1、6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 学 习 目 标 核 心 素 养 1掌握平面向量的正交分解及其坐标表示(重点) 2会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算(重点) 3会用坐标表示平面向量共线的条件，能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题(重点、难点) 1通过学习向量的正交分解，培养学生的数学抽象核心素养 2通过向量的直角坐标运算提升学生的数学运算核心素养. 1向量的正交分解 【自主预习】 2向量的直角坐标 (1)在直角坐标系内，分别取与 x 轴和 y 轴方向 的两个单位向量e1，e2，则对任一向量 a，存在唯一的有序实数
2、对(a1，a2)，使得 aa1e1a2e2， (a1， a2)就是向量 a 在基底e1， e2下的坐标， 即 a_ (2)向量的坐标：设点 A 的坐标为(x，y)，则OA 符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量 (x，y) 相同 (a1，a2) 3向量的直角坐标运算 向量的 加、减法 设 a(a1，a2)，b(b1，b2)，则 ab ，ab ，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差 实数与向 量的积 若 a(a1，a2)，R，则 a ，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积 向量的 坐标 已知向量AB的起点 A(x1，y1)，终
3、点 B(x2，y2)，则AB_， 即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标 (a1b1，a2b2) (a1b1，a2b2) (a1，a2) (x2x1，y2y1) 思考：向量的终点的坐标与此向量的坐标完全相同吗？ 提示 向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点坐标才相同 1已知点 A(1，3)，AB的坐标为(3,7)，则点 B 的坐标为( ) A(4,4) B(2,4) C(2,10) D(2，10) A 设点 B 的坐标为(x，y)，由AB(3,7)(x，y)(1，3) (x1，y3)(3,7)，得 B(4,4) 【基础自测】
4、2已知 a(1，1)，b(3,0)，则 3a2b 等于( ) A(5,3) B(4，1) C(2，1) D(3，3) D 3a2b3(1，1)2(3,0)(3，3)(6,0)(3，3) 3已知向量 a(x3，x23x4)与AB相等，其中 A(1,2)，B(3,2)，则 x_. 1 易得AB(2,0)，由 a(x3，x23x4)与AB 相等得 x32，x23x40，解得 x1. 类型一 平面向量的坐标表示 【例 1】 (1)已知 A(3,1)，B(2，1)，则BA的坐标是( ) A(2，1) B(2,1) C(1,2) D(1，2) (2)已知AB(1,3)，且点 A(2,5)，则点 B 的坐标
5、为( ) A(1,8) B(1,8) C(3,2) D(3,2) 【合作探究】 (3)如图，在正方形 ABCD 中，O 为中心，且OA(1，1)， 则OB_；OC_；OD_. 思路探究 表示出各点的坐标 用终点坐标减去起点坐标得相应向量的坐标 (1)C (2)B (3)(1， 1) (1,1) (1,1) (1)BAOAOB(3,1)(2，1)(1,2) (2)设 B 的坐标为(x，y)， AB(x，y)(2,5)(x2，y5)(1,3)， 所以 x21，y53，解得 x1，y8， 所以点 B 的坐标为(1,8) (3)如题干图，OCOA(1，1)(1,1)， 由正方形的对称性可知，B(1，1
6、)， 所以OB(1，1)， 同理OD(1,1) 【规律方法】 求点、向量坐标的常用方法：求点、向量坐标的常用方法： (1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标 (2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标 【跟踪训练】 1已知点 A(2,4)，a(3,4)，且AB2a，则点 B 的坐标为_ (8,12) 设 B 点坐标为(x，y)，则 (x2，y4)2(3,4)(6,8)， x26y48，解得 x8，y12. 所以 B 点的坐标为(8,12) 类型二 平面向量的坐标运算 【例
7、2】 (1)设AB(2,3)，BC(m，n)，CD(1,4)，则DA( ) A(1m,7n) B(1m，7n) C(1m,7n) D(1m ，7n) (2)已知向量OA(3，2)，OB(5，1)，则向量12AB的坐标是( ) A.4，12 B.4，12 C.1，32 D(8,1) (3)若 A，B，C 三点的坐标分别为(2，4)，(0,6)，(8,10)，求AB2BC，BC12AC的坐标 思路探究 (1)可利用向量加法的三角形法则将DA分解为DCCBBA来求解 (2)可借助ABOBOA来求12AB坐标 (3)可利用AB(xBxA，yByA)来求解 (1)B (2)A (1)DADCCBBA C
8、DBCAB(1,4)(m，n)(2,3) (1m，7n) (2)12AB12(OBOA) 125，13，2 12(8,1)4，12，12AB4，12. (3)解：AB(2,10)，BC(8,4)，AC(10,14)， AB2BC(2,10)2(8,4) (2,10)(16,8) (18,18)， BC12AC(8,4)12(10,14) (8,4)(5,7) (3，3) 【规律方法】 平面向量坐标的线性运算的方法：平面向量坐标的线性运算的方法： 1若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. 2若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
9、 3向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. 【跟踪训练】 2已知 a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)12a13b. 解 (1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7) (2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7，1) (3)12a13b12(1,2)13(2,1)12，1 23，1376，23. 类型三 向量坐标运算的综合应用 探究问题 1已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及OPOAtAB.当 t 为何值时， 点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ 提示 OPOAtAB(1,2
10、)t(3,3)(13t,23t) 若点 P 在 x 轴上，则 23t0，t23. 若点 P 在 y 轴上，则 13t0，t13. 若点 P 在第二象限，则 13t0，23t13. 2对于探究 1 条件不变，四边形 OABP 能为平行四边形吗？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由 提示 OA(1,2)，PB(33t,33t) 若四边形 OABP 为平行四边形，则OAPB， 33t1，33t2，该方程组无解 故四边形不能为平行四边形 3已知在非平行四边形 ABCD 中，ABDC，且 A，B，D 三点的坐标分别为(0,0)， (2,0)， (1,1)， 则顶点 C 的横坐标的取值范围是什么？ 提
11、示 当 ABCD 为平行四边形时，则ACABAD(2,0)(1,1)(3,1)，故满足条件的顶点 C 的横坐标的取值范围是(1,3)(3，) 【例 3】 已知点 A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)若 APABAC(R)，试求 为何值时， (1)点 P 在一、三象限角平分线上； (2)点 P 在第三象限内 思路探究 先用 表示点 P 的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解 解 设点 P 的坐标为(x，y)， 则 AP(x，y)(2,3)(x2，y3)， ABAC(5,4)(2,3)(7,10)(2,3) (3,1)(5,7)(35，17) APABAC， x235，y317，则 x5
12、5，y47. (1)若 P 在一、三象限角平分线上， 则 5547，12， 即 12时，点 P 在一、三象限角平分线上 (2)若点 P 在第三象限内，则 550，470，1. 即 1 时，点 P 在第三象限内 【规律方法】 1.解答本题可用待定系数法， 此法是最基本的数学方法之一， 实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，此方法是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用 2坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量由此可建立相等关系求某些参数的值 【跟踪训练】 3向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 cab (，R)，则_
13、. 4 以向量 a 的终点为原点，以过该点的水平和竖直的网格线所在直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，设一个小正方形网格的边长为 1， 则 a(1,1)， b(6,2)， c(1， 3) 由 ca b，即(1，3)(1，1)(6,2)，得61，23，故 2，12，则4. 1若 a(2,1)，b(1,0)，则 3a2b 的坐标是( ) A(5,3) B(4,3) C(8,3) D(0，1) B 3a2b3(2,1)2(1,0)(4,3) 【当堂达标】 2若向量AB(1,2)，BC(3,4)，则AC( ) A(4,6) B(4，6) C(2，2) D(2,2) A ACABBC(1,
14、2)(3,4)(4,6)故选 A. 3已知点 A(1,3)，B(4，1)，则与向量AB同方向的单位向量为_ 35，45 AB(3，4)，则与AB同方向的单位向量为 AB|AB|15(3，4)35，45. 4已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，CM3CA，CN2CB，求MN的坐标 解 因为 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)， 所以CA(23,44)(1,8)， CB(33，14)(6,3)， 所以CM3CA(3,24)， CN2CB(12,6) 设 M(x，y)，则CM(x3，y4)， 即 x33，y424，解得 x0，y20， 所以 M(0,20)，同理可得 N(9,2)， 所以MN(90,220)(9，18)
