1、5.1 平面向量的概念及线性运算,第五章 平面向量与复数,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2.通过实例，掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. 3.通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义. 4.了解向量线性运算的性质及其几何意义,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 . (2)零向
2、量：长度为 的向量，其方向是任意的. (3)单位向量：长度等于 的向量. (4)平行向量：方向相同或 的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行. (5)相等向量：长度相等且方向 的向量. (6)相反向量：长度相等且方向 的向量.,方向,模,0,1个单位,知识梳理,ZHISHISHULI,相反,相同,相反,2.向量的线性运算,ba,a(bc),|a|,相同,相反,0,()a,aa,ab,3.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得 .,ba,1.若b与a共线，则存在实数使得ba，对吗？,提示 不对，因为当a0，b0时，不存在满足ba.,2.如何理解数乘向量？
3、,提示 a的大小为|a|a|，方向要分类讨论：当0时，a与a同方向；当0时，a与a反方向；当0或a为零向量时，a为零向量，方向不确定.,【概念方法微思考】,3.如何理解共线向量定理？,提示 如果ab，则ab；反之，如果ab，且b0，则一定存在唯一一个实数，使得ab.,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.( ) (2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.( ) (3)若ab，bc，则ac.( ) (4)若向量 是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.( ) (5)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，
4、反之成立.( ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,ba,1,2,3,4,5,6,ab,矩形,由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形.,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,4.对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解析 若ab0，则ab，所以ab. 若ab，则ab0不一定成立， 故前者是后者的充分不必要条件.,1,2,3,4,5,6,5.设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.,解
5、析 向量a，b不平行， a2b0，又向量ab与a2b平行， 则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 平面向量的概念,1.给出下列命题： 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； 若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线； 若A，B，C，D是不共线的四点，且 则ABCD为平行四边形； ab的充要条件是|a|b|且ab； 已知，为实数，若ab，则a与b共线. 其中真命题的序号是_.,自主演练,解析 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点
6、和终点； 错误，若b0，则a与c不一定共线；,错误，当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件； 错误，当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线. 故填.,2.判断下列四个命题： 若ab，则ab；若|a|b|，则ab；若|a|b|，则ab；若ab，则|a|b|.其中正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4,解析 只有正确.,向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度. (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等. (4)单位向量的关键是长
7、度都是一个单位长度. (5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线.,题型二 平面向量的线性运算,命题点1 向量加、减法的几何意义 例1 (2017全国)设非零向量a，b满足|ab|ab|，则 A.ab B.|a|b| C.ab D.|a|b|,多维探究,解析 方法一 |ab|ab|， |ab|2|ab|2. a2b22aba2b22ab. ab0.ab. 故选A. 方法二 利用向量加法的平行四边形法则.,从而四边形ABCD为矩形，即ABAD，故ab. 故选A.,解析 作出示意图如图所示.,故选A.,3,平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义.向量加
8、法和减法均适合三角形法则. (2)求已知向量的和.共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则. (3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.,2,所以xy2.,题型三 共线定理的应用,师生共研,又它们有公共点B，A，B，D三点共线.,(2)试确定实数k，使kab和akb共线.,解 假设kab与akb共线， 则存在实数，使kab(akb)， 即(k)a(k1)b. 又a，b是两个不共线的非零向量， kk10. 消去，得k210，k1.,即4a(m3)b(ab).,故当m7时，A，B，D三点共线.,2.若将本
9、例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？,解 因为kab与akb反向共线， 所以存在实数，使kab(akb)(0).,又0，k，所以k1. 故当k1时两向量反向共线.,(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线. (2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立；若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a，b不共线.,(1)若mn1，求证：A，P，B三点共线；,证明 若mn1，,(2)若A，P，B三点共线，求证：mn1.,3,课时作业,PART THREE,1.对于非零向量a，b，
10、“a2b0”是“ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解析 若a2b0，则a2b，所以ab. 若ab，则a2b0不一定成立， 故前者是后者的充分不必要条件.,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线 C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线,因此A，B，D三点共线，故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上的一个靠近点B的三等分点，那么
11、等于,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为点F为BC上的一个靠近点B的三等分点，,A.2 B.2 C.1 D.1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 连接OC，OD，CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，可得AOCCODBOD60，且OAC和OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形，所以四边形OACD为菱形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 注意到N，P，B三点共线，,1,2,
12、3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以ABC是边长为2的正三角形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,直角三角形,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4,解析 因为M，N，P三点共线，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以2e13e2k(e16e2)， 又e1，e2为平面内两个不共线的向量，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,
13、14,15,16,解 取AC的中点D，连接OD，,O是AC边上的中线BD的中点， SABC2SOAC， ABC与AOC面积之比为21.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 方法一 由D，O，C三点共线，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又a，b不共线，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二 延长AO交BC于点E，O为ABC的重心，则E为BC的中点，,技能提升练,1,2,3,4,5
14、,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若 (，R)，则的取值范围是 A.(0,1) B.(1，) C.(1， D.(1,0),又知A，B，D三点共线，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以1，故选B.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设BC的中点为M，,P，M，A三点共线， 且P是AM上靠近A点的一个三等
15、分点.,16.设W是由一平面内的n(n3)个向量组成的集合.若aW，且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模.则称a是W的极大向量.有下列命题： 若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量； 给定平面内两个不共线向量a，b，在该平面内总存在唯一的平面向量cab，使得Wa，b，c中的每个元素都是极大向量； 若W1a1，a2，a3，W2b1，b2，b3中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1W2中的每一个元素也都是极大向量. 其中真命题的序号是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确； 由题意得a，b，c围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确； 3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0， 故W1a1，a2，a3，W2b1，b2，b3中的每个元素都是极大向量时，W1W2中的每一个元素也都是极大向量，故正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
