6.1平面向量的概念ppt课件

1、6.1 平面向量的概念 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解向量的有关概念及向量的几何表示(重点) 2理解共线向量、相等向量的概念(难点) 3正确区分向量平行与直线平行(易混点) 1.从物理背景、 几何背景入手， 从矢量概念引入向量的概念，提升数学抽象的核心素养 2类比实数在数轴上的表示，给出向量的几何意义，培养数学抽象和直观想象的核心素养 3通过相等向量和平行向量的学习，提升逻辑推理的核心素养. 1向量与数量 (1)向量：既有 又有 的量叫做向量 (2)数量：只有 没有 的量称为数量 大小 方向 大小 方向 【新知初探】 2向量的几何表示 (1) 的线段叫做有向线段它包含三个要素： 、

2、_、 (2)向量可以用 AB来表示向量AB的大小称为向量 AB的 (或称模)， 记作 .向量也可以用字母 a， b， c， 表示， 或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， 例如：AB，CD. 具有方向 起点 方向 长度 有向线段 长度 |AB| 思考：(1)向量可以比较大小吗？ (2)有向线段就是向量吗？ 提示 (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 (2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量 3向量的有关概念 零向量 长度为 0 的向量，记作 0 单位向量 长度等于 个单位长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向 的非零向量 向量 a，b 平行，记作_ 规定：零向量与

3、任意向量_ 相等向量 长度 且方向 的向量 向量 a 与 b 相等，记作_ 1 相同或相反 ab 平行 相等 相同 ab 1正 n 边形有 n 条边，它们对应的向量依次为 a1，a2，a3，an， 则这 n 个向量( ) A都相等 B都共线 C都不共线 D模都相等 D 因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等 【基础自测】 2有下列物理量：质量；温度；角度；弹力；风速 其中可以看成是向量的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 B 不是向量，是向量 3已知|AB|1，|AC|2，若ABC90 ，则|BC|_. 3 ABC 是以 B 为直角的直角三角形， 所以|B

4、C| 2212 3. 4如图，四边形 ABCD 是平行四边形，则图中相等的向量是 _(填序号) (1)AD与BC；(2)OB与OD； (3)AC与BD；(4)AO与OC. (1)(4) 由平行四边形的性质和相等向量的定义可知： ADBC，OBOD， ACBD，AOOC. 类型一 向量的有关概念 【例 1】 判断下列命题是否正确，请说明理由： (1)若向量 a 与 b 同向，且|a|b|，则 ab； (2)若向量|a|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a|b|，若 a 与 b 的方向相同，则 ab； (4)由于 0 方向不确定，故 0 不与任意向量平行； (

5、5)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反 【题型探究】 思路探究 解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素 解 (1)不正确因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小 (2)不正确 由|a|b|只能判断两向量长度相等， 不能确定它们的方向关系 (3)正确因为|a|b|，且 a 与 b 同向，由两向量相等的条件，可得 ab. (4)不正确依据规定：0 与任意向量平行 (5)不正确因为向量 a 与向量 b 若有一个是零向量，则其方向不定 14 规律方法 1理解零向量和单位向量应注意的问题 (1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相

6、等 (2)单位向量不一定相等，不要忽略其方向 2共线向量与平行向量 (1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别； (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同； (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同 提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心方向和长度 跟踪训练 1给出下列命题： 若 ab，bc，则 ac； 若单位向量的起点相同，则终点相同； 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； 向量AB与CD是共线向量，则 A，B，C，D 四点必在同一直线上 其中正确命题的序号是_ 错误若 b0，则不成立； 错误起点相同的单位向量，终点未必相同； 正确对于一

7、个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的； 错误共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD必须在同一直线上 类型二 向量的表示及应用 【例 2】 (1)如图，B，C 是线段 AD 的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出_个向量 (2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为 1)， 用直尺和圆规画出下列向量： OA，使|OA|4 2，点 A 在点 O 北偏东 45 ； AB，使|AB|4，点 B 在点 A 正东； BC，使|BC|6，点 C 在点 B 北偏东 30 . (1)12 可以写出 12 个向量，分别是：AB，AC，AD，BC，BD，CD，B

8、A，CA，DA，CB，DB，DC. (2)解 由于点 A 在点 O 北偏东 45 处，所以在坐标纸上点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数相等又|OA|4 2，小方格边长为 1， 所以点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数都为 4，于是点 A 位置可以确定，画出向量OA如图所示 由于点 B 在点 A 正东方向处，且|AB|4，所以在坐标纸上点 B 距点 A 的横向小方格数为 4，纵向小方格数为 0，于是点 B 位置可以确定，画出向量AB如图所示 由于点 C 在点 B 北偏东 30 处，且|BC|6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点 C 距点 B 的横向小方格数为 3，纵向小方格数

9、为 3 35.2，于是点 C 位置可以确定，画出向量BC如图所示 规律方法 1向量的两种表示方法 (1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点 (2)字母表示法：为了便于运算可用字母 a，b，c 表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB，CD，EF等 2两种向量表示方法的作用 (1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础 (2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算 跟踪训练 2某人从 A 点出发向东走了 5 米到达 B 点，然后改变方向沿东北方向走了 10 2米到达

10、 C 点，到达 C 点后又改变方向向西走了 10 米到达 D 点 (1)作出向量AB，BC，CD； (2)求AD的模 解 (1)作出向量AB，BC，CD，如图所示： (2)由题意得，BCD 是直角三角形，其中BDC90 ，BC10 2米，CD10 米，所以 BD10 米ABD 是直角三角形，其中ABD90 ，AB5 米， BD10 米， 所以 AD 521025 5(米)， 所以|AD|5 5米. 类型三 相等向量和共线向量 探究问题 1两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？ 提示 不一定因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关 2若ABCD，则从

11、直线 AB 与直线 CD 的关系和AB与CD的方向关系两个方面考虑有哪些情况？ 提示 分四种情况 (1)直线 AB 和直线 CD 重合，AB与CD同向； (2)直线 AB 和直线 CD 重合，AB与CD反向； (3)直线 AB直线 CD，AB与CD同向； (4)直线 AB直线 CD，AB与CD反向 【例 3】 如图所示， O 是正六边形 ABCDEF 的中心， 且OAa，OBb，OCc. (1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与 a 共线的向量有哪些？ (3)请一一列出与 a，b，c 相等的向量 思路探究 根据相等向量与共线向量的概念寻找所求向量 解 (1)与 a 的长度相等

12、、方向相反的向量有OD，BC，AO，FE. (2)与 a 共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD. (3)与 a 相等的向量有EF，DO，CB；与 b 相等的向量有DC，EO，FA；与c 相等的向量有FO，ED，AB. 母题探究 1本例条件不变，写出与向量BC相等的向量 解 相等向量是指长度相等、方向相同的向量，所以题图中 与BC相等的向量有AO，OD，FE. 2本例条件不变，写出与向量BC长度相等的共线向量 解 与BC长度相等的共线向量有： CB，OD，DO，AO，OA，FE，EF. 3在本例中，若|a|1，则正六边形的边长如何？ 解 由正六边形中，每边与中心连接成

13、的三角形均为正三角形， 所以FOA 为等边三角形，所以边长 AF|a|1. 规律方法 相等向量与共线向量的探求方法相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线 (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段， 再构造同向与反向的向量， 注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量 提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量 1 向量是近代数学重要的和基本的数学概念之一， 有深刻的几何和物理背景，它是沟通代数、几何的一种工具，注意向量与数量的区别与联系 2从定义上看，向量有大小和方向两

14、个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段 【课堂小结】 3共线向量与平行向量是一组等价的概念两个共线向量不一定要在一条直线上当然，同一直线上的向量也是平行向量 4注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆. 1判断正误 (1)长度为 0 的向量都是零向量( ) (2)零向量的方向都是相同的( ) (3)单位向量的长度都相等( ) (4)单位向量都是同方向. ( ) (5)任意向量与零

15、向量都共线( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 【当堂达标】 2汽车以 120 km/h 的速度向西走了 2 h，摩托车以 45 km/h 的速度向东北方向走了 2 h，则下列命题中正确的是( ) A汽车的速度大于摩托车的速度 B汽车的位移大于摩托车的位移 C汽车走的路程大于摩托车走的路程 D以上都不对 C 速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小 3在下列命题中：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；共线向量一定相等；相等向量一定共线；长度相等的向量是相等向量；平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量正确的命题是_ 由向量的相关概念可知正确 4如图所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于 O 点，DAB60 ，分别以 A，B，C，D，O 中的不同两点为始点与终点的向量中， (1)写出与DA平行的向量； (2)写出与DA模相等的向量 解 由题图可知， (1)与DA平行的向量有：AD，BC，CB； (2)与DA模相等的向量有： AD，BC，CB，AB，BA，DC，CD，BD，DB.