1、第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布专题10.03二项式定理【考试要求】1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【知识梳理】1.二项式定理(1)二项式定理：(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)；(2)通项公式：Tr1Canrbr，它表示第r1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，C.2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即CC增减性二项式系数C当k(nN*)时，是递增的当k(nN*)时，是递减的二项式系数最大值当n为偶数时，中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项
2、与取得最大值3.各二项式系数和(1)(ab)n展开式的各二项式系数和：CCCC2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即CCCCCC2n1.【微点提醒】(ab)n的展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)Cankbk是二项展开式的第k项.()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.(
3、)(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()(4)(ab)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】二项式展开式中Cankbk是第k1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确.【教材衍化】2.(选修23P31T4改编)(xy)n的二项展开式中，第m项的系数是()A.C B.CC.C D.(1)m1C【解析】(xy)n展开式中第m项的系数为C(1)m1.【答案】D3.(选修23P35练习A1(3)改编)的值为()A.2 B.4C.2 019 D.2 0182 019【答案】B【
4、解析】原式224.【真题体验】4.(2018全国卷)的展开式中x4的系数为()A.10 B.20 C.40 D.80【答案】C【解析】Tr1C(x2)5rC2rx103r，由103r4，得r2，所以x4的系数为C2240.5.(2019东营调研)已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kN)是一个递增数列，则k的最大值是()A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】由二项式定理知，anC(n1，2，3，11).又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6C，则k的最大值为6.6.(2018浙江卷)二项式的展开式的常数项是_.【答
5、案】7【解析】该二项展开式的通项公式为Tr1CxCx.令0，解得r2，所以所求常数项为C7.【考点聚焦】考点一通项公式及其应用角度1求二项展开式中的特定项【例11】 (1)(2019北京海淀区二模)(x21)的展开式的常数项是()A.5 B.10 C.32 D.42(2)的展开式中所有的有理项为_.【答案】(1)D(2)x2，x2【解析】(1)由于的通项为C(2)rC(2)rx，故(x21)的展开式的常数项是C(2)C(2)542.(2)二项展开式的通项公式为Tk1Cx .由题意Z，且0k10，kN.令r(rZ)，则102k3r，k5r，kN，r应为偶数.r可取2，0，2，即k可取2，5，8，
6、第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，x2.【规律方法】求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r1，代回通项公式即可.角度2求二项展开式中特定项的系数【例12】 (1)(多项式是积的形式)(2017全国卷)(1x)6的展开式中x2的系数为()A.15 B.20 C.30 D.35(2)(多项式是和的形式)已知(1ax)3(1x)5的展开式中含x3的系数为2，则a等于()A.2 B.2 C.2 D.1(3)(三项展开式问题)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A.10 B.20 C.30
7、D.60【答案】(1)C(2)B(3)C【解析】(1)因为(1x)6的通项为Cxr，所以(1x)6展开式中含x2的项为1Cx2和Cx4，因为CC2C230，所以(1x)6展开式中x2的系数为30.(2)(1ax)3(1x)5的展开式中x3的系数为Ca3C(1)3a3102，则a38，解得a2.(3)法一(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2的系数为CC30.法二(x2xy)5表示5个x2xy之积.x5y2可从其中5个因式中，两个取因式中x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，因此x5y2的系数为CCC3
8、0.【规律方法】1.求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并，通常要用到方程或不等式的知识求解.2.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可.3.三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形.【训练1】 (1)(2017全国卷改编)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为_.(2)在(1)7的展开式中，若x2的系数
9、为19，则a_.【答案】(1)40(2)2【解析】(1)由二项式定理可得，展开式中含x3y3的项为xC(2x)2(y)3yC(2x)3(y)240x3y3，则x3y3的系数为40.(2)(1)7的展开式中x2的系数为C()6C()5Cx2Cx2a，则aCC19，解得a2.考点二二项式系数与各项的系数问题【例2】 (1)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.(2)(2019汕头质检)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为_.【答案】(1)3(2)1或3【解析】(1)设(ax)(1x)4a
10、0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5，令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)，即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1a3a58(a1)，所以8(a1)32，解得a3.(2)令x0，则(2m)9a0a1a2a9，令x2，则m9a0a1a2a3a9，又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39，(2m)9m939，m(2m)3，m3或m1.【规律方法】1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n，(ax2bxc)m (a，bR)的式子求其展开式
11、的各项系数之和，常用赋值法.2.若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.【训练2】 (1)(2019烟台模拟)已知的展开式的各项系数和为243，则展开式中x7的系数为()A.5 B.40 C.20 D.10(2)(2018湘潭三模)若(1x)(12x)8a0a1xa9x9，xR，则a12a222a929的值为()A.29 B.291 C.39 D.391【答案】(1)B(2)D【解析】(1)由的展开式的各项系数和为243，令x1得3n243，即n5，则Tr1C(x3)5r2rCx154r，令15
12、4r7，得r2，展开式中x7的系数为22C40.(2)(1x)(12x)8a0a1xa2x2a9x9，令x0，得a01；令x2，得a0a12a222a92939，a12a222a929391.考点三二项式系数的性质角度1二项式系数的最值问题【例31】 (2019上海崇明区二模)二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A.3 B.5 C.6 D.7【答案】D【解析】根据的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n20，的展开式的通项为Tr1C(x)20r()20rCx20，要使x的指数是整数，需r是3的倍数，r0，3，6，9，12，15，18，x的指
13、数是整数的项共有7项.角度2项的系数的最值问题【例32】 已知(x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x1)n的展开式的二项式系数和大992，则在的展开式中，二项式系数最大的项为_，系数的绝对值最大的项为_.【答案】8 06415 360x4【解析】由题意知，22n2n992，即(2n32)(2n31)0，故2n32，解得n5.由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6C(2x)58 064.设第k1项的系数的绝对值最大，则Tk1C(2x)10k(1)kC210kx102k，令得即解得k.kZ，k3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T4C27x415 3
14、60x4.【规律方法】1.二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或.2.二项展开式系数最大项的求法如求(abx)n(a，bR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，An1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得.【训练3】 已知m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a7b，则m()A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】由题意可知，aC，bC.13a7b，137，即，解得m
15、6.【反思与感悟】1.二项式定理及通项的应用(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用.有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理.(2)运用二项式定理一定要牢记通项Tk1Cankbk，注意(ab)n与(ba)n虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题.(3)在通项Tk1Cankbk(nN*)中，要注意有nN*，kN，kn，即k0，1，2，n.2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常
16、赋的值为0，1.【易错防范】1.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C，C，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.2.切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.已知的展开式的第4项等于5，则x等于()A. B. C.7 D.7【答案】B【解析】由T4Cx45，得x.2.已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A.29 B.210 C.211 D.
17、212【答案】A【解析】由题意，CC，解得n10.则奇数项的二项式系数和为2n129.3.(2019广州测试)使(nN*)展开式中含有常数项的n的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】Tr1C(x2)nrCx2n5r，令2n5r0，得nr，又nN*，所以n的最小值是5.4.(2018邯郸二模)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x3的系数为()A.15 B.45 C.135 D.405【答案】C【解析】令中x为1，得各项系数和为4n，又展开式的各项的二项式系数和为2n，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，64，解得n6，二项式的展开式的通项公式为T
18、r1C3rx6r，令6r3，求得r2，故展开式中x3的系数为C32135.5.(2019枣庄二模)若(x2a)的展开式中x6的系数为30，则a等于()A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】展开式的通项公式为Tr1Cx10rCx102r，令102r4，解得r3，所以x4项的系数为C，令102r6，解得r2，所以x6项的系数为C，所以(x2a)的展开式中x6的系数为CaC30，解得a2.6.(13x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，求|a0|a1|a2|a3|a4|a5|()A.1 024 B.243 C.32 D.24【答案】A【解析】令x1得a0a1a2a3a4a5|a0|
19、a1|a2|a3|a4|a5|1(3)5451 024.7.已知C2C22C23C2nC729，则CCCC等于()A.63 B.64 C.31 D.32【答案】A【解析】逆用二项式定理得C2C22C23C2nC(12)n3n729，即3n36，所以n6，所以CCCC26C64163.8.若(1xx2)na0a1xa2x2a2nx2n，则a0a2a4a2n等于()A.2n B. C.2n1 D.【答案】D【解析】设f(x)(1xx2)n，则f(1)3na0a1a2a2n，f(1)1a0a1a2a3a2n，由得2(a0a2a4a2n)f(1)f(1)，所以a0a2a4a2n.二、填空题9.(201
20、7山东卷)已知(13x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n_.【答案】4【解析】(13x)n的展开式的通项为Tr1C(3x)r，令r2，得T39Cx2，由题意得9C54，解得n4.10.(2018石家庄调研)(1x)n的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n_.【答案】10【解析】(1x)n的二项展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以16，n10.11.若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_(用数字作答).【答案】10【解析】f(x)x5(1x1)5，它的通项为Tk1C(1x)5k(1)k，令5k3，
21、则k2，所以T3C(1x)3(1)210(1x)3，a310.12.的展开式中常数项是_(用数字作答).【答案】161【解析】的展开式中通项公式：Tr1C(1)5r，其中的通项公式：Tk1C(2x)rk2rkCxr2k，令r2k0，则k0，r0；k1，r2；k2，r4.因此常数项为C(1)5C(1)32CC(1)22C161.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2019河南百校联盟模拟)(32xx4)(2x1)6的展开式中，含x3项的系数为()A.600 B.360 C.600 D.360【答案】C【解析】由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x3项的系数为3C23(1)32C22(
22、1)4600.14.在的展开式中，含x2项的系数为()A.10 B.30 C.45 D.120【答案】C【解析】因为(1x)10C(1x)9C，所以x2项只能在(1x)10的展开式中，所以含x2的项为Cx2，系数为C45.15.(2019安徽江南十校联考)若(xy1)3(2xya)5的展开式中各项系数的和为32，则该展开式中只含字母x且x的次数为1的项的系数为_(用数字作答).【答案】7【解析】令xy1(a1)532a1，故原式(xy1)3(2xy1)5x(y1)32x(1y)5，可知展开式中x的系数为CC(1)3C27.16.设(1ax)2 018a0a1xa2x2a2 018x2 018，
23、若a12a23a32 018a2 0182 018a(a0)，则实数a_.【答案】2【解析】已知(1ax)2 018a0a1xa2x2a2 018x2 018，两边同时对x求导，得2 018(1ax)2 017(a)a12a2x3a3x22 018a2 018x2 017，令x1得，2 018a(1a)2 017a12a23a32 018a2 0182 018a，又a0，所以(1a)2 0171，即1a1，故a2.【新高考创新预测】17.(多填题)已知a6x6a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0，那么a0a_；a4_.【答案】12899【解析】取x0，则27a0a，a0a128.由已知可得(2x)7(1x)，则13
