1、6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 1了解用坐标表示的平面向量共线条件的推导过程 2理解用坐标表示的平面向量共线的条件 3会根据坐标表示的平面向量共线的条件解决问题 【目标导航】 知识点 两向量平行的条件 1 设 a(x1， y1)， b(x2， y2)， b0， 则 ab_ 2设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果向量 b 不平行于坐标轴，即 x20，y20，则 ab_ 用语言可以表述为：两个向量平行的条件是 _ x1y2x2y10 相应坐标成比例 x1x2y1y2 【新知初探】 两个向量共线坐标表示的正确理解 已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)， (1)当 b0 时，ab.
2、 这是几何运算，体现了向量 a 与 b 的长度及方向之间的关系 【思维启迪】 (2)x1y2x2y10. 这是代数运算， 用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征 (3)当 x2y20 时，x1x2y1y2，即两向量的对应坐标成比例通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误. 1下列各组向量相互平行的是( ) Aa(1,2)，b(3,5) Ba(1,2)，b(2,1) Ca(2，1)，b(3,4) Da(2,1)，b(4，2) 解析： D中，b2a. 答案： D 【基础自测】 2若向量 a(1，x)与
3、 b(x,2)共线且方向相同，则 x 的值为( ) A. 2 B. 2 C2 D.2 解析： 由 ab 得x220，得 x 2. 当 x 2时，a 与 b 方向相反 答案： A 3设 a32，tan ，bcos ，13，且 ab，则锐角 为( ) A30 B60 C45 D.75 解析： ab， 3213tan cos 0，即 sin 12，30 . 答案： A 4已知向量 a(1,2)，b(，1)，若(a2b)(2a2b)，则 _. 解析： a2b(1,2)2(，1)(12，4)， 2a2b2(1,2)2(，1)(22，2)， 由(a2b)(2a2b)，可得 2(12)4(22)0， 解得
4、12. 答案： 12 题型一 向量共线的判定 【例 1】(1)已知向量 a(1，2)，b(3,4)若(3ab)(akb)，则 k_； (2)已知 A(1，1)，B(1,3)，C(2,5)，那么AB与AC是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ 【题型探究】 解析： (1)3ab(0，10)，akb(13k，24k)， 因为(3ab)(akb)，所以 0(1030k)0，所以 k13. (2)因为AB(1(1)，3(1)(2,4)， AC(2(1)，5(1)(3,6)， 因为 26340，所以ABAC，所以AB与AC共线 又AB23AC，所以AB与AC的方向相同 答案： (1)13 规律方法
5、 向量共线的判定方法向量共线的判定方法 变式训练 1(1)已知向量 a(1,2)，b(x,1)，cab，dab，若 cd，则实数 x_； (2)已知 A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3)判断AB与CD是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ 解析： (1)因为向量 a(1,2)，b(x,1)， 所以 cab(1x,3)，dab(1x,1) 因为 cd，所以 1x3(1x)0.解得 x12. 法一：法一：(2)(6)340，且(2)40， AB与CD共线且方向相反 法二：法二：CD2AB，AB与CD共线且方向相反 答案： (1)12 (2)AB(0,4)(2,1)(2,3)
6、， CD(5，3)(1,3)(4，6) 题型二 三点共线问题 【例 2】(1)已知OA(3,4)，OB(7,12)，OC(9,16)，求证点 A，B，C 共线； (2)设向量OA(k,12)，OB(4,5)，OC(10，k)，求当 k 为何值时，A，B，C 三点共线 解： (1)证明：由题意知ABOBOA(4,8)， ACOCOA(6,12)，所以AC32AB，即AB与AC共线 又因为AB与AC有公共点 A，所以点 A，B，C 共线 (2)法一：法一：因为 A，B，C 三点共线，即AB，AC共线， 所以存在实数 ，使得ABAC. 因为ABOBOA(4k，7)，ACOCOA(10k，k12)，
7、所以(4k，7)(10k，k12)， 即 4k10k，7k12，解得 k2 或 k11. 法二法二：由已知得AB，AC共线， 因为ABOBOA(4k，7)，ACOCOA(10k，k12)， 所以(4k)(k12)7(10k)0， 所以 k29k220，解得 k2 或 k11. 规律方法 判断向量判断向量(或三点或三点)共线的三个步骤共线的三个步骤 变式训练 2(1)已知 A，B，C 三点共线，且 A(3,6)，B(5,2)，若 C 点的纵坐标为 6，则 C 点的横坐标为( ) A3 B.9 C9 D.3 (2)已知向量OA(3，4)，OB(6，3)，OC(5m，3m)，若点 A，B，C 能构成
8、三角形，则实数 m 应满足的条件为_ 解析： (1)设 C(x,6)，因为ABAC，又AB(2，4)， AC(x3,0)，所以204(x3)0.所以 x3. (2)ABOBOA(6，3)(3，4)(3,1)， ACOCOA(5m，3m)(3，4)(2m,1m) 由于点 A，B，C 能构成三角形， 则AC与AB不共线，所以 3(1m)(2m)0，解得 m12. 答案： (1)A (2)m12 题型三 向量共线的应用 【例 3】 如图所示， 已知AOB 中， A(0,5)， O(0,0)， B(4,3)， OC14OA，OD12OB，AD 与 BC 相交于点 M，求点 M 的坐标 解： OC14O
9、A14(0,5)0，54，C0，54. OD12OB12(4,3)2，32，D2，32. 设 M(x，y)，则AM(x，y5)， AD20，325 2，72. AMAD，72x2(y5)0， 即 7x4y20. 又CMx，y54，CB4，74， CMCB，74x4y540， 即 7x16y20. 联立解得 x127，y2，故点 M 的坐标为127，2 . 规律方法 应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤 证明： 由已知得，AB(4,3)(1,0)(3,3)， CD(0,2)(2,4)(2，2) 3(2)3(2)0，AB与CD共线 AD(1,2)，BC(
10、2,4)(4,3)(2,1)， 变式训练 3已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)， 求证：四边形ABCD是等腰梯形 (1)12(2)0， AD与BC不共线 四边形 ABCD 是梯形 BC(2,1)，AD(1,2)， |BC| 5|AD|，即 BCAD. 故四边形 ABCD 是等腰梯形 方法技巧 用向量方法研究平面几何问题 已知 ABCD 是正方形，BEAC，ACCE，EC 的延长线交BA 的延长线于点 F，求证：AFAE. 【证明】 建立如图所示的直角坐标系，为了研究方便 不妨设正方形 ABCD 的边长为 1，则 B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)
11、， 设 E(x，y)，这里 y0， 于是AC(1,1)，BE(x1，y) ACBE， 1y(x1)10yx1. ACOCCE(已知)， CE2OC2(x1)2(y1)22. 由 y0，联立解得 x3 32，y1 32， 即 E3 32，1 32. AEOE3 3221 322 31. 设 F(t,0)，则FC(1t,1)，CE1 32，1 32. F、C、E 三点共线，FCCE. (1t)1 321 3210，解得 t1 3. AFOF1 3，AFAE. 【点评】 求解直线或线段的交点问题，常规方法为写出直线或线段对应的直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快
