1、2.2函数的单调性考情考向分析以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有填空题，又有解答题函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一
2、区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间概念方法微思考1在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对x1，x2D，0f(x)在D上是增函数，减函数类似2写出对勾函数yx(a0)的增区间提示(，和，)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(1)0，则f(3)与f()的大小关系是_答案f(3)f()解析由(x1x2)f(x1)f(x2)0，可知函数f(x)为增函数，又3，f(3)f()5函数的单调递减区间为_答案(2，)6若函数f(x)|2xa|的单调增区间是3，)，则a的值为_答案6解析由图象(图略)易知函数f(
3、x)|2xa|的单调增区间是，令3，得a6.题型一求函数的单调区间1函数的单调递减区间为_答案(1，)解析由2x23x10，得函数的定义域为(1，)令t2x23x1，x(1，)则，t2x23x122，t2x23x1的一个单调递增区间为(1，)又是减函数，函数的单调递减区间为(1，)2函数yx22|x|3的单调递减区间是_答案1,0，1，)解析由题意知，当x0时，yx22x3(x1)24；当xx20，则x1x20，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，故函数f(x)ex在(0，)上是增函数引申探究如何用导数法求解本例？解f(x)ex，x0，ex1，f(x)0，f(x)ex在(0，)上是增
4、函数命题点2讨论函数单调性例2判断函数f(x)(a0)在区间(1,1)上的单调性解任取x1，x2(1,1)，且x1x2，则f(x1)f(x2).由1x1x20，当a0时，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)在(1,1)上单调递减；同理，当a0时，f(x)在(1,1)上单调递增思维升华证明或判断函数的单调性要严格按照函数单调性的定义，尤其在判断符号时可将f(x1)f(x2)转化为几个因式积商的形式，也可利用导数法证明或判断函数的单调性跟踪训练1判断并证明函数f(x)ax2(其中1a3)在1,2上的单调性解函数f(x)ax2(1a3)在1,2上单调递增证明：设1x1x22，则f(
5、x2)f(x1)axax(x2x1)，由1x10,2x1x24，1x1x24，1.又因为1a3，所以2a(x1x2)0，从而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a(1,3)时，f(x)在1,2上单调递增题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ac解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1对称，且在(1，)上是减函数，因为aff，且2ac.命题点2解函数不等式例4已知函数f(x)lnx2x，若f(x24)2，则实数x的取值范围是_答案(，2)(2，)解析因为函数
6、f(x)lnx2x在定义域上单调递增，且f(1)ln122，所以由f(x24)2得f(x24)f(1)，所以0x241，解得x2或2x1)是增函数，故a1，所以a的取值范围为10恒成立当a0时，g(x)x在(0,1)上单调递增且g(x)0，符合题意；当a0时，g(x)图象的对称轴为x0，符合题意；当a0，解得a，则a0成立，那么a的取值范围是_答案解析对任意x1x2，都有0，所以yf(x)在(，)上是增函数所以解得a2.故实数a的取值范围是.(2)定义在R上的奇函数yf(x)在(0，)上单调递增，且f0，则不等式的解集为_答案解析由题意知，ff0，f(x)在(，0)上也单调递增或，或，解得0x
7、或1x0，得2xbc解析f(x)在R上是奇函数，afff(log25)又f(x)在R上是增函数，且log25log24.1log24220.8，f(log25)f(log24.1)f(20.8)，abc.4如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上单调递增，则实数a的取值范围是_答案解析当a0时，f(x)2x3在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a0，且4，解得a0时，它有两个减区间为(，1)和(1，)，故只需区间1,2是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a的取值范围是0a1.6已知函数f(x)
8、则“c1”是“函数f(x)在R上单调递增”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析若函数f(x)在R上单调递增，则需log21c1，即c1.由c1能得出c1，但c1不能得出c1，所以“c1”是“函数f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件7已知函数f(x)当x1x2时，0，则a的取值范围是_答案解析当x1x2时，0，f(x)是R上的减函数f(x)0a.8已知定义在R上的奇函数f(x)在0，)上单调递减，若f(x22xa)f(x1)对任意的x1,2恒成立，则实数a的取值范围为_答案解析依题意得f(x)在R上是减函数，所以f(x22xa)x1对任意的
9、x1,2恒成立，等价于ax23x1对任意的x1,2恒成立设g(x)x23x1(1x2)，则g(x)2(1x2)，当x时，g(x)取得最大值，且g(x)maxg，因此a.9若函数f(x)x2|xa|b在区间(，0上为减函数，则实数a的取值范围是_答案0，)解析因为f(x)x2|xa|b由图象知(图略)，若函数f(x)x2|xa|b在区间(，0上为减函数，则应有a0.10设函数f(x)若函数yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数a的取值范围是_答案(，14，)解析作函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足a4或a12，即a1或a4.11已知f(x)(x
10、a)(1)若a2，试证f(x)在(，2)上单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围(1)证明当a2时，f(x).设x1x20，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)上单调递增(2)解设1x10，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1.综上所述，00且方程ax2bx10中b24a(a1)24a(a1)20，a1.从而f(x)x22x1.F(x)(2)由(1)可知f(x)x22x1，g(x)f(x)kxx2(2k)x1，由g(x)在2,2上是单调函数，知2或2，得k2或k6.
11、即实数k的取值范围为(，26，)13已知函数f(x)若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是_答案(2,1)解析当x0时，两个表达式对应的函数值都为0，函数的图象是一条连续的曲线又当x0时，函数f(x)x3为增函数，当x0时，f(x)ln(x1)也是增函数，函数f(x)是定义在R上的增函数因此，不等式f(2x2)f(x)等价于2x2x，即x2x20，解得2xf(2ax)在a，a1上恒成立，则实数a的取值范围是_答案(，2)解析二次函数y1x24x3的对称轴是x2，该函数在(，0上单调递减，x24x33，同样可知函数y2x22x3在(0，)上单调递减，x22x3f(2ax)得到xa2ax，即
12、2xa，2xa在a，a1上恒成立，2(a1)a，a2的解集为_答案解析由题意知，f(x)f(x)2，f(2x1)f(2x)2可化为f(2x1)f(2x)，又由题意知函数f(x)在R上单调递增，2x12x，x，原不等式的解集为.16已知定义在区间(0，)上的函数f(x)是增函数，f(1)0，f(3)1.(1)解不等式0f(x21)1；(2)若f(x)m22am1对所有x(0,3，a1,1恒成立，求实数m的取值范围解(1)由得x2或2x.原不等式的解集为(2，)(，2)(2)函数f(x)在(0,3上是增函数，f(x)在(0,3上的最大值为f(3)1，不等式f(x)m22am1对所有x(0,3，a1，1恒成立转化为1m22am1对所有a1,1恒成立，即m22am0对所有a1,1恒成立设g(a)2mam2，a1,1，需满足即解该不等式组，得m2或m2或m0，即实数m的取值范围为(，202，)14
