1、第四章 指数函数与对数函数 4.54.5 函数的应用函数的应用( (二二) ) 4.5.34.5.3 函数模型的应用函数模型的应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.会利用已知函数模型解决实际问 题(重点) 2能建立函数模型解决实际问 题(重点、难点) 3了解拟合函数模型并解决实际问 题(重点) 通过本节内容的学习， 使学生认识函 数模型的作用，提高学生数学建模、 数据分析的素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 1常用函数模型 (1)一次函数 模型 ykxb(k
2、，b 为常数，k0) (2)二次函数 模型 yax2bxc(a，b，c 为常数，a0) 常用 函数 模型 (3)指数函数 模型 ybaxc(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 (4)对数函数 模型 ymlogaxn(m，a，n为常数，m0，a0且a1) (5)幂函数模 型 yaxnb(a，b为常数，a0) 常用 函数 模型 (6)分段函数 模型 y axbxm， cxdxm 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 2.建立函数模型解决问题的基本过程 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？ 提示：利用函数知
3、识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个 步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原 这些步骤用框图表示如图： 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 1如表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，由此判断它最可能 的函数模型是( ) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函数模型 B二次函数模型 C指数函数模型 D对数函数模型 A 自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一 次函数模型故选A. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 2某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一 种以该昆虫为食物的特殊动物，已
4、知该动物的繁殖数 量y(只)与引入时间x(年)的关系为yalog2(x1)，若该 动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展 到( ) A300只 B400只 C600只 D700只 A 将 x 1，y100 代入 y alog2(x1)得， 100alog2(1 1)，解得 a100. 所以 x7 时，y 100log2(71) 300. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 3据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量 为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普 通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆 次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是 (
5、 ) Ay0.3x800(0 x2 000) By0.3x1 600(0 x2 000) Cy0.3x800(0 x2 000) Dy0.3x1 600(0 x2 000) D 由题意 知，变速车存车 数为(2 000 x)辆 次，则总收入y 0.5x(2 000 x) 0.80.3x 1 600(0 x2 000) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 4某汽车运输公司购买了一批 豪华大客车投入运营据市场分 析，每辆客车营运的利润y与营运年 数x(xN)为二次函数关系(如图)， 则客车有营运利润的时间不超过 _年 7 设二次函数 ya(x6)2 11，又过点(4,7)， 所以 a1，即
6、y(x6)2 11. 解 y0，得 6 11x6 11，所以有营运利润的时间为 2 11. 又 62 117，所以有营运利润的时 间不超过 7 年 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 【例 1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设 物体的初始温度是 T0，经过一定时间 t 后的温度是 T，则 TTa(T0 Ta) 1 2 t h，其中 T a表示环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用 88 热水冲 的速溶咖啡，放在 24 的房间中，如果咖啡降温到 40 需要 20 min，那 么降温到 32
7、 时，需要多长时间？ 利用已知函数模型解决实际问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 解 先设定半衰期h，由题意知 4024(8824) 1 2 20 h ， 即1 4 1 2 20 h ， 解之，得h10，故原式可化简为 T24(8824) 1 2 t 10， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 当T32时，代入上式，得 3224(8824) 1 2 t 10， 即 1 2 t 108 64 1 8 1 2 3，t30. 因此，需要30 min，可降温到32 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需 要将题中的数据
8、代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化 为已知函数解析式求函数值或自变量的值. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 1某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关 系为： P t200t25， t10025t30. (tN*) 设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q40 t(0t30，tN*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金 额最大是第几天？ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 解 设日销售金额为y(元)，则yPQ， 所以y t220t8000t25， t2140t4 00025t30. (tN*) 当0t0) (1)写
9、出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值 思路点拨 畜养率空闲率 y与x之间 的函数关系 单调性 求最值 自建确定性函数模型解决实际问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 解 (1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则 畜养率为 x m，故空闲率为1 x m，由此可得ykx 1 x m (0 xm) (2)对原二次函数配方，得y k m(x 2mx) k m xm 2 2km 4 ，即当xm 2 时，y取得最大值km 4 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 1(变条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的 乘积
10、成反比”又如何表示出y关于x的函数解析式？ 解 根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜 养率为 x m，故空闲率为1 x m，因为羊群的年增长量y只和实际畜养量x只 与空闲率的乘积成反比，由此可得y k x 1 x m (0 xm) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 2(变结论)若本例条件不变，求当羊群的年增长量达到最大值时，k 的取值范围 解 由题意知为给羊群留有一定的生长空间， 则有实际畜养量与 年增长量的和小于最大畜养量，即0 xym. 因为当xm 2 时，ymaxkm 4 ，所以0m 2 km 4 m，解得2k0，所以0k2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航
11、 23 自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制 什么”. 求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务. 设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核 心因素为自变量. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函 数、不等式等. 限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除 了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 探究问题 1实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗？ 提示：不一定 2对于收集的一组样本数据：(x1，y
12、1)，(x2，y2)，(x3，y3)， (xn，yn)我们常对其如何操作，以发现其所隐含的规律？ 提示：常先画上述数据的散点图，再借助其变化趋势，结合我们已 学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律 拟合数据构建函数模型解决实际问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 【例 3】 某企业常年生产一种出口产品，自 2015 年以来，每年在 正常情况下，该产品产量平稳增长已知 2015 年为第 1 年，前 4 年年产 量 f(x)(万件)如下表所示： x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44 (1)画出 20152018 年该企业年产量的散点图；
13、 (2)建立一个能基本反映(误差小于 0.1)这一时期该企业年产量变化的 函数模型，并求出函数解析式； 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 (3)2019 年(即 x5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量 减少 30%，试根据所建立的函数模型，确定 2019 年的年产量为多少？ 思 路 点 拨 描点 依散点图 选模 待定系数法 求模 误差 验模 用模 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 解 (1)画出散点图，如图所示 (2)由散点图知，可选用一次函数模型 设f(x)axb(a0)由已知得 ab4， 3ab7， 解得 a1.5， b2.5， f(x)1.5x2.5. 检验：f
14、(2)5.5，且|5.585.5|0.080.1， f(4)8.5，且|8.448.5|0.061.2，所以，这个男生偏胖 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 1函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般 方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质 的研究，从而间接求出所需要的结论 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 2解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数 学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语 言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模
15、型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 38 1思考辨析 (1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数 模型来表述( ) (2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函 数模型( ) (3)当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段 函数模型( ) 答案 (1) (2) (3) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 39 2根据日常生活A、B、C、D四个实际问题，现各 收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如 图所示)，能够构建对数函数模
16、型解决实际问题且拟合度 较高的是( ) A B C D 答案 B 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 40 3若镭经过100年后剩留原来质量的 95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则 x，y的函数关系是( ) Ay0.957 6 x 100 By(0.957 6)100 x Cy 0.957 6 100 x Dy10.042 4 x 100 A 由题意可知 y(95.76%) x 100，即y 0.957 6 x 100. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 41 4已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到 达B地，在B地停留1小时后再以50 km
17、/h的速度返回A地 (1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)， 并画出函数的图象； (2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 42 解 (1)汽车由A地到B地行驶t h所走的距离s60t(0t2.5) 汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s150(2.5t3.5) 由B地返回A地，则汽车到A地的距离s15050(t3.5)325 50t(3.5t6.5) 综上，s 60t0t2.5， 1502.5t3.5， 32550t3.5t6.5， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 43 它的图象如图(1)所示 (1) (2) (2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v 600t2.5， 02.5t3.5， 503.5t6.5， 它的图象如图(2)所示 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 44 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
