1、第四章 指数函数与对数函数 4.24.2 指数函数指数函数 第第2 2课时课时 指数函数的性质的应用指数函数的性质的应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握指数函数的性质并会应用， 能利用指数函数的单调性比较幂的 大小及解不等式(重点) 2通过本节内容的学习，进一步体 会函数图象是研究函数的重要工 具，并能运用指数函数研究一些实 际问题(难点) 借助指数函数的性质及应用，培养 逻辑推理和数学运算素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 【例1】 比较下列各组数的
2、大小： (1)1.52 .5和1.53.2； (2)0.6 1.2和0.61.5； (3)1.70 .2和0.92.1； (4)a1 .1与a0.3(a0且a1) 利用指数函数的单调性比较大小 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 解 (1)1.52 .5,1.53.2可看作函数y1.5x的两个函数值，由于底数 1.51，所以函数y1.5x在R上是增函数，因为2.53.2，所以 1.52 .51.5，所以0.6 1.21.701,0.92.10.92.1. (4)当a1时，yax在R上是增函数，故a1 .1a0.3； 当0a1时，yax在R上是减函数，故a1 .11和0a1两种情况分类讨论.
3、 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 1比较下列各值的大小： 4 3 1 3，22 3， 2 3 3， 3 4 1 2. 解 先根据幂的特征，将这 4 个数分类： (1)负数： 2 3 3；(2)大于 1 的数： 4 3 1 3，22 3；(3)大于 0 且小于 1 的数： 3 4 1 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 (2)中， 4 3 1 321 32 2 3(也可在同一平面直角坐标系中，分别作出 y 4 3 x，y 2x的图象，再分别取 x1 3，x 2 3，比较对应函数值的大小，如图)， 故有 2 3 3 3 4 1 2 4 3 1 322 3. 栏目导航栏目导航 栏目
4、导航栏目导航 10 【例 2】 (1)解不等式 1 2 3x12； (2)已知 a x23x10，a1)，求 x 的取值范围 解 (1)2 1 2 1，原不等式可以转化为 1 2 3x1 1 2 1. y 1 2 x在R上是减函数， 3x11，x0， 故原不等式的解集是x|x0 利用指数函数的单调性解不等式 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 (2)分情况讨论： 当0a0，a1)在R上是减函数， x23x1x6， x24x50， 根据相应二次函数的图象可得x5； 当a1时，函数f(x)ax(a0，a1)在R上是增函数， x23x1x6，x24x50， 根据相应二次函数的图象可得1x5.
5、综上所述，当0a1时，x5；当a1时，1xag(x)(a0，a1)的依据是指数型函数的单调性，要 养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即 af(x)ag(x) fxgx，a1， fxgx，0a 1 a 53x(a0且a1)，求x的取值范围 解 因为ax 1 1 a 53x，所以ax1a3x5，当a1时，yax为增函数， 可得x13x5，所以x3； 当0a1时，yax为减函数，可得x13. 综上，当a1时，x的取值范围为(，3)；当0a0，且a1)的单调性与yx2的单调性存在怎样 的关系？ 提示：分两类：(1)当a1时，函数yax2的单调性与yx2的单调 性一致； (2)
6、当0a1时，函数yax2的单调性与yx2的单调性相反 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 【例3】 判断f(x) 1 3 x22x的单调性，并求其值域 思路点拨 令ux22x函数ux的单调性 函数y 1 3 u的单调性 同增异减 函数fx 的单调性 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 解 令ux22x，则原函数变为y 1 3 u. ux22x(x1)21在(，1上递减，在1，)上递增， 又y 1 3 u在(，)上递减， y 1 3 x22x在(，1上递增，在1，)上递减 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 ux22x(x1)211， y 1 3 u，u1，)， 00，a1的单
7、调性的处理技巧 1关于指数型函数yafxa0，且a1的单调性由两点决定，一是 底数a1还是0a1；二是fx的单调性，它由两个函数yau，ufx复 合而成. 2求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分 解成yfu，ux，通过考查fu和x的单调性，求出yfx的单 调性. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 1比较两个指数式值的大小的主要方法 (1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数yax的单调性 (2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且 cbn，则amc且cbn，则ambn. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 2解简单指数不等式问题的注
8、意点 (1)形如axay的不等式，可借助yax的单调性求解如果a的值不确 定，需分0a1两种情况进行讨论 (2)形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借 助yax的单调性求解 (3)形如axbx的不等式，可借助图象求解 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 3(1)研究yaf(x)型单调区间时，要注意a1还是0a1时，yaf(x)与f(x)单调性相同 当0a0.1b，则ab.( ) (3)a，b均大于0且不等于1，若axbx，则x 0.( ) (4)由于yax(a0且a1)既非奇函数，也非偶函 数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性 的函数( ) 答案 (1) (
9、2) (3) (4) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 2若2x 11，则x的取值范围是 ( ) A(1,1) B(1，) C(0,1)(1，) D(，1) D 2x 1120，且y2x是增 函数， x10，x0且a1)的图象经过点 2，1 9 . (1)比较f(2)与f(b22)的大小； (2)求函数g(x)ax22x(x0)的值域 解 (1)由已知得a21 9，解得a 1 3，因为f(x) 1 3 x在R上递减， 2b22，所以f(2)f(b22) (2)因为x0，所以x22x1，所以 1 3 x22x3， 即函数g(x)a x22x(x0)的值域为(0,3 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
