1、第二篇 函数及其性质专题2.02函数的单调性与最值【考试要求】1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值。2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义【知识梳理】1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函
2、数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)对于任意xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值【微点提醒】1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).2.函数yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与yf(x)，y的单调性相反.3.“对勾函数”yx(a0)的增区间为(，)，
3、(，)；单调减区间是，0)，(0，.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)对于函数f(x)，xD，若对任意x1，x2D，且x1x2有(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在区间D上是增函数.()(2)函数y的单调递减区间是(，0)(0，).()(3)对于函数yf(x)，若f(1)f(1) B.f(m)0，所以m1，所以f(m)f(1).6.(2017全国卷)函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是()A.(，2) B.(，1)C.(1，) D.(4，)【答案】D【解析】由x22x80，得x4或x0)，易知tx2ax3a在上单调递减，在上单调递增.ylo
4、g (x2ax3a)在区间(2，)上是减函数，tx2ax3a在(2，)上是增函数，且在(2，)上t0，2，且42a3a0，a4，4. (2)判断并证明函数f(x)ax2(其中1a3)在x1，2上的单调性.【答案】见解析【解析】f(x)在1，2上单调递增，证明如下：设1x1x22，则f(x2)f(x1)axax(x2x1)，由1x10，2x1x24，1x1x24，1.又因为1a3，所以2a(x1x2)0，从而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a(1，3)时，f(x)在1，2上单调递增.【规律方法】1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2
5、)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.2.(1)函数单调性的判断方法有：定义法；图象法；利用已知函数的单调性；导数法.(2)函数yfg(x)的单调性应根据外层函数yf(t)和内层函数tg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.【训练1】 (一题多解)试讨论函数f(x)(a0)在(1，1)上的单调性.【答案】见解析【解析】法一设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa，由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上单调递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时
6、，f(x)0，函数f(x)在(1，1)上单调递减；当a0，函数f(x)在(1，1)上单调递增.考点二求函数的最值【例2】 (1)已知函数f(x)axlogax(a0，且a1)在1，2上的最大值与最小值之和为loga26，则a的值为()A. B. C.2 D.4(2)已知函数f(x)则ff(3)_，f(x)的最小值是_.【答案】(1)C(2)023【解析】(1)f(x)axlogax在1，2上是单调函数，所以f(1)f(2)loga26，则aloga1a2loga2loga26，即(a2)(a3)0，又a0，所以a2.(2)f(3)lg(3)21lg 101，ff(3)f(1)0，当x1时，f(
7、x)x323，当且仅当x时，取等号，此时f(x)min230；当xx11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab B.cbaC.acb D.bac【答案】D【解析】由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数yf(x)的图象关于直线x1对称，所以aff.当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ac.角度2求解函数不等式【例32】 (2018全国卷)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A.(，1 B.(0，)C.(1，0) D.(，0)【答案】D【解析】当x0时，函数f(x)2x是减函数，则f(x)f(0)1.作出f(x)的大致图象如图所
8、示，结合图象知，要使f(x1)f(2x)，当且仅当或解得x1或1x0，即x0成立，那么a的取值范围是_.【答案】【解析】对任意x1x2，都有0，所以yf(x)在(，)上是增函数.所以解得a2.故实数a的取值范围是.【规律方法】1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”.【训练3】 (1)(2017天津卷)已知奇函数f(
9、x)在R上是增函数，若af，bf(log2 4.1)，cf(20.8)，则a，b，c的大小关系为()A.abc B.bacC.cba D.calog24.1220.8，且yf(x)在R上是增函数，所以abc.(2)因为f(x)x22ax(xa)2a2在1，2上为减函数，所以由其图象得a1，g(x)，g(x)，要使g(x)在1，2上为减函数，需g(x)0在1，2上恒成立，故有a0，综上可知0a1.【反思与感悟】1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤：(1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调
10、性.3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用基本不等式.【易错防范】1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“”.例如，函数f(x)在区间(1，0)上是减函数，在(0 ，1)上是减函数，但在(1，0)(0，1)上却不一定是减函数，如函数f(x).【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.函数f(x)x在上的最大值是()A. B. C.2 D.2【答案】A【解析】易知f(x)在上是减函数，f
11、(x)maxf(2)2.2.(2019广州模拟)下列函数f(x)中，满足“x1，x2(0，)且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是()A.f(x)2x B.f(x)|x1|C.f(x)x D.f(x)ln(x1)【答案】C【解析】由(x1x2)f(x1)f(x2)0且a1)，若f(0)0，可得3x1，故函数的定义域为x|3x1.根据f(0)loga30，可得0a1，又g(x)在定义域(3，1)内的减区间是1，1)，f(x)的单调递增区间为1，1).4.函数y，x(m，n的最小值为0，则m的取值范围是()A.(1，2) B.(1，2) C.1，2) D.1，2)【答案】D【解析】函
12、数y1在区间(1，)上是减函数，且f(2)0，所以n2.根据题意，x(m，n时，ymin0.m的取值范围是1，2).5.(2019蚌埠模拟)已知单调函数f(x)，对任意的xR都有ff(x)2x6，则f(2)()A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】设tf(x)2x，则f(t)6，且f(x)2xt，令xt，则f(t)2tt6，f(x)是单调函数，f(2)2226，t2，即f(x)2x2，则f(2)426.二、填空题6.(2019北京杨镇一中月考)已知f(x)和g(x)在定义域内均为增函数，但f(x)g(x)不一定是增函数，请写出一对这样的函数：例如当f(x)_，且g(x)_时，f(x)
13、g(x)不是增函数.【答案】此答案不唯一(参考答案：x，x；x，x3；x，ln x；x，lg x；x，ex；)7.设函数f(x)在区间(2，)上是增函数，那么a的取值范围是_.【答案】1，)【解析】f(x)a，函数f(x)在区间(2，)上是增函数，即即a1.8.(一题多解)(2019天津河东区模拟)对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_.【答案】1【解析】法一在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)图象，依题意，h(x)的图象如图所示的实线部分.易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2
14、)1.法二依题意，h(x)当02时，h(x)3x是减函数，因此h(x)在x2时取得最大值h(2)1.三、解答题9.已知函数f(x)(a0，x0).(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值.【答案】见解析【解析】(1)证明设x2x10，则x2x10，x1x20，f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是增函数.(2)解f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是单调增函数，f，f(2)2，易得a.10.函数f(x)loga(1x)loga(x3)(0a1).(1)求方程f(x)0的解.(2)若函数f(x)的最小值为1，求a的值
15、.解(1)由得3x1.f(x)的定义域为(3，1).则f(x)loga(x22x3)，x(3，1)，令f(x)0，得x22x31，解得x1或x1，检验，均满足原方程成立.故f(x)0的解为x1.(2)由(1)得f(x)loga(x1)24，x(3，1)，由于0(x1)244，且a(0，1)，loga(x1)24loga4，由题意可得loga41，解得a，满足条件.所以a的值为.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.已知函数f(x)在(，)上单调递减，且为奇函数.若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是()A.2，2 B.1，1 C.0，4 D.1，3【答案】D【解析】f(x)为
16、奇函数，f(x)f(x).f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1).又f(x)在(，)单调递减，1x21，1x3.12.已知函数f(x)x22axa在区间(，1)上有最小值，则函数g(x)在区间(1，)上一定()A.有最小值 B.有最大值C.是减函数 D.是增函数【答案】D【解析】因为函数f(x)x22axa(xa)2aa2在区间(，1)上有最小值，所以函数f(x)的对称轴xa应当位于区间(，1)内，即a1，又g(x)x2a，当ag(1)1a0；当a0时，g(x)x在区间(1，)上为增函数，此时，g(x)ming(1)1；当0a1a0，此时g(x)min
17、g(1)1a；综上，g(x)在区间(1，)上单调递增.13.已知f(x)不等式f(xa)f(2ax)在a，a1上恒成立，则实数a的取值范围是_.【答案】(，2)【解析】二次函数y1x24x3的对称轴是x2，所以该函数在(，0上单调递减，所以x24x33，同样可知函数y2x22x3在(0，)上单调递减，所以x22x3f(2ax)得到xa2ax，即2xa在a，a1上恒成立，所以2(a1)a，a2，所以实数a的取值范围是(，2).14.已知函数f(x)a.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)f(2)的x的范围.【答案】见解析【解析】(1)f(0)aa1.(2)f(x)在R上单调递增.证明如下：f(x)的定义域为R，任取x1，x2R且x1x2，则f(x1)f(x2)aa，y2x在R上单调递增且x1x2，02x12x2，2x12x20，2x210.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).f(x)在R上单调递增.(3)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即aa，解得a1(或用f(0)0去解).f(ax)f(2)即为f(x)f(2)，又f(x)在R上单调递增，x1时，f(x)2x2x在(1，)上递增，令x1时，2x2x224f(1)，故f(x)的单调增区间为0，1(1，)0，).14
