1、第四章 指数函数与对数函数 4.14.1 指数指数 第第2 2课时课时 指数幂及运算指数幂及运算 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解分数指数幂的含义，掌握根式 与分数指数幂的互化(重点、难点) 2掌握实数指数幂的运算性质，并 能对代数式进行化简或求值(重点) 1.通过分数指数幂、运算性质的推 导，培养逻辑推理素养 2借助指数幂的运算性质对代数 式化简或求值，培养数学运算素 养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 1分数指数幂的意义 正分数指数幂 规定：a m n
2、_(a0，m，nN*，且 n1) 负分数指数幂 规定：a m n1 a m n _ (a0，m，nN*，且 n1) 分数指 数幂 0 的分数指数 幂 0 的正分数指数幂等于_， 0 的负分数指数幂_意义 n am 1 n am 0 没有 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 思考：在分数指数幂与根式的互化公式a m nn am中，为什么必须规定 a0? 提示：若a0,0的正分数指数幂恒等于0，即nama m n0，无研究 价值 若a0. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 2有理数指数幂的运算性质 (1)aras (a0，r，sQ) (2)(ar)s (a0，r，sQ) (3)(ab)r
3、 (a0，b0，rQ) 3无理数指数幂 一般地，无理数指数幂a(a0，是无理数)是一个确定的 有理 数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂 ar s ars arbr 实数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 1下列运算结果中，正确的是 ( ) Aa2a3a5 B(a2)3(a3)2 C( a1)01 D(a2)3a6 A a2a3a2 3a5；(a2)3 a6(a3)2a6；( a1)01，若 成立，需要满足a1，故选A. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 24 2 5等于( ) A25 B.516 C.4 1 5 D.5 4 B 4 2 55 42516，故选B. 栏目导航栏目
4、导航 栏目导航栏目导航 9 3已知a0，则a 2 3等于( ) A. a3 B. 1 3 a2 C. 1 a3 D 3 a2 B a 2 3 1 a 2 3 1 3 a2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 4(m 1 2)4(1)0_. m21 (m 1 2)4(1)0m21. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 【例 1】 将下列根式化成分数指数幂的形式： (1) a a(a0)；(2) 1 3 x5x22 ； (3) 4 b 2 3 2 3(b0) 根式与分数指数幂的互化 栏目导航栏目导航
5、 栏目导航栏目导航 13 解 (1)原式a a 1 2 a 3 2 a 3 2 1 2a 3 4. (2)原式 1 3 x x 2 52 1 3 x x 4 5 1 3 x 9 5 1 x 9 5 1 3 1 x 3 5x 3 5. (3)原式 b 2 3 1 4 2 3b 2 3 1 4 2 3 b 1 9. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指 数的分子 (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利 用有理数指数幂的运算性质解题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 1将下列根式与
6、分数指数幂进行互化： (1)a3 3 a2；(2)a 4b23 ab2(a0，b0) 解 (1)a3 3 a2a3 a 2 3a3 2 3a 11 3. (2)a 4b23 ab2a 4b2 ab21 3 a 4b2a1 3b 2 3 a 11 3 b 8 3 a 11 6b 4 3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 【例2】 化简求值： 利用分数指数幂的运算性质化简求解 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 指数幂运算的常用技巧 1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. 2负指数幂化为正指数幂的倒数. 3底数是小数，先要化成分数；底
7、数是带分数，要先化成假分数， 然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分 母又含有负指数. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 2(1)计算： 23 5 0 2 2 21 4 1 2(0.01)0.5； (2)化简：3a 7 2 a 3 3 a 8 3 a15 3 a 3 a1(a0) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 探究问题 1. a1 a 2 和 a1 a 2 存在怎样的等量关系？ 指数幂运算中的条件求值 提示： a1 a 2 a1 a 24. 栏目导航栏目导航
8、栏目导航栏目导航 22 2已知 a 1 a的值，如何求a 1 a的值？反之呢？ 提示：设 a 1 am，则两边平方得a 1 am 22；反之若设a1 a n，则nm22，m n2.即 a 1 a n2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 【例 3】 已知 a 1 2a 1 24，求下列各式的值： (1)aa 1；(2)a2a2. 思 路 点 拨 a 1 2a 1 24 两边平方 得aa 1的值 两边平方 得a2a 2的值 解 (1)将a 1 2a 1 24两边平方，得aa1216，故aa114. (2)将aa 114两边平方，得a2a22196，故a2a2194. 栏目导航栏目导航 栏
9、目导航栏目导航 24 1在本例条件不变的条件下，求aa 1的值 解 令aa 1t，则两边平方得a2a2t22， t22194，即t2192，t 8 3，即aa 1 8 3. 2在本例条件不变的条件下，求a2a 2的值 解 由上题可知，a2a 2(aa1)(aa1) 8 314 112 3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 解决条件求值的思路 1在利用条件等式求值时， 往往先将所求式子进行有目的的变形， 或 先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入 法求值. 2在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 1对
10、根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方 便使用同底数幂的运算律 2解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利 器” 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 1思考辨析 (1)0的任何指数幂都等于 0.( ) (2)5 2 3 53.( ) (3)分数指数幂与根式可以相互 转化，如4a2a 1 2.( ) (4)a m n可以理解为m n 个a.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 2把根式a a化成分数指数幂 是( ) A(a) 3 2 B(a) 3 2 Ca 3 2 Da 3 2 D 由题意可知a0，故排除 A、B、C选项，选D. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 3已知x 1 2x 1 25，则x 21 x 的 值为( ) A5 B23 C25 D27 B x 1 2x 1 25，xx1 23，即x 21 x 23. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
