2022高考数学一轮总复习课件:综合突破三 数列综合问题
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1、综合突破三综合突破三 数列综合问题数列综合问题 考点一考点一 基本综合问题基本综合问题 (2020全国卷)设数列an满足 a13,an13an4n. (1)计算 a2,a3,猜想an的通项公式并加以证明; (2)求数列2nan的前 n 项和 Sn. 解:(1)a25,a37, 猜想 an2n1,证明如下: 由已知可得 an1(2n3)3an(2n1), an(2n1)3an1(2n1), a253(a13) 因为 a13,所以 an2n1. (2)由(1)得 2nan(2n1) 2n,所以 Sn32522723(2n1)2n. 2Sn322523724(2n1)2n 1. 得 Sn322222
2、2322n(2n1)2n 122(12 n) 12 (2n1)2n 1 (12n)2n 12, 所以 Sn(2n1) 2n 12. 【点拨】 先观察分析,再猜想证明是研究数学问题的重要方 法 无论是求数列的通项还是求数列的前 n 项和, 通过变形整理后, 能够把已知“陌生”数列转化为我们熟悉的等差数列或等比数列 (或相关求和问题),进而解决 (2020全国卷)设an是公比不为 1 的等比数列,a1为 a2, a3的等差中项 (1)求an的公比; (2)若 a11,求数列nan的前 n 项和 解:(1)设an的公比为 q,由题意得 2a1a2a3,a10,所以 q2q20,因 为 q1,所以 q
3、2. (2)设nan的前 n 项和为 Sn,a11,an(2)n 1,S n112(2)3(2) 2 n(2)n 1, 2Sn1(2)2(2)23(2)3(n1)(2)n 1n(2)n, 得,3Sn1(2)(2)2(2)n 1n(2)n1(2) n 1(2) n(2)n 1(13n)(2) n 3 , 所以 Sn1(13n)(2) n 9 . 考点二考点二 数列与函数、不等式数列与函数、不等式 (20192020 学年四川成都高一下期末)已知数列an的前 n 项和为 Sn, 且满足 2Sn 3an3. (1)证明:数列an是等比数列; (2)若数列bn满足 bnlog3an,记数列 1 bnb
4、n1 的前 n 项和为 Tn,证明:1 2Tn0,所以Tn为单调递增 数列,故 TnT11 2, 因为 nN*,则 1 n10,故 Tn1 1 n11, 所以1 2Tn1. 【点拨】 数列与函数的交汇一般体现在两个方面: 一是以数列的特征量 n, an,Sn为坐标的点在函数图象上,可得数列的递推关系;二是数列的项或前 n 项和可以看作关于 n 的函数,然后利用函数的性质求解数列问题数列不等式 的证明问题,一般要把数列的求和与放缩法结合起来,灵活运用 (2021届湖南高三9月联考)在an 1 an 1 2,an1an 1 6,an1 ann8 这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的
5、 Sn存在最 大值,则求出最大值;若问题中的 Sn不存在最大值,请说明理由 问题: 设 Sn是数列an的前 n 项和, 且 a14, _, 求an的通项公式, 并判断 Sn是否存在最大值 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 解:选, 因为an 1 an 1 2,a14,所以an是首项为 4,公比为 1 2的等比数列, 所以 an4 1 2 n1 1 2 n3 . 当 n 为奇数时,Sn 4 1 1 2 n 11 2 8 3 1 1 2n , 因为8 3 1 1 2n 随着 n 的增加而减少,所以此时 Sn的最大值为 S14. 当 n 为偶数时,Sn8 3 1 1 2n , 且 Sn
6、8 3 1 1 2n 8 30,故 Sn不存在最大值 (20192020 学年哈尔滨九中高一下期末)已知等比数列an满足 a12,a24(a3 a4),正项数列bn的前 n 项和为 Sn,且 2 Snbn1. (1)求数列an和bn的通项公式; (2)若 0,求对所有的正整数 n 都有 22k2a2nbn成立的 k 的取值范围 解:(1)设数列an的公比为 q,因为 a12,a24(a3a4),所以 2q4(2q22q3),解得 q1 2(q 0 舍去),所以 an2 1 2 n1 1 2n 2, 由 2 Snbn1 得,Sn(bn1) 2 4 , 由 S1b1(b11) 2 4 ,得 b11
7、, 当 n2 时,bnSnSn1(bn1) 2 4 (bn 11)2 4 , 即(bnbn1)(bnbn12)0, 因为 bn0,所以 bnbn12,所以bn是首项为 1,公差为 2 的等差数列,则 bn12(n1) 2n1. (2)由(1)知 a2nbn2n1 22n 22n1 4n 1, 设 dna2nbn2n1 4n 1, 则 n2 时, dndn12n1 4n 12n3 4n 2 116n 4n 1, 因为 n2,所以 dndn1a2nbn成立,即 22k21 恒成立,因为 0, 所以 k2 1 恒成立,即 k0 时, 2 1 2 2 1 2 2,当且仅当 2 1 ,即 2 2 时等号
8、成立,所以 k2 2.所以 k 的取值范围为(,2 2) 【点拨】 数列不等式恒成立求参数范围的综合问题,涉及知识面广、综合 性强,对能力要求高,能较好地考查学生的思维能力,此类问题的解题策略有: 分离参数法:对于参数与主变量未分开的不等式恒成立问题,优先考虑分离 参数,再转化为最值问题处理;单调性法:对于与数列单调性有关的不等式 恒成立问题,可以利用数列单调性定义转化为不等式恒成立问题的一般形式, 再求参数范围;最值(有界性)法:对于一边能求和(或放缩后能求和)的数列不 等式恒成立问题,一般先求和再求出数列和的最值(或上界、下界),进而求出 参数范围 (20202021 学年河南豫南九校高二
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