1、12.2 几何概型,第十二章 概率、随机变量及其分布,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.了解随机数的意义，能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率. 2.初步体会几何概型的意义. 3.通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_ (_或_)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为_. 2.在几何概型中，事件A的概率的计算公式,1.几何概型,知识梳理,ZHISHISHULI,长度,面积,体积,
2、几何概型,3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有_； (2)等可能性：每个结果的发生具有_. 4.随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法. (2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法.这个方法的基本步骤是用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；计算频率fn(A) 作为所求概率的近似值.,无限多个,等可能性,1.古典概型与几何概型有什么区别？,提示 古典概型与几何概型中基本事件发
3、生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.,2.几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？,提示 几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值.,【概念方法微思考】,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( ) (2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.( ) (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( ) (
4、5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,2.在线段0,3上任投一点，则此点坐标小于1的概率为,解析 坐标小于1的区间为0,1)，长度为1，0,3的区间长度为3，,1,2,3,4,5,6,3.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是,P(A)P(C)P(D)P(B).,4.如图所示的正方形及其内部表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是,1,2,3,4,5,6,
5、解析 如题干图所示，区域D的面积为4， 而阴影部分(不包括 )表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域. 易知该阴影部分的面积为4.,题组三 易错自纠,解析 由|x|m，得mxm.,1,2,3,4,5,6,3,1,2,3,4,5,6,6.在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为_.,解析 设ACx cm(00，解得0x4或8x12. 在数轴上表示，如图所示.,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 与长度、角度有关的几何概型,例1 在等腰RtABC中，直角顶点为C. (1)在斜边AB上任取一点M，求
6、|AM|AC|的概率；,师生共研,解 如图所示，在AB上取一点C，使|AC|AC|，连接CC.,由于点M是在斜边AB上任取的， 所以点M等可能分布在线段AB上， 因此基本事件的区域应是线段AB.,(2)在ACB的内部，以C为端点任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求|AM|AC|的概率.,解 由于在ACB内以C为端点任作射线CM， 所以CM等可能分布在ACB内的任一位置(如图所示)， 因此基本事件的区域应是ACB，,求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法 求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同
7、，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).,跟踪训练1 (1)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是,解析 如图所示，画出时间轴.,小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型的概率计算公式，,(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB ，BC1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧 ，在DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为_.,解析 因为在DAB内任作射线AP， 所以它
8、的所有等可能事件所在的区域是DAB， 当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在CAB内， 则区域为CAB，,题型二 与面积有关的几何概型,命题点1 与面积有关的几何概型的计算,多维探究,例2 (2017全国)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是,解析 不妨设正方形ABCD的边长为2， 则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，,命题点2 随机模拟,例3 (1)如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗
9、黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为 A.7.68 B.8.68 C.16.32 D.17.32,而S矩形6424，则S椭圆0.682416.32.,解析 由随机模拟的思想方法，,(2)若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045
10、 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为_.,0.4,解析 根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527 9857 8636 6947 4698 8045 9597 7424，共8个，,求解与面积有关的几何概型的注意点 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.,跟踪训练2 (2016全国)从区间0,1内随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(x
11、n，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为,解析 由题意得(xi，yi)(i1,2，n)在如图所示方格中， 而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，,题型三 与体积有关的几何概型,师生共研,例4 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则 使四棱锥MABCD的体积小于 的概率为_.,解析 过点M作平面RS平面AC， 则两平面间的距离是四棱锥MABCD的高，显然点M在平面RS上任意位置时，,求解与体积有关的几何概型的注意点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某
12、些较复杂的也可利用其对立事件去求.,跟踪训练3 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为,解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V11，球的直径是正方体的体对角线长，,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.在区间1,3上随机取一个数x，若x满足|x|m的概率为 ，则实数m为 A.0 B.1 C.2 D.3,解析 区间1,3的区间长度为4. 不等式|x|m的解集为m，m
13、，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(2018益阳市、湘潭市调考)若正方形ABCD的边长为4，E为四边上任意一点，则AE的长度大于5的概率等于,解析 设M，N分别为BC，CD靠近点C的四等分点， 则当E在线段CM，CN(不包括M，N)上时，AE的长度大于5， 因为正方形的周长为16，CMCN2，,4.(2018广东七校联考)在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为 ，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设
14、圆的半径为r，,5.(2018石家庄模拟)已知P是ABC所在平面内一点， 0，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，,故选D.,6.(2018惠州模拟)我国古代数学家赵爽在周髀算经一书中给出了勾股定理的绝妙证明.如图所示是赵爽的弦图.弦图是一个勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱
15、实、黄实，利用2勾股(股勾)24朱实黄实弦实弦2，化简得：勾2股2弦2.设勾股形中勾股比为1 ，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为 A.866 B.500 C.300 D.134,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2016山东)在1,1上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆(x5)2y29相交”发生的概率为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由已知得，圆心(5,0
16、)到直线ykx的距离小于半径，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.在等腰直角三角形ABC中，C90，在直角边BC上任取一点M，则CAM30的概率是_.,解析 因为点M在直角边BC上是等可能出现的，所以“区域”是长度.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥AA1BD内的概率为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.在区间1,5和2,4上分别各取一个数，记为m和n，则方
17、程 1表示焦 点在x轴上的椭圆的概率是_.,如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分(不包括mn这条直线)的概率即为所求的概率，易知直线mn恰好将矩形平分，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.已知向量a(2,1)，b(x，y). (1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足ab1的概率；,解 将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6636， 由ab1，得2xy1， 所以满足ab1的基本事件为(1,1
18、)，(2,3)，(3,5)，共3个.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若x，y在连续区间1,6上取值，求满足ab0的概率.,解 若x，y在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为 (x，y)|1x6,1y6. 满足ab0的基本事件的结果为A(x，y)|1x6,1y6且2xy0. 画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形25，,12.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.,1,2,3,4,5,6,7,8,
19、9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”， 则0x24，0y24，要使两船都不需要等待码头空出， 当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上， 即yx1或xy2. 故所求事件构成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0,24，y0,24. A为图中阴影部分，全部结果构成的集合为边长是24的正方形及其内部.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设任取两点所表示的
20、数分别为x，y，则0x1，且0y1， 如图所示，则总事件所占的面积为1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图所示，,所以弦AB的长为2. 又圆的半径为2，所以ACB60，,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.p1p2p3 B.p2p3p1 C.p3p1p2 D.p3p2p1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为x，y0,1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由图知，阴影部分的面积满足S2S3S1，正方形的面积为111， 根据几何概型概率计算公式可得p2p3p1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，求此点取自空白部分的概率.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC. 不妨令OAOB2， 则ODDADC1. 在以OA为直径的半圆中，空白部分面积,所以整个图形中空白部分面积S22.,
