1、必考部分 第八章第八章 解析几何解析几何 第一讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 知识点一 直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，把x轴_ 与直线l_方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平 行或重合时，规定它的倾斜角为_ (2)倾斜角的取值范围为_ 正向 向上 0 0，180) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 知识点二 直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角的_叫做这
2、条直线的斜率，斜率 常用小写字母k表示，即k_，倾斜角是90的直线斜率不存在 (2)过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1x2)的直线的斜率公式为k _ 正切值 tan y 2y1 x2x1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 知识点三 直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 _ 不含直线xx0 斜截式 _ 不含垂直于x轴的直线 _ yy1 y2y1 xx1 x2x1 不含垂直于坐标轴的直线 yy0k(xx0) ykxb 两点式 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 名称 方程 适用范围 _ x
3、a y b1 不含垂直于 x 轴、 平行于 x 轴和 _直线 一般式 AxByC0 其中要求_ 适用于平面直角坐标系内的所 有直线 截距式 过原点的 A2B20 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 直线的倾斜角 和斜率 k 之间的对应关系： 0 0 90 90 90 180 k 0 k0 且 越大，k 就越大 不存在 k0 且 越大，k 就越大 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率 ( ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大 ( )
4、 (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (4)经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 ykxb 表示 ( ) (5)不经过原点的直线都可以用x a y b1 表示 ( ) (6)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程 (yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 题组二 走进教材 2 (必修 2P38T3)经过两点 A(4,2y1)， B(2， 3)的直线的倾斜角为3 4 ， 则 y ( ) A1 B3 C0 D
5、2 B 解析 由2y13 42 2y4 2 y2， 得 y2tan3 4 1，y3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 3(必修2P100A组T9)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方 程为_ 3x2y0或xy50 解析 当截距为 0 时，直线方程为 3x2y0； 当截距不为 0 时，设直线方程为x a y a1， 则2 a 3 a1，解得 a5所以直线方程为 xy50 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 题组三 走向高考 4(2016 北京，7)已知A(2,5)，B(4,1)，若点P(x，y)在线段AB上，则 2xy的最大值为 ( )
6、 A1 B3 C7 D8 C 解析 线段 AB 的方程为 y151 24(x4)， 2x4即 2xy 90,2x4，因为 P(x，y)在线段 AB 上，所以 2xy2x(2x9) 4x9又 2x4，则14x97，故 2xy 最大值为 7 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 5(2010 辽宁)已知点 P 在曲线 y 4 ex1上， 为曲线在点 P 处的切 线的倾斜角，则 的取值范围是 ( ) A 0， 4 B 4， 2 C 2， 3 4 D 3 4 ， D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 由题意可知切线的斜率 ktan 4ex ex12
7、 4 ex 1 ex2 ， 1tan 0，又 0，3 4 ，故选 D 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点一 直线的倾斜角与斜率自主练透 例 1 (1)(2021 兰州模拟)直线 2xcos y30 6， 3 的倾斜 角的变化范围是 ( ) A 6， 3 B 4， 3 C 4， 2 D 4， 2 3 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)(2020 贵州遵义航天高级中学期中，11)经过点 P(0，1)作直线 l， 若直线 l 与连接 A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线 l 的倾斜角 的取
8、值范围为 ( ) A 0， 4 3 4， B 0， 4 C 3 4， D 0， 4 3 4， A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)已知曲线 f(x)ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为 ( ) Ae Be C1 e D1 e C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)直线 2xcos y30 的斜率 k2cos 由于 6， 3 ， 所以1 2cos 3 2 ，因此 k2cos 1， 3设直线的倾斜角为 ，则 有 tan 1， 3由于 0，)，所以 4， 3 ，即倾斜角的变化范 围是 4， 3 返回导航 高考一轮总复习 数
9、学（新高考） 第八章 解析几何 (2)如图所示，设直线 l 的倾斜角为 ，0，) kPA12 01 1，kPB11 02 1 直线 l 与连接 A(1，2)，B(2,1)的线段总 有公共点， 1tan 1 0， 4 3 4， 故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)解法一：f(x)ln x，x(0，)，f(x)1 x设切点 P(x0， ln x0)，则切线的斜率 kf(x0) 1 x0 ln x0 x0 ，ln x01，x0e，k 1 x0 1 e 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线f(x
10、)ln x及曲线f(x) ln x经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且 小于1，故选C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 引申1若将例(2)中“有公共点”改为“无公共点”，则直线l的斜 率的范围为_ 引申2若将题(2)中A(1，2)改为A(1,0)，其它条件不变，求直线l 斜率的取值范围为_，倾斜角的取值范围为 _ (，1)(1，) (，11，) 4， 3 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 P(0，1)，A(1,0)， B(2,1)，kAP 10 011， kBP11 20 1 如图可知，直线 l 斜率的取值范
11、围为(，11，)，倾斜 角的取值范围为 4， 3 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：求出斜 率ktan 的取值范围，但需注意斜率不存在的情 况；利用正切函数的单调性，借助图象或单位 圆，数形结合确定倾斜角的取值范围 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)求直线斜率的方法： 定义法：ktan ； 公式法：ky 2y1 x2x1； 导数法：曲线 yf(x)在 x0处切线的斜率 kf(x0) (3)注意倾斜角的取值范围是0，)，若直线的斜率不存在，则直线的 倾斜角为 2，直线垂直于 x 轴 返回导航 高考一
12、轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 1 (1)(2021 大庆模拟)直线 xsin y20 的倾斜角的范围是 ( ) A0，) B 0， 4 3 4 ， C 0， 4 D 0， 4 2， B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)(多选题)(2021 安阳模拟改编)已知点 A(1,3)，B(2，1)若直线 l：yk(x2)1 与线段 AB 相交，则 k 的值可以是 ( ) A1 2 B2 C0 D1 ABC 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)设直线的倾斜角为 ，则 tan sin ，所以1tan 1，又 0，)
13、，所以 0 4或 3 4 ，选 B (2)由已知直线 l 恒过定点 P(2,1)，如图所示， 若 l 与线段 AB 相交，则 kPAkkPB， kPA2，kPB1 2， 2k1 2，故选 A、B、C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点二 直线的方程师生共研 例 2 求适合下列条件的直线的方程： (1)在 y 轴上的截距为5，倾斜角的正弦值是3 5； (2)经过点 A( 3，3)，且倾斜角为直线 3xy10 的倾斜角的一 半； (3)过点(5,2)且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍； (4)与直线 3x4y50 关于 y 轴对称 返回导航 高考一轮总
14、复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)设直线的倾斜角为 ，则 sin 3 5 cos 4 5，直线的斜率 ktan 3 4 又直线在 y 轴上的截距是5， 由斜截式得直线方程为 y3 4x5 即 3x4y200 或 3x4y200 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)由 3xy10 得此直线的斜率为 3， 所以倾斜角为 120 ， 从 而所求直线的倾斜角为 60 ，故所求直线的斜率为 3 又直线过点( 3， 3)， 所以所求直线方程为 y3 3(x 3)， 即 3 xy60 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)若直线过原
15、点，则其斜率 k2 5，此时直线方程为 y 2 5x，即 2x 5y0 若直线不过原点，则设其方程为 x 2b y b1，由 5 2b 2 b1 得 b 9 2，故 所求直线方程为x 9 2y 9 1，即 x2y90 所求直线的方程为 x2y90 或 2x5y0 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (4)直线 3x4y50 的斜率为3 4，与 y 轴交点为 0，5 4 ，故所求直 线的斜率为3 4，且过点 0，5 4 ，所求直线方程为 y3 4x 5 4，即 3x 4y50 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 求直线方程应注意的问题 (1)要确定
16、直线的方程，只需找到直线上两个点的坐标，或直线上一 个点的坐标与直线的斜率即可确定直线方程的常用方法有两种：直 接法：根据已知条件确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程； 待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后 代入求出直线的方程 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜 截式前，先讨论直线的斜率是否存在；选用截距式前，先讨论在两坐标 轴上的截距是否存在或是不是0 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 2 (1)已知三角形的三个顶点 A(5,0)，B(3，
17、3)，C(0,2)，则 BC 边上 中线所在的直线方程为_ (2)直线 3xy40 绕其与 x 轴的交点顺时针旋转 6所得直线的方 程为_ (3)已知直线 l 的斜率为1 6，且和坐标轴围成面积为 3 的三角形，则直 线 l 的方程为_ x13y50 x6y60或x6y60 3x3y40 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由题意可知 BC 的中点为 H 3 2， 1 2 ， kAH 0 1 2 53 2 1 13 故所求直线的方程为 y0 1 13(x5)， 即 x13y50 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)直线 3xy4
18、0 与 x 轴的交点为 4 3 3 ，0 ，斜率为 3，倾斜 角 为 3 ， 可 知 所 求 方 程 直 线 的 倾 斜 角 为 6 ， 斜 率 k 3 3 或由ktan 6 求 ，故所求直线的方程为 y 3 3 x4 3 3 ，即 3x3y 40 (3)设直线方程为 y1 6xb，则 3b 23，b1，故所求直线方程 为 x6y60 或 x6y60 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点三 直线方程的应用多维探究 已知直线l过点M(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于 A，B两点，O为坐标原点求： (1)当AOB面积最小时，直线l的方程； (2)当在两坐标轴上
19、截距之和取得最小值时，直线l的方程； (3)当|MA| |MB|取最小值时，直线l的方程； (4)当|MA|2|MB|2取得最小值时，直线l的方程 例 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 设直线的方程为x a y b1(a0，b0)， 则2 a 1 b1 (1)2 a 1 b2 2 ab 1 2ab4，当且仅当 2 a 1 b 1 2，即 a4，b2 时， AOB 面积 S1 2ab 有最小值为 4此时，直线 l 的方程是 x 4 y 21即 x 2y40 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)ab(ab) 2 a 1 b 32b
20、a a b32 2b a a b32 2故 ab 的最小值为 32 2，此时2b a a b，求得 b 21，a2 2此时，直 线 l 的方程为 x 2 2 y 211即 x 2y2 20 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)解法一：设BAO，则 sin 1 |MA|，cos 2 |MB|，|MA| |MB| 2 sin cos 4 sin 2，显然当 4时，|MA| |MB|取得最小值 4，此时 kl 1，所求直线的方程为 y1(x2)，即 xy30 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解法二：|MA| |MB|MA MB (a2，1)
21、(2，b1)2ab 5(2ab) 2 a 1 b 52b a 2a b 4当且仅当 ab3 时取等号， |MA| |MB|的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 xy30 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解法三：若设直线 l 的方程为 y1k(x2)，则 A 2k1 k ，0 ，B(0,1 2k)，|MA| |MB| 1 k21 44k 22 1 kk 4，当且仅当k 1 k，即 k1 时，取等号故|MA| |MB|的最小值为 4，此时直线 l 的 方程为 xy30 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (4)同(3)|MA| 1 sin ，|
22、MB| 2 cos ， |MA|2|MB|2 1 sin2 4 cos2 (sin2cos2) 1 sin2 4 cos2 5cos 2 sin2 4sin 2 cos2 9 当且仅当cos22sin2，即tan 2 2 时取等号 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 |MA|2|MB|2的最小值为 9， 此时直线的斜率 k 2 2 ， 故所求直线的方程为 y1 2 2 (x2)， 即 2x2y2( 21)0 注：本题也可设直线方程为 y1k(x2)(k0)求解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 利用最值取得的条件求解直线方程，一般涉及函数思想即
23、建立目标 函数，根据其结构求最值，有时也涉及均值不等式，何时取等号，一定 要弄清 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 3 已知直线 l 过点 M(2,1)，且与 x 轴、y 轴正半轴分别交于 A、B，O 为 坐标原点若 SAOB9 2，求直线 l 的方程 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 设直线 l 的方程为x a y b1， 则 2 a 1 b1， ab9 解得 a3， b3 或 a6， b3 2 故所求直线方程为x 3 y 31 或 x 6 2y 3 1， 即 xy30 或 x4y60 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导
24、航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (此题为更换后新题)已知直线l：kxy13k0(kR) (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不过第一象限，求k的取值范围 例 4 (1)定点问题 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)证明： 直线 l 的方程可化为 y1k(x3)， 故无论 k 取何 值，直线 l 必过定点(3,1) (2)令 x0 得 y3k1，即直线 l 在 y 轴上的截距为 2k1 由题意知 k0， 3k10解得 k 1 3 故 k 的取值范围是(，1 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (此题为发现
25、的重题，更换新题见上题)已知直线 l：kxy12k 0(kR) (1)证明：直线 l 过定点； (2)若直线 l 不过第四象限，求 k 的取值范围 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)证明： 直线 l 的方程可化为 y1k(x2)， 故无论 k 取何 值，直线 l 必过定点(2,1) (2)令 x0 得 y2k1，即直线 l 在 y 轴上的截距为 2k1 由题意知 k0， 2k10解得 k0 故取值范围是0) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 过定点A(x0，y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(k为参数)及x x0方程为yy0k
26、(xx0)是直线过定点A(x0，y0)的充分不必要条件 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 例 5 (2)曲线的切线问题 (2021 湖南湘潭模拟)经过(2,0)且与曲线 y1 x相切的直线与 坐标轴围成的三角形面积为 ( ) A2 B1 2 C1 D3 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 设切点为 m， 1 m ，m0，y1 x的导数为 y 1 x2，可得切 线的斜率 k 1 m2，切线方程为 y 1 m 1 m2(xm)，代入(2,0)，可得 1 m 1 m2(2m)，解得 m1，则切线方程为 y1x1，切线与坐标轴 的交点坐标为(0,2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积为1 222 2故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练4 (1)直线ykxk2过定点_ (2)(2018 课标全国)曲线y2ln x在点(1,0)处的切线方程为 _ (1，2) 2xy20 谢谢观看
