1、第三章 函数的概念与性质 3.23.2 函数的基本性质函数的基本性质 3.2.13.2.1 单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值 第第2 2课时课时 函数的最大函数的最大( (小小) )值值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义(重点) 2能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值(重点、难点) 3能利用函数的最值解决有关的实际应用问题(重点) 4通过本节内容的学习，使学生体会数形结合思想、分类讨论思想在求 解最值中的作用，提高学生逻辑推理、数学运算的能力(重点、难点) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 核 心
2、 素 养 1.借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养 2利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 函数最大值与最小值 最大值 最小值 设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：xI，都 有 f(x) M f(x) M 条件 x0I，使得 f(x0)M 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 结论 M是函数yf(x)的最大值 M是函数yf(x)的最小值 几何 意义 f(x)图象上最高点的 f(x)图象上最低点的 纵坐标 纵坐标 栏目导航栏目导航 栏
3、目导航栏目导航 7 思考：若函数f(x)M，则M一定是函数的最大值吗？ 提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)M时，M才是函 数的最大值，否则不是 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 1函数 yf(x)在2,2上的图 象如图所示，则此函数的最小值、最 大值分别是( ) A1,0 B0,2 C1,2 D.1 2，2 C 由图可知，f(x)的最大值为 f(1)2，f(x)的最小值为 f(2) 1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 2设函数 f(x)2x1(x0)，则 f(x)( ) A有最大值 B有最小值 C既有最大值又有最小值 D既无最大值又无最小值 D f(x)在(，
4、0)上单调递 增，f(x)1， 求f(x)的最大值、最小值 解 作出函数f(x)的图象(如图) 由图象可知，当x 1时，f(x)取最大值为f( 1)1. 当x0时，f(x)取最小值f(0)0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 【例2】 已知函数f(x)2x1 x1 . (1)判断函数在区间(1，)上的单调性，并用定义证明你的结 论； (2)求该函数在区间2,4上的最大值和最小值 利用函数的单调性求最值(值域) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 解 (1)f(x)在(1，)上为增函数，证明如下：任取1x1x2， 则f(x1)f(x2)2x
5、11 x11 2x 21 x21 x1x2 x11x21， 因为1x10，x210，x1x20， 所以f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)， 所以f(x)在(1，)上为增函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 (2)由(1)知f(x)在2,4上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(2)221 21 5 3， 最大值f(4)241 41 9 5. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 1利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性 (2)利用单调性求出最大(小)值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 2函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(
6、x)在区间a，b上是增(减)函数，则f(x)在区间a，b上的 最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b) (2)若函数f(x)在区间a，b上是增(减)函数，在区间b，c上是减(增) 函数，则f(x)在区间a，c上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中 较小(大)的一个 提醒：(1)求最值勿忘求定义域 (2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易 出现的错误，求解时一定注意 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 2求函数f(x)x4 x在1,4上的最值 解 设1x1x22，则f(x1)f(x2)x1 4 x1x2 4 x2x1x2 4x2x1 x1
7、x2 (x1x2) 1 4 x1x2 (x1x2)x 1x24 x1x2 x 1x2x1x24 x1x2 . 1x1x22，x1x20，x1x240， f(x1)f(x2)，f(x)在1,2)上是减函数 同理f(x)在2,4上是增函数 当x2时，f(x)取得最小值4；当x1或x4时，f(x)取得最大值5. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 【例3】 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外 每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(xN*)件当x20 时，年销售总收入为(33xx2)万元；当x20时，年销售总收入为260万 元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为
8、y万元(年利润年 销售总收入年总投资) (1)求y(万元)与x(件)的函数关系式； (2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是 多少？ 函数最值的实际应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 解 (1)当020时，y260100 x160 x.故y x232x100，020 (xN*) (2)当020时，160 x0)的对称轴与区间m，n可能存在几 种位置关系，试画草图给予说明？ 提示： 二次函数的最值问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 2求二次函数f(x)ax2bxc在m，n上的最值，应考虑哪些因 素？ 提示：若求二次函数f(x)在m，n上的最值，应考虑
9、其开口方向及对 称轴x b 2a与区间m，n的关系 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 【例 4】 已知函数 f(x)x2ax1，求 f(x)在0,1上的最大值 思路点拨 fxx2ax1 分类讨论 分析xa 2与 0，1的关系 数形结合 求fx的最大值 解 因为函数f(x)x2ax1的图象开口向上，其对称轴为xa 2， 当a 2 1 2，即a1时，f(x)的最大值为f(1)2a； 当a 2 1 2，即a1时，f(x)的最大值为f(0)1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 1在题设条件不变的情况下，求f(x)在0,1上的最小值 解 (1)当a 20，即a0时，f(x)在0,1上单
10、调递增，f(x)minf(0) 1. (2)当a 21，即a2时，f(x)在0,1上单调递减， f(x)minf(1)2a. (3)当0a 21，即0a2时，f(x)在 0，a 2 上单调递减，在 a 2，1 上单调 递增，故f(x)minf a 2 1a 2 4 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 2在本例条件不变的情况下，若a1，求f(x)在t，t1(tR)上的 最小值 解 当a1时，f(x)x2x1，其图象的对称轴为x1 2， 当t1 2时，f(x)在其上是增函数，f(x)minf(t)t 2t1； 当t11 2，即t 1 2时，f(x)在其上是减函数， 栏目导航栏目导航 栏目
11、导航栏目导航 30 当t1 2t1，即 1 2t 1 2时，函数f(x)在 t，1 2 上单调递减，在 1 2，t1 上单调递增，所以f(x)minf 1 2 3 4. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 二次函数在闭区间上的最值 设f(x)ax2bxc(a0)，则二次函数f(x)在闭区间m，n上的最大 值、最小值有如下的分布情况： 对称轴与 区间的关 系 b 2amn，即 b 2a (，m) m b 2an，即 b 2a(m，n) mn b 2a，即 b 2a(n，) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 图象 最值 f(x)maxf(n)，f(x)min f(m) f(x)max
12、maxf(n)， f(m)，f(x)minf b 2a f(x)maxf(m)， f(x)minf(n) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 1函数的最大(小)值，包含两层意义：一是存在，二是在给定区间上 所有函数值中最大(小)的，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最 低点 2求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是： (1)图象法， 即画出函数的图象， 根据图象的最高点或最低点写出最值； 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 (2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意 义求出最值； (3)对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想 和分类讨
13、论思想解题 3通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题 意识 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 1思考辨析 (1)任何函数都有最大(小) 值( ) (2)函数f(x)在a，b上的最值一 定是f(a)(或f(b)( ) (3)函数的最大值一定比最小值 大( ) 答案 (1) (2) (3) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 2函数yx22x，x0,3的 值域为( ) A0,3 B1,0 C1，) D1,3 D 函数 yx22x(x1)2 1，x0,3，当 x1 时，函数 y 取得最
14、小值为1， 当x3时， 函数取得最大值为3， 故函数的值域为1,3，故选 D. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 38 3函数yax1在区间1,3上 的最大值为4，则a_. 1 若a 0，则函数yax1在 区间1,3上是减函数，并且在区间的 左端点处取得最大值，即a14， 解得a3，不满足a0，则函数yax1在区间1,3上 是增函数，并且在区间的右端点处 取得最大值，即3a14，解得a 1.综上，a1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 39 4已知函数f(x) 2 x1(x2,6) (1)判断函数f(x)的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值 解 (1)函数 f(x)在 x2,
15、6上是减函数 证明： 设 x1， x2是区间2,6上的任意两个实数， 且 x1x2， 则 f(x1)f(x2) 2 x11 2 x21 2x21x11 x11x21 2x2x1 x11x21. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 40 由 2x10，(x11)(x21)0，于是 f(x1)f(x2)0， 即 f(x1)f(x2)， 所以函数 f(x) 2 x1是区间2,6上的减函数 (2)由(1)可知，函数 f(x) 2 x1在区间2,6的两个端点处分别取得最大 值与最小值，即在 x2 时取得最大值，最大值是 2，在 x6 时取得最小 值，最小值是2 5. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 41 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
