1、第五章 平面向量与复数 考点要求考点要求 1.平面向量的实际背景及基本概念 (1)了解平面向量的实际背景 (2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义 (3)理解向量的几何表示 2平面向量的线性运算 (1)掌握平面向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 (2)掌握平面向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 (3)了解平面向量的线性运算的性质及其几何意义 3平面向量的基本定理及坐标表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意义 (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 (4)理解用坐标表示的平面向量共线、垂直的条件 4平面向量的数量积
2、 (1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义 (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系 (3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 (4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 5向量的应用 (1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 (2)会用向量方法解决简单的力学问题以及其他一些实际问题 6复数的概念 (1)理解复数的基本概念 (2)理解两个复数相等的含义(充要条件) (3)理解复数的代数表示法及其几何意义 7复数的四则运算 (1)会进行复数代数形式的四则运算 (2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 51 平面向量的概念及线性运算平面
3、向量的概念及线性运算 【教材梳理】 1向量的有关概念 (1)向量： 既有_又有_的量叫做向量， 向量的大小， 也就是向量的_(或称模).AB 的模记作_ (2)零向量：_的向量叫做零向量，其方向是_的 (3)单位向量：长度等于_的向量叫做单位向量. a | |a 是一个与 a 同向的_ a |a|是一个 与 a_的单位向量 (4)平行向量：方向_或_的_向量叫做平行向量平行向量又叫_，任一组平行 向量都可以移到同一直线上 规定：0 与任一向量_ (5)相等向量：长度_且方向_的向量叫做相等向量 (6)相反向量：长度_且方向_的向量叫做相反向量 (7)向量的表示方法：用_表示；用_表示；用_表示
4、 2向量的加法和减法 (1)向量的加法 三角形法则：以第一个向量 a 的终点 A 为起点作第二个向量 b，则以第一个向量 a 的起点 O 为_以第二 个向量 b 的终点 B 为_的向量OB 就是 a 与 b 的_(如图 1) 推广：A1A2 A2A3 1nn AA uuuuuu r _. 图 1 图 2 平行四边形法则：以同一点 A 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作ABCD，则以 A 为起点的_就是 a 与 b 的和(如图 2)在图 2 中，BC AD b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式 加法的运算性质： ab_(交换律)； (ab)c_(结合律)； a0_a. (2)向量的
5、减法 已知向量 a，b，在平面内任取一点 O，作OA a，OB b，则BA _，即 ab 表示从向量 b 的终点指向向量 a(被减向量)的终点的向量(如图) 3向量的数乘及其几何意义 (1)定义：实数 与向量 a 的积是一个向量，记作_，它的长度与方向规定如下： | a _； 当 0 时， a 与 a 的方向_； 当 0 时， a 与 a 的方向_； 当 0 时， a_. (2)运算律：设 ， R，则： (a)_； ()a_； (ab)_. 4两个向量共线定理 向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得_ 【常用结论】 5若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，
6、则OP 1 2(OA OB ) 6若 G 为ABC 的重心，则GA GB GC 0. 7若OA OB OC (， 为实数)，则点 A，B，C 共线的充要条件是 1. 8. 如图，ABC 中，BDm，CDn，则AD n mnAB m mnAC ，特别地，D 为 BC 的中点时 (mn)，AD 1 2AB 1 2AC . 【自查自纠】 1(1)大小 方向 长度 | | AB (2)长度为 0 任意 (3)1 个单位长度 单位向量 方向相反 (4)相同 相反 非零 共线向量 平行 (5)相等 相同 (6)相等 相反 (7)字母 有向线段 坐标 2(1)起点 终点 和 A1An 对角线AC ba a(
7、bc) 0a (2)ab 3(1)a |a| 相同 相反 0 (2)(a) aa ab 4ba 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1)相等向量的起点和终点分别相同 ( ) (2)|a|与|b|是否相等与 a，b 的方向无关 ( ) (3)零向量与任一向量平行 ( ) (4)若向量AB 与向量CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上 ( ) (5)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba(R)，反之亦成立 ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5). 对于非零向量 a，b， “ab0”是“ab” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分
8、条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：当 ab0 时，ab，所以 ab；当 ab 时，不一 定有 ab， 所以“ab0”是“ab”的充分不必要条件 故 选 A. (2020届湖南永州六月联考)设 a， b 是不共线的两个平面向量， 已知AB a2b， BC 3akb(kR)，若 A，B，C 三点共线，则 k( ) A2 B2 C6 D6 解：若 A，B，C 三点共线，则AB BC ，则 k 2 3 1，解得 k 6.故选 D. (2020届高三开学摸底大联考)如图，在梯形 ABCD 中，BC2AD，DEEC， 设BA a，BC b，则BE ( ) A.1 2a 1 4b B. 1 3a
9、 5 6b C.2 3a 2 3b D. 1 2a 3 4b 解： 取 BC 的中点 F， 由题意知 AFCD， 且 AFCD， 则BE BC CE BC 1 2FA BC 1 2 BA 1 2BC 3 4BC 1 2BA 1 2a 3 4b.故选 D. 在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB AD AO ，则 _. 解：由向量加法的平行四边形法则，得AB AD AC .又 O 是 AC 的中点， 所以AC 2AO ，所以AB AD 2AO ，所以 2.故填 2. 考点一考点一 平面向量的基本概念平面向量的基本概念 (1)下列命题正确的是 ( ) A任一向量与它的
10、相反向量都不相等 B长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 C平行且模相等的两个向量是相等向量 D若 ab，则|a|b| 解：零向量与它的相反向量相等，A 错；由相等向量的定义知，B 正确； 两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，例如，在 平行四边形 ABCD 中，AB CD ，且|AB |CD |，但AB CD ，故 C 错；ab， 可能两个向量模相等而方向不同，D 错故选 B. (2)设 a0为单位向量， 若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a0； 若 a 与 a0平行，则 a|a|a0； 若 a 与 a0平行且|a|1，则 aa0. 上述命题中，假命题的个数是 (
11、 ) A0 B1 C2 D3 解：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0的模相同，但方向不一定相同， 故是假命题；若 a 与 a0平行，则当 a 为零向量时，a 的方向任意；当 a 不为零 向量时，a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a|a0，故 也是假命题综上所述，假命题的个数是 3.故选 D. 【点拨】 准确理解向量的概念，请特别注意以下几点：ab，有 a 与 b 方向相同或相反两种情形； 向量的模与数的绝对值有所不同， 如|a|b|a b； 零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；对于任意非 零向量 a， a | |a 是与 a 同向的单位
12、向量，这也是求单位向量的方法；向量平行， 其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；只要不改变向量 a 的大 小和方向，可以自由平移 a，平移后的向量与 a 相等，所以线段共线与向量共线 是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，而向量的共线与 向量的平行是一致的 (1)(2020 山西孝义二中高三期末)下列命题正确的是( ) A若向量 ab，则 a 与 b 的方向相同 B若向量 ab，bc，则 ac C若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D若向量 ab，bc，则 ac 解：对于 A，向量 ab，不能得到 a 与 b 的方向相同，故 A 错误；对于 B，向量 ab
13、，bc，可能 b0，此时不能得到 ac，故 B 错误；对于 C， 两个单位向量相互平行，可能方向相反，此时不能得到两个向量相等，故 C 错误；对于 D，根据向量相等的知识可知 D 正确故选 D. (2)在如图所示的向量 a，b，c，d，e 中(小正方形的边长为 1)，判断是否存 在下列关系的向量： ()是共线向量的有_； ()方向相反的向量有_； ()模相等的向量有_ 解：()ad，eb，故 a 和 d，e 和 b 是共线向量()a 和 d，b 和 e 是方向相反的向量()由勾股定理可得，模相等 的向量有 a，c，d.故填()a 和 d，e 和 b；()a 和 d，b 和 e； ()a，c，d
14、. 考点二考点二 平面向量的线性运算平面向量的线性运算 (1)【多选题】(2020 届海南三亚华侨学校高一 5 月考)如图所示，在ABC 中， D 是 AB 的中点，下列关于向量CD 表示正确的是 ( ) A.CD CA DB B.CD BC DA C.CD 1 2AB AC D.CD 1 2CA 1 2CB 解：对于 A，因为 D 是 AB 的中点，所以AD DB ， 因为CD CA AD ，所以CD CA DB ，所以 A 正确； 对于 B，由三角形法则得，CD CB BD CB DA BC DA ，所以 B 不正确； 对于 C，CD CA AD 1 2AB AC ，所以 C 不正确； 对
15、于 D，因为 D 是 AB 的中点，所以CD 1 2CA 1 2CB ，所以 D 正确故选 AD. (2)(2020届安徽、河北高三8月联考)如图，AB 是圆 O 的一条直径，C，D 是半圆弧的 两个三等分点，则AB ( ) A.AC AD B2AC 2AD C.AD AC D2AD 2AC 解：因为 C，D 是半圆弧的两个三等分点，所以 CDAB，且 AB2CD， 所以AB 2CD 2(AD AC )2AD 2AC .故选 D. (3)在ABC 中，点 M，N 满足AM 2MC ，BN NC .若MN xAB yAC ，则 x _；y_. 解：因为AM 2MC ，所以AM 2 3AC .因为
16、BN NC ，所以AN 1 2(AB AC )，所以 MN AN AM 1 2(AB AC )2 3AC 1 2AB 1 6AC ，所以 x1 2，y 1 6.故填 1 2； 1 6. 【点拨】 进行向量的线性运算时， 要尽可能转化到平行四边形或三角形 中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运 算及数乘运算来解决；除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系 外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性 质，把未知转化为已知；在解答用已知向量线性表示未知向量的问题时，可 以利用共线向量定理，将共线向量用参数表示，再利用平面向量基本定理，建
17、立参数的方程(组)求解参数 (1) 【多选题】 (2021 届海南华侨中学高三第一次月考)如图， 在梯形 ABDC 中， ABCD，|AB|2|CD|，AD 与 BC 相交于点 O，则下列结论正确的是 ( ) A.AD AC 1 2AB B.AB BC CD DA 0 C|OA 2OD |0 D.OA 2 3DC 1 3DB 解：对于 A，AD AC CD 1 2AB ，所以 A 正确； 对于 B，AB BC CD DA 0 正确，所以 B 正确； 对于 C，OCDOBA，所以CD AB OD OA 1 2，即OD 1 2OA ，所以| |OA 2OD | |OA OA |0|0，所以 C 正
18、确； 对于 D，OA 2 3DA 2 3(DB BA )2 3(DB 2DC )2 3DB 4 3DC ，故 D 不正确故 选 ABC. (2)(2020届河南高三开学摸底)如图所示的ABC 中，点 D，E，F 分别在边 BC， AC，AD 上，且 BDDC，AE2EC，DF2AF，则向量EF ( ) A.1 6AB 1 2AC B.1 3AB 2 3AC C.1 6AB 2 3AC D.1 3AB 3 4AC 解：EF AF AE 1 3AD 2 3AC 1 3 1 2(AC AB )2 3AC 1 6AB 1 2AC .故选 A. (3)(2020届河北高三开学联考)如图，在平行四边形 A
19、BCD 中，AB 4FC ，BE 2EC ， AE aAB bAF ，则 ab ( ) A.1 6 B 1 6 C1 3 D. 7 6 解： 由题意可得， AE AB BE AB 2 3BC AB 2 3AD AB 2 3 AF 3 4BA 1 2AB 2 3AF ，所以 a1 2，b 2 3，所以 ab 1 6.故选 B. 考点三考点三 向量共线定理及其应用向量共线定理及其应用 命题角度 1 向量共线问题 已知两个非零向量 a，b 不共线，若向量 m4a5b 与 n2ab 共线， 则实数 的值为( ) A5 B3 C.5 2 D2 解：因为向量 m4a5b 与 n2ab 共线，所以存在实数
20、t，使得 mtn，即 4a5b t(2ab)，又向量 a，b 不共线，所以 2t4， t5，解得 t2， 5 2. 故选 C. 【点拨】 abab(b0)是判断两个向量共线的主要依据，注意待定系数法和 方程思想的应用； 若 a 与 b 不共线且 ab， 则 0.对于两个向量共线定理(a(a0) 与 b 共线存在唯一实数 使得 ba)中条件“a0”的理解：当 a0 时，a 与任一 向量 b 都是共线的；当 a0 且 b0 时，ba 是不成立的，但 a 与 b 共线因此， 为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求 a0.换句话说，如果不加条件 “a0”， “a 与 b 共线”是“存在唯一
21、实数 使得 ba”的必要不充分条件 平面向 量共线定理的三个应用： 证明向量共线： 对于非零向量 a， b， 若存在实数 ， 使 ab， 则 a 与 b 共线；证明三点共线：若存在实数 ，使AB AC ，AB 与AC 有公共点 A，则 A，B，C 三点共线在确定共线的三个点时，也可对点作特殊化处理后，通过观察得结 论；求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值 已知向量 a，b，c 中任意两个都不共线，但 ab 与 c 共线，且 bc 与 a 共线，则向量 abc_. 解：依题意，设 abmc，bcna，则有(ab)(bc)mcna，即 ac mcna.又 a 与 c
22、不共线，于是有 m1，n1，abc，abc0.故填 0. 命题角度 2 三点共线问题 (2021陕西蓝田高三模拟)设 a， b 是不共线的两个平面向量，已知PQ akb， QR 2ab.若 P，Q，R 三点共线，则实数 k 的值为( ) A1 2 B. 1 2 C2 D2 解： 若 P， Q， R 三点共线， 则PQ QR akb(2ab) 12， k，所 以 k1 2.故选 A. 【点拨】 三点共线问题可用向量共线来解决， 但应注意向量共线与三点 共线的区别与联系， 当两向量共线且有公共点时， 才能得到三点共线； 对于OA OB OC (，为实数)，若 A，B，C 三点共线，则 1. 设 a
23、，b 是不共线的两个向量，已知BA a2b，BC 4a4b，CD a 2b，则 ( ) AA，B，D 三点共线 BB，C，D 三点共线 CA，B，C 三点共线 DA，C，D 三点共线 解：因为BA a2b，BC 4a4b，CD a2b，所以AC AB BC 3a6b 3(a2b)3CD ，所以AC ，CD 共线，又AC 与CD 有公共点 C，所以 A，C，D 三点 共线故选 D. 考点四考点四 向量共线性质的应用向量共线性质的应用 (1)(2019德州期末)已知PA 2 3PB tPC ，若 A，B，C 三点共线，则|AB | |AC | 为( ) A.2 3 B. 2 5 C. 1 2 D2
24、 解：因为PA 2 3PB tPC ，且 A，B，C 三点共线，则2 3t1，解得 t 1 3，即PA 2 3PB 1 3PC ，即2 3(PA PB )1 3(PC PA )，即 2BA AC ，即|AB | |AC | 1 2.故选 C. (2)(2020四川绵阳高三期末)如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，过点 O 的直线与 AB，AD 所在直线分别交于点 M，N，若AB mAM ，AN nAD (m0，n0)， 则m n 的最大值为( ) A. 2 2 B1 C2 2 D2 解：因为AO 1 2AB 1 2AD ，又AB mAM ，AN nAD ，故可得 AO m 2 A
25、M 1 2nAN ， 又 O，M，N 三点共线，故可得m 2 1 2n1，即 m 1 n2.故 m n m1 n 1 4 m1 n 21，当 且仅当 mn1 时取得最大值故选 B. 【点拨】 若OA OB OC (，为实数)，则 A，B，C 共线1；要灵 活使用性质，即要会变换系数(配凑)或拆分(组合)向量，使之与上述形式一致；O 是任一 点 (1)(2019上海曹杨二中高一期末)如图，P 为ABC 内一点，且AP 1 3AB 1 5AC ， 延长 BP 交 AC 于点 E，若AE AC ，CP 1 3AB AC ，则实数 的值为_ 解：由AE AC ，得AC 1 AE ，可得出AP 1 3A
26、B 1 5AE ，由于 B，P，E 三点共线，所以1 3 1 51，解得 3 10.又CP AP AC 1 3AB 4 5AC ，所以 4 5，所以 1 2.故填 1 2. (2)点 M 为ABC 所在平面内一动点，且 M 满足：AM 1 3 AB 2 3(1)AC ， |AC|3， A 3 ， 若点 M 的轨迹与直线 AB， AC 围成封闭区域的面积为 3 2 ， 则|BC| _. 解：设AD 1 3AB ，AE 2 3AC ，则|AE|2. 因为 M 满足AM 1 3AB 2 3(1)AC ，所以AM AD (1)AE ，所以 M，D，E 三点 共线，所以 M 点轨迹为直线 DE. 因为点 M 的轨迹与直线 AB，AC 围成封闭区域的面积为 3 2 ，所以1 2|AD|AE|sinA 3 2 ， 即1 2|AD|2sin 3 3 2 ，所以|AD|1，即|AB|3.所以|AB|AC|，所以ABC 为等边三角形， 所以|BC|3.故填 3.
