称_ (2)若 A 与 B 相互独立,则 P(B|A)_, P(AB)_ (3)若 A 与
2、 B 相互独立,则_,_,_也都相互独立 (4)若 P(AB)P(A)P(B),则_ 3独立重复试验 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的、各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每 一次试验只有两种结果, 即要么发生、 要么不发生, 且任何一次试验中事件发生的概率都是一样的在 相同条件下重复做的 n 次试验称为_, 若 Ai(i1, 2, , n)是第 i 次试验的结果, 则 P(A1A2 An)_ 4二项分布 在 n 次独立重复试验中,事件 A 发生 k 次的概率为(每次试验中事件 A 发生的概率为 p)_, 事件 A 发生的次数是一个随机变量 X, 其分布列为_(k0, 1, 2,
3、, n),此时称随机变量 X 服从_,记为_ 5两点分布与二项分布的分布列 (1)两点分布(又称 01 分布、伯努利分布) 随机变量 X 的分布列为(0p0 为参数我们称 f(x)为正态密度函数,称它的 图象(如图)为正态密度曲线简称,若随机变量 X 的概率分布密度函数为 f(x),则称随机变量 X 服从 正态分布,记为 特别地,当 0, 1 时,随机变量 X 服从标准正态分布 (2)正态曲线的性质 曲线位于 x 轴_,与 x 轴不相交; 曲线是单峰的,它关于直线_对称; 曲线在 x 处达到峰值_; 曲线与 x 轴之间的面积为_; 当 一定时,曲线的位置由 确定,曲线随着_的变化而沿 x 轴平
4、移,如 图 1 所示 当 一定时,曲线的形状由 确定, 越_,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中; 越_,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图 2 所示 (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(X)0682 7; P(2X2)0954 5; P(3X3)0997 3 可以看到,正态总体几乎总取值于区间(3, 3)之内而在此区间以外取值的概率大约只有 0002 7, 通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生在实际应用中, 通常认为服从于正态分布 N(, 2)的随机变量 X 只取(3, 3)之间的值,并简称之为 3 原则 【常用结论】 8n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率与
5、第 k 次才发生的概率计算公 式分别是 Pn(k)Ck np k(1p)nk 与 Pk(1p)k 1p 9正态分布计算中常用的几个结论 (1)若 XN(, 2),则 E(X),D(X)2 (2)P(Xa)1P(Xa) (3)P(X0,则 P(Xb)1P(bXb) 2 【自查自纠】 1(1)P(B|A)P(AB) P(A) A 发生的条件下 B 发生的概率 n(AB) n(A) P(AB) P(A) (2)0P(B|A)1 P(B|A)P(C|A) 2(1)事件 A 与事件 B 相互独立 (2)P(B) P(A)P(B) (3) A与B A与 B A 与B (4)A,B 相互独立 3n 次独立重
6、复试验 P(A1)P(A2)P(An) 4Ck np k(1p)nk P(Xk)Ck np k(1p)nk 二项分布 XB(n,p) 5(1)1p (2)Ck np kqnk Ck np kqnk 6(1)p np (2)p(1p) np(1p) 7(1)正态曲线 XN(,2) (2)上方 x 1 2 1 小 大 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“”,错误的画“” (1)相互独立事件就是互斥事件 ( ) (2)对于任意两个事件,公式 P(AB)P(A)P(B)都成立 ( ) (3)P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率,P(AB)表示事件 A,B 同时发生的概率
7、( ) (4)正态曲线不一定位于 x 轴上方,它与 x 轴可能有交点 ( ) (5)当 一定时,正态曲线的形状由 确定, 越大,曲线越“瘦高”,表示总体 的分布越集中 ( ) 解:(1); (2); (3); (4); (5) 小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游,每人只去一个景点,设事件 A “4 个人去的景点不相同”,事件 B“小赵独自去一个景点”,则 P(A|B) ( ) A2 9 B 1 3 C4 9 D 5 9 解:小赵独自去一个景点,则有 4 个景点可选,剩下三人只能在小赵选剩下的三个 景点中选择,可能有 33327 种方案,所以小赵独自去一个景点所有方案有 4333108 种
8、,因为四个人去的不同景点的方案有 432124(种),所以 P (A|B) 24 108 2 9故选 A (2019江门一模)某射手每次射击击中目标的概率是2 3, 且各次射击的结果 互不影响假设这名射手射击 5 次,则有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中 目标的概率为 ( ) A8 9 B 73 81 C 8 81 D 1 9 解:因为射手每次射击击中目标的概率是2 3,则每次射击不中的概率为 1 3,设“第 i 次射击 击中目标”为事件 Ai(i1,2,3,4,5), “射手在 5 次射击中,有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标”为事件 A,则 P(A)P(A1A2A3 4
9、 A 5 A )P( 1 A A2A3A4 5 A )P( 1 A 2 A A3A4A5) (2 3) 3(1 3) 21 3( 2 3) 31 3( 1 3) 2(2 3) 3 8 81故选 C (2020山西灵丘豪洋中学高二期末)已知随机变量 22,若 B(10,04),则 E(),D()分别是( ) A4 和 06 B4 和 24 C1 和 24 D1 和 06 解:因为 B(10,04),则 E()10044, D()1004(104)24, 由 22,得 2 1, 则 E()E 2 1 1 2E()1 1 2411, D() 1 2 2 D()1 42406故选 D (2019届湖南
10、省益阳市高三4月模拟)某市高三年级 26 000 名学生参加了本月中旬 的全市模拟考试,已知数学考试成绩 XN(100, 2)统计结果显示数学考试成绩 X 在 80 分到 120 分之间的人数约为总人数的3 4,则数学成绩不低于 120 分的学生人数约为 _ 解:因为成绩 XN(100,2),所以正态分布曲线关于 X100 对称,又成绩在 80 分 到 120 分之间的人数约占总人数的3 4, 由对称性知, 成绩不低于 120 分的学生约为总人数的 1 2(1 3 4) 1 8,所以此次考试成绩不低于 120 分的学生人数约为 1 826 0003 250故填 3 250 考点一考点一 条件概
11、率条件概率 (1)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A 为“取到的 2 个数之和 为偶数”,事件 B 为“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)等于( ) A1 8 B 1 4 C2 5 D 1 2 解法一:P(A)C 2 3C 2 2 C2 5 2 5,P(AB) C2 2 C2 5 1 10,P(B|A) P(AB) P(A) 1 4 解法二:事件 A 包括的基本事件:(1,3),(1,5),(3,5),(2,4)共 4 个 事件 AB 发生的结果只有(2,4)一种情形,即 n(AB)1 得 P(B|A)n(AB) n(A) 1 4故选 B (2)(2020年湖北
12、沙市中学高二月考)“幻方”最早记载于我国公元前 500 年的春秋时期大 戴礼中,n 阶幻方(n3,nN*)是由前 n2个正整数组成的一个 n 阶方阵,其各行各列及两条 对角线所含的 n 个数之和(简称幻和)相等,例如 3 阶幻方的幻和为 15现从如图所示的 3 阶幻 方中任取 3 个不同的数,记“取到的 3 个数和为 15”为事件 A, “取到的 3 个数可以构成一个 等差数列”为事件 B,则 P(B|A) ( ) A3 4 B 2 3 C1 3 D 1 2 解:根据题意,事件 A 包含的基本事件有(8,1,6),(3,5,7),(4,9,2), (8,3,4),(1,5,9),(6,7,2)
13、,(8,5,2),(4,5,6),共 8 个; 事件 AB 同时发生包含的基本事件有(3,5,7),(1,5,9),(8,5,2),(4, 5,6),共 4 个,所以 P(B|A)n(AB) n(A) 4 8 1 2故选 D 【点拨】 解决条件概率问题的步骤:第一步,判断是否为条件概率,若题目中出 现“在条件下” “在前提下”等字眼,一般为条件概率;题目中若没有出现上 述字眼,但已知事件的出现影响所求事件的概率时,也需注意是否为条件概率若为 条件概率,则进行第二步,计算概率,这里有两种思路思路一:缩减样本空间法计 算条件概率如求 P(A|B),可分别求出事件 B,AB 包含的基本事件的个数,再
14、利用公 式 P(A|B)n(AB) n(B) 计算;思路二:直接利用条件概率的计算公式计算条件概率,即 先分别计算出 P(AB),P(B),再利用公式 P(A|B)P(AB) P(B) 计算 (1)(2020届湖北武汉六月供题)某班有 6 名班干部,其中男生 4 人,女生 2 人,任选 3 人参加学校组织的义务植树活动,设“男生甲被选中”为事件 A, “女 生乙被选中”为事件 B则 P(B|A)_ 解:由题意“男生甲被选中”的方法数是 n(A)C2 510, “男生甲女生乙同时 被选中”的方法数为 n(AB)C1 44,所以 P(B|A)n(AB) n(A) 4 10 2 5故填 2 5 (2
15、)(2020辽宁锦州高二期末)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从 下到上排列的 6 个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“ ” ,如图就是一重卦在所有重卦中随机 取一重卦, 记事件 A“取出的重卦中至少有 2 个阴爻”, 事件 B“取出的重卦中恰有 3 个阳爻”则 P(B|A) ( ) A 5 16 B 11 32 C21 32 D 20 57 解:由题意知,P(A)1 1 26 C1 6 26 57 64,事件 AB“取出的重卦中恰有 3 个阳爻, 3 个阴爻”, 则 P(AB)C 3 6 26 5 16, 所以 P(B|A) P(AB) P(A) 5 16 57 64 20
16、57 故 选 D 考点二考点二 相互独立事件与二项分布相互独立事件与二项分布 命题角度 1 相互独立事件的概率 某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为2 3和 3 5 现安 排甲组研发新产品 A,乙组研发新产品 B设甲、乙两组的研发相互独立 (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计 企业可获利润 100 万元求该企业可获利润的分布列 解:记 E“甲组研发新产品成功”,F“乙组研发新产品成功”,由题设知 P(E) 2 3,P( E)1 3,P(F) 3 5,P( F)2 5,且事件 E
17、 与 F,E 与 F,E与 F,E与F都相互独 立 (1)记 H“至少有一种新产品研发成功”,则HEF, 于是 P(H)P(E)P(F)1 3 2 5 2 15, 故所求的概率为 P(H)1P(H)1 2 15 13 15 (2)设企业可获利润为 X(万元),则 X 的可能取值为 0,100,120,220,因为 P(X 0)P(EF)1 3 2 5 2 15, P(X100)P(EF)1 3 3 5 3 15 1 5, P(X120)P(EF)2 3 2 5 4 15, P(X220)P(EF)2 3 3 5 6 15 2 5 故所求的分布列为 X 0 100 120 220 P 2 15
18、1 5 4 15 2 5 【点拨】 求解该类问题在于正确分析所求事件的构成, 将其转化为 彼此互斥事件的和或相互独立事件的积, 然后利用相关公式进行计算求 相互独立事件同时发生的概率的主要方法:利用相互独立事件的概率 乘法公式直接求解; 正面计算较繁(如求用“至少”表达的事件的概率) 或难以入手时,可从其对立事件入手计算 (2021新高考八省模拟演练)一台设备由三个部件构成,假设在一天的运转中,部 件 1,2,3 需要调整的概率分别为 01,02,03,各部件的状态相互独立 (1)求设备在一天的运转中,部件 1,2 中至少有 1 个需要调整的概率; (2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数
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