2022高考数学一轮总复习课件:2.2 函数的单调性与最值
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1、22 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 【教材梳理】 1函数的单调性 (1)增函数与减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I: 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的_自变量的值 x1,x2,当 x1 x2时,都有 f(x1)f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是_ 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的自变量的值 x1,x2,当 x1x2时,都有 f(x1) f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是_ (2)单调性与单调区间 如果函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数, 那么就说函数 yf(x)在这一区间具 有(严格的) _,区间 D 叫做 yf(
2、x)的_ 2函数的最值 (1)最大值 一般地,设函数 yf(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: 对于任意的 xI,都有_; 存在 x0I,使得_ 那么,我们称 M 是函数 yf(x)的最大值 (2)最小值 一般地,设函数 yf(x)的定义域为 I,如果存在实数 N 满足: 对于任意的 xI,都有_; 存在 x0I,使得_ 那么我们称 N 是函数 yf(x)的最小值 【常用结论】 3判断函数单调性的主要方法(结论) (1)定义法 其常见两种等价形式为: 设 x1,x2(a,b),且 x1x2,那么 f(x1)f(x2) x1x2 0f(x)在(a,b)内是增函数; f(x1)f(x2)
3、 x1x2 0f(x)在(a,b)内是减函数 上式的几何意义:增(减)函数图象上任意两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)连线的斜率恒大于(或小于)零 (x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在(a,b)内是增函数;(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在(a,b)内是减函数 (2)性质法 当常数 c0 时,yc f(x)与 yf(x)的单调性相同;当常数 c0 且 g(x)0,f(x)与 g(x)都是增(减)函数,则 f(x) g(x)也是增(减函数);若 f(x)0 且 g(x)0 且 a1) (3)f(xy)f(x)f(y),原型为 f(x)logax(a0 且 a1) (4)
4、f(xy)f(xy)2f(x)f(y)(f(0)0),原型为 f(x)cosx 【自查自纠】 1(1)任意两个 增函数 任意两个 减函数 (2)单调性 单调区间 2(1)f(x)M f(x0)M (2)f(x)N f(x0)N 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“”,错误的画“” (1)若定义在 R 上的函数 f(x),有 f(1)0,解得 x4,结合二次函数 的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调 增区间为(4,)故选 D 已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f 1 x f(1)的实数 x 的取值范围是( ) A(,1) B(1,) C(,0)(0,1)
5、D(,0)(1,) 解:由题意知,1 x0,所以 x1故选 D (2020 四川省南充高级中学高一月考)已知函数 f(x) (a3)x5,x1, 2a x ,x1 是 (,)上的减函数,则 a 的取值范围是 ( ) A(0,3) B(0,3 C(0,2) D(0,2 解:因为函数 f(x)为 R 上的减函数, 所以 a30, (a3)152a, 解得 00,解得 x2,因此函数 ylog1 2 (x23x2)的定义域为(, 1)(2,)令 ux23x2,ylog1 2 u(u0),由于内层函数 ux23x2 在 x(,1) 上单调递减,外层函数 ylog1 2 u 在 u(0,)上单调递减,由
6、复合函数单调性可知,函数 y log1 2 (x23x2)的单调递增区间是(,1)故选 A (3)函数 f(x)(3x2)ex的单调递增区间是 ( ) A(,0) B(0,) C(,3) D(3,1) 解:f(x)2xex(3x2)ex(x22x3)ex,由于 ex0,令 f(x)0,则有 x22x30,解得3x0 在定义域上恒成 立,又(0,)(1,),因此函数 f(x)在(0,)上单调递增故选 B (2)(2019山东济宁一中期末)已知函数 f(x)loga(x22x3)(a0 且 a1),若 f(0)0,可得3x1,故函数 f(x)的定 义域为x|3x1根据 f(0)loga30,可得
7、0a1,则即求函数 g(x)在(3, 1)内的单调递减区间又 g(x)在定义域(3,1)内的单调递减区间是1,1),所 以 f(x)的单调递增区间为1,1)故选 C (3)函数 f(x)sinxx 的单调递减区间是 ( ) A(,0) B(1,) C(,) D , 2 解: f(x)sinxx, f(x)cosx10, 即函数 f(x)在 R 上是减函数故 选 C (4)求函数 f(x)x22|x|3 的单调区间 解:因为 f(x) x22x3,x0, x22x3,x0, 其图象如图所示,所以函数 yf(x)的单调递增区间为(,1和0, 1,单调递减区间为1,0和1,) 命题角度 2 用定义判
8、断函数的单调性 试讨论函数 f(x) ax x1(a0)在(1,1)上的单调性 解法一:设1x1x21, f(x)a x11 x1 a 1 1 x1 , f(x1)f(x2)a 1 1 x11 a 1 1 x21 a(x2x1) (x11)(x21), 由于1x1x20,x110,x210 时,f(x1)f(x2)0,即 f(x1)f(x2),函数 f(x)在(1,1)上单调递减; 当 a0 时,f(x1)f(x2)0,即 f(x1)0 时,f(x)0,函数 f(x)在(1,1)上单调递减; 当 a0,函数 f(x)在(1,1)上单调递增 【点拨】 证明函数在某区间上的单调性有两种方法:定义法
9、:基本步骤为 取值、作差或作商、变形、判断;可导函数可以利用导数证明函数单调性定 义的等价形式见本节【常用结论】 【多选题】(20202021 学年江苏无锡高一上期中)如果对定义在 R 上的奇函 数 yf(x),对任意两个不相等的实数 x1,x2,都有 x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1),则称 函数 yf(x)为“H 函数”,下列函数为“H 函数”的是 ( ) Af(x)ex Bf(x)x33x Cf(x)x1 x Df(x)x|x| 解:对任意两个不相等的实数 x1,x2,都有 x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1),可得 x1f(x1) f(x2)x
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