1、第第 28 章章 锐角三角函数锐角三角函数 专项训练专项训练 专训专训 1 解直角三角形的几种常见类型解直角三角形的几种常见类型 名师点金： 解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形 已知两直角边解直角三角形 1如图，在 RtABC 中，C90 ，a，b，c 分别为A，B，C 的对边，a2 3，b6，解这个直角三角形 (第 1 题) 已知一直角边和斜边解直角三角形 2如图，ACB90 ，AB13，AC12，BCMBAC，求 sin B
2、AC 的值和点 B到直线 MC 的距离 (第 2 题) 已知一直角边和一锐角解直角三角形 3如图，在ABC 中，B90 ，C30 ，AB3. (1)求 AC 的长； (2)求 BC 的长 (第 3 题) 4如图，在 RtABC 中，C90 ，A30 ，BC3，D 为 AC 边上一点，BDC45 ，求 AD 的长 (第 4 题) 已知斜边和一锐角解直角三角形 5如图，在 RtABC 中，C90 ，B45 ，a，b，c 分别为A，B，C 的对边，c10，解这个直角三角形www-2-1-cnjy-com (第 5 题) 6.如图， 在ABC 中， C90 ， B30 ， AD 是BAC 的平分线，
3、与 BC 相交于点 D，且 AB4 3，求 AD 的长2-1-c-n-j-y (第 6 题) 已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值)解直角三角形 题型1：化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法) 7如图，在ABC 中，点 D 是 AB 的中点，DCAC，且 tan BCD13，求A 的三角函数值 (第 7 题) 题型2：化解四边形问题为解直角三角形问题 8如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 E，BAC90 ，CED45 ，DCE30 ，DE 2，BE2 2.求 CD 的长和四边形 ABCD 的面积 (第 8 题) 题型3：化解方程问题为解直角三角形问题 9已知 a，b
4、，c 分别是ABC 中A，B，C 的对边，关于 x 的一元二次方程 a(1x2)2bxc(1x2)0 有两个相等的实数根，且 3ca3b. (1)判断ABC 的形状； (2)求 sin Asin B 的值 专训专训 2 构造三角函数基本图形解实际问题的几种数学模型构造三角函数基本图形解实际问题的几种数学模型 名师点金： 解直角三角形及其应用是近几年各地中考命题的热点之一， 考查内容不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题，还有要求同学们根据题中给出的信息构建三角函数的基本图形，建立数学模型，将某些简单的实际问题转化为数学问题，把数学问题转化为锐角三角函数问题来求解运用锐角三角函数知识解决与实际
5、生活、生产相关的应用题是近年来中考的热点题型 构造一个直角三角形解实际问题 1太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢 AB 的长度相同，均为 300 cm，AB 的倾斜角为 30 ，BECA50 cm，支撑角钢 CD，EF 与底座地基台面接触点分别为 D，F，CD 垂直于地面，FEAB 于点 E.两个底座地基高度相同(即点 D，F 到地面的垂直距离相同)，均为 30 cm，点 A 到地面的垂直距离为 50 cm，求支撑角钢 CD 和 EF 的长度各是多少厘米(结果
6、保留根号) (第 1 题) 2如图，大楼 AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 DE，在小楼的顶端 D处测得障碍物边缘点 C 的俯角为 30 ，测得大楼顶端 A 的仰角为 45 (点 B，C，E 在同一水平直线上)，已知 AB80 m，DE10 m，求障碍物 B，C 两点间的距离(结果精确到 0.1 m)(参考数据： 21.414， 31.732) (第 2 题) 构造形如“”的两个直角三角形解实际问题 3如图，“中国海监 50”正在南海海域 A 处巡逻，岛礁 B 上的中国海军发现点 A 在点B 的正西方向上， 岛礁 C 上的中国海军发现点 A 在点 C 的南偏东 30 方向上， 已
7、知点 C 在点 B的北偏西 60 方向上，且 B，C 两地相距 120 海里 (1)求出此时点 A 到岛礁 C 的距离； (2)若“中国海监 50”从 A 处沿 AC 方向向岛礁 C 驶去，当到达点 A时，测得点 B 在 A的南偏东 75 的方向上，求此时“中国海监 50”的航行距离(注：结果保留根号) (第 3 题) 4黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线 BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为 30 ，在 C 处测得电线杆顶端 A 的仰角为 45
8、 ，斜坡与地面成 60 角，CD4 m，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)(结果精确到 1 m，参考数据： 21.4， 31.7) (第 4 题) 5如图，防洪大堤的横断面是梯形 ABCD，其中 ADBC，坡角 60 .汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角 45 .若原坡长 AB20 m，求改造后的坡长 AE(结果保留根号) (第 5 题) 构造形如“”的两个直角三角形解实际问题 6某兴趣小组借助无人飞机航拍校园如图，无人飞机从 A 处水平飞行至 B 处需 8 s，在地面 C 处同一方向上分别测得 A 处的仰角为 75 ， B 处的仰角为 30 .已知无人飞机的飞行速度为 4 m/s
9、，求这架无人飞机的飞行高度(结果保留根号) (第 6 题) 7 如图， 小东在教学楼距地面 9 米高的窗口处， 测得正前方旗杆顶部 A 点的仰角为 37 ，旗杆底部 B 点的俯角为 45 ，升旗时，国旗上端悬挂在距地面 2.25 米处，若国旗随国歌声冉冉升起， 并在国歌播放 45 秒结束时到达旗杆顶端， 则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？(参考数据：sin 37 0.60，cos 37 0.80，tan 37 0.75)2 (第 7 题) 构造形如“”的两个直角三角形解实际问题 8 如图， 小刚同学在广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕 CD， 点 A 是小刚的眼睛，测得屏幕下端 D 处的仰
10、角为 30 ， 然后他正对屏幕方向前进了 6 米到达 B 处， 又测得该屏幕上端 C 处的仰角为 45 ，延长 AB 与楼房垂直相交于点 E，测得 BE21 米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离 CD(结果保留根号) (第 8 题) 答案答案 专训1 1解：a2 3，b6， c a2b2 1236 484 3. tan Aab2 3633，A30 ，B60 . 2解：AB13，AC12，ACB90 ， BC AB2AC2 169144 255. sin BACBCAB513.过点 B 作 BDMC 于点 D. 设点 B 到直线 MC 的距离为 d，则 BDd， BCMBAC，sin B
11、ACsin BCM. sin BCMdBC513， 即d5513，d2513. 即点 B 到直线 MC 的距离为2513. 3解：(1)由题意知 sin CABAC，即123AC，则 AC6. (2)由题意知 tan CABBC，即333BC，则 BC3 3. 4解：C90 ，BDC45 ，BC3，CD3. A30 ，BC3，tan ABCAC3AC33，即 AC3 3. ADACCD3 33. 5解：B45 ，C90 ，c10， A45 .ab5 2. 6解：C90 ，B30 ，AB4 3， CAB60 ，ACAB sin 30 4 3122 3. 又AD 是BAC 的平分线，CAD30 .
12、 cos CADACAD322 3AD，AD4. 7解：过点 D 作 CD 的垂线交 BC 于点 E，如图 在 RtCDE 中， tan BCD13DECD，可设 DEx，则 CD3x. CDAC，DEAC. 又点 D 为 AB 的中点，点 E 为 BC 的中点 DE12AC. AC2DE2x. 在 RtACD 中，ACD90 ，AC2x，CD3x， AD AC2CD2 4x29x2 13x. sin ACDAD3x13x3 1313， cos AACAD2x13x2 1313， tan ACDAC3x2x32. 方法技巧：本题中出现了 tan BCD13，由于BCD 所在的三角形并非直角三角
13、形，因此应用正切函数的定义，构造出一个与之相关的直角三角形进行求解21cnjy (第 7 题) (第 8 题) 8解：如图，过点 D 作 DHAC 于点 H. CED45 ，DHEC，DE 2， EHDE cos 45 2221，DH1. 又DCE30 ， HCDHtan 30 3，CDDHsin 302. AEB45 ，BAC90 ，BE2 2， ABAE2，ACAEEHHC21 33 3， S四边形ABCD122(3 3)121(3 3)3 392. 方法技巧： 题目中所给的有直角和 30 ， 45 角， 因此我们可以通过构造另一个直角三角形，然后运用特殊角的三角函数值求出某些边的长，进而
14、求出四边形的面积 9解：(1)将方程整理，得(ca)x22bx(ac)0，则 (2b)24(ca)(ac)4(b2a2c2) 方程有两个相等的实数根，0，即 b2a2c2. ABC 为直角三角形 (2)由 3ca3b，得 a3c3b. 将代入 a2b2c2，得(3c3b)2b2c2. 4c29bc5b20，即(4c5b)(cb)0. 由可知，bc，4c5b.b45c. 将代入，得 a35c. 在 RtABC 中， sin Asin Bacbc354575. 点拨：解决本题的突破口是由一元二次方程根与判别式的关系得到一个关于 a，b，c 的等式从解题过程可以看出，求三角函数值时，只分析出直角三角
15、形中三边的比例关系即可求出其值 专训2 1解：如图，过 A 作 AGCD 于 G，则CAG30 ， 在 RtACG 中，CGACsin 30 501225， GD503020，CDCGGD252045， 连接 FD 并延长与 BA 的延长线交于 H，则H30 ， 在 RtCDH 中，CHCDsin 302CD90， EHECCHABBEACCH300505090290， 在 RtEFH 中，EFEH tan 30 29033290 33. 答：支撑角钢 CD 和 EF 的长度各是 45 cm，290 33 cm. (第 1 题) 2解：如图，过点 D 作 DFAB 于点 F，过点 C 作 CH
16、DF 于点 H. 则 DEBFCH10 m， 在直角ADF 中，AF80 m10 m70 m，ADF45 ， DFAF70 m. 在直角CDE 中，DE10 m，DCE30 ， CEDEtan 30103310 3(m)， BCBECE7010 37017.3252.7(m) 答：障碍物 B，C 两点间的距离约为 52.7 m. (第 2 题) (第 3 题) 3解：(1)如图所示，延长 BA，过点 C 作 CDBA 交 BA 延长线于点 D， 由题意可得：CBD30 ，BC120 海里， 则 DC60 海里， 故 cos 30 DCAC60AC32， 解得：AC40 3， 答：点 A 到岛礁
17、 C 的距离为 40 3海里； (2)如图所示：过点 A作 ANBC 于点 N， 可得130 ，BAA45 ，ANAE， 则215 ，即 BA平分CBA， 设 AAx，则 AE32x， 故 CA2AN232x 3x， 3xx40 3， 解得：x20(3 3)， 答：此时“中国海监 50”的航行距离为 20(3 3)海里 4解：延长 AD 交 BC 的延长线于 G，作 DHBG 于 H，如图所示 (第 4 题) 在 RtDHC 中，DCH60 ，CD4， 则 CHCD cosDCH4cos 60 2， DHCD sinDCH4sin 60 2 3， DHBG，G30 ， HGDHtan G2 3
18、tan 306， CGCHHG268， 设 ABx m， ABBG，G30 ，BCA45 ， BCx，BGABtan Gxtan 30 3x， BGBCCG， 3xx8， 解得：x11(m) 答：电线杆的高约为 11 m. 5解：如图，过点 A 作 AFBC 于点 F. 在 RtABF 中，ABF60 ，AFAB sin 60 203210 3(m) 在 RtAEF 中，45 ，AFEF， AE AF2EF2（10 3）2（10 3）210 6(m) 答：改造后的坡长 AE 为 10 6 m. (第 5 题) (第 6 题) 6解：如图，作 ADBC 于 D，BH水平线于 H， 由题意得：AC
19、H75 ，BCH30 ，ABCH， ABC30 ，ACB45 ， AB32 m， ADCDAB sin 30 16 m，BDAB cos30 16 3 m， BCCDBD(1616 3)m， 则 BHBC sin 30 (88 3)m. 7解：过点 C 作 CDAB 于 D. 在 RtBCD 中，BD9 米，BCD45 ， 则 CDBD9 米 在 RtACD 中，CD9 米，ACD37 ， 则 ADCD tan 37 90.756.75(米) 所以 ABADBD15.75 米， 整个过程中国旗上升的高度约是：15.752.2513.5(米)， 因为耗时 45 秒， 所以上升速度为13.5450.3(米/秒) 答：国旗应以 0.3 米/秒的速度匀速上升 8解：CBE45 ，CEAE，CEBE. CE21 米，AEABBE62127(米) 在 RtADE 中，DAE30 ， DEAEtan 30 27339 3(米)， CDCEDE(219 3)米 即该屏幕上端与下端之间的距离 CD 为(219 3)米
