1、中考一轮数学复习中考一轮数学复习 二次函数最值的综合应用二次函数最值的综合应用 培优提升专题训练培优提升专题训练 1当 m 在可取值范围内取不同的值时，代数式的最小值是（ ） A0 B5 C3 D9 2二次函数 ymx24x+m 有最小值3，则 m 等于（ ） A1 B4 C1 或4 D1 或 4 3若一次函数 y（a+1）x+a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数 yax2ax（ ） A有最大值B有最大值C有最小值D有最小值 4二次函数 yx2+2x5 有（ ） A最大值5 B最小值5 C最大值4 D最小值4 5二次函数 yax2+bx+c，b2ac 且 x0 时 y4，则（ ） Ay最大
2、4 By最小4 Cy最大3 Dy最小3 6A（0，3） ，B（2，3）是抛物线 yx2+bx+c 上两点，该二次函数最大值是（ ） A4 B5 C6 D7 7已知二次函数 ya（x+1）2b（a0）有最小值，则 a、b 的大小比较为（ ） Aab Bab Cab D不能确定 8已知 k，n 均为非负实数，且 2k+n2，则代数式 2k24n 的最小值为（ ） A40 B16 C8 D0 9将 4cm 长的线段分成两部分，一部分作为正方形的一条边，另一部分作为一个等腰直角三角形的斜边， 则这个正方形和等腰直角三角形的面积之和的最小值为（ ）cm2 A1 B C16 D 10二次函数 y（xm）2
3、m21 有最小值4，则实数 m 的值可能是（ ） A B3 C D4 11如图，在ABC 中，C90，AB10cm，BC8cm，点 P 从点 A 沿 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度运 动，同时点 Q 从点 C 沿 CB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动（点 Q 运动到点 B 停止） ，在运动过程中，四边 形 PABQ 的面积最小值为（ ） A19cm2 B16cm2 C15cm2 D12cm2 12如图，P 为线段 AB 上一点，以 AP 为边作一正方形 APMN，以 BP 为底在另一侧作等腰BPQ，连接 MQ，若 AB 的长为 4，则MPQ 的面积的最大值等于 13函数 yx24
4、x+5（0 x5）的最小值和最大值分别是 ， 14将进货单价为 70 元的某种商品按零售价 100 元售出时，每天能卖出 20 个；若这种商品的零售价在一 定范围内每降价 2 元，其日销售量就增加 4 个，为了获得最大利润，则售价为 元，最大利润为 元 15函数 yx22（2k1）x+3k22k+6 的最小值为 m，则当 m 达到最大时，x 16某电脑商店销售某种品牌的电脑，所获利润 y（元）与所销售电脑 x（台）之间的函数关系满足 y x2+120 x1200，则当天卖出电脑 台时，可获得最大利润为 元 17若实数 a，b 满足 a+b21，则 2a2+7b2的最小值是 18已知实数 x、y
5、 满足 x22x+y5，则 x+2y 的最大值为 19如图，抛物线 yx2+2x+c 的顶点在双曲线 y上，则 y 有最小值为 20如图线段 AB6，点 C 是 AB 上一点，点 D 是 AC 的中点，分别以 AD，DC，CB 为边作正方形，则 AC 时，三个正方形的面积之和最小 21如图，在AOB 中，OAOB8，AOB90，矩形 CDEF 的顶点 C、D、F 分别在边 AO、OB、 AB 上，若 tanCDO，则矩形 CDEF 面积的最大值 s 22如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 M、N 分别在 BC、CD 上，且CMN 的周长为 2，求MAN 的面 积的最小值 23如图，在AB
6、C 中，B90，AB12 米，BC24 米，动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向 B 以 2 米/秒 的速度运动（不与点 B 重合） ，动点 Q 从点 B 开始沿 BC 向 C 以 4 米/秒的速度运动（不与点 C 重合） 如 果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，设运动时间为 x 秒，四边形 APQC 的面积为 y 平方米 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，直接写出自变量 x 的取值范围； （2）求当 x 为多少时，y 有最小值，最小值是多少？ 24某企业为杭州计算机产业基地提供电脑配件受美元走低的影响，从去年 1 至 9 月，该配件的原材料 价格一路攀升，每件配件的原材料价格 y1
7、（元）与月份 x（1x9，且 x 取整数）之间的函数关系如下 表： 月份 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 价格 y1（元/件） 560 580 600 620 640 660 680 700 720 随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10 至 12 月每件配件的原材料价格 y2（元）与月份 x （10 x12，且 x 取整数）之间存在如图所示的变化趋势： （1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出 y1 与 x 之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出 y2与 x 之间满足的一次函数关系式； （2）若去年该配件每件的售价为
8、 1000 元，生产每件配件的人力成本为 50 元，其它成本 30 元，该配件 在 1 至 9 月的销售量 p1（万件）与月份 x 满足关系式 p10.1x+1.1（1x9，且 x 取整数） ，10 至 12 月 的销售量 p2（万件）p20.1x+2.9（10 x12，且 x 取整数） 求去年哪个月销售该配件的利润最大， 并求出这个最大利润 25对称轴为直线 x1 的抛物线 yx2+bx+c，与 x 轴相交于 A，B 两点，其中点 A 的坐标为（3，0） （1）求点 B 的坐标 （2）点 C 是抛物线与 y 轴的交点，点 Q 是线段 AC 上的动点，作 QDx 轴交抛物线于点 D，求线段 Q
9、D 长度的最大值 26一块三角形废料如图所示，A30，C90，BC6用这块废料剪出一个平行四边形 AGEF， 其中，点 G，E，F 分别在 AB，BC，AC 上设 CEx （1）求 x2 时，平行四边形 AGEF 的面积 （2）当 x 为何值时，平行四边形 AGEF 的面积最大？最大面积是多少？ 27如图，在ABC 中，ABAC1，A45，边长为 1 的正方形的一个顶点 D 在边 AC 上，与ADC 另两边分别交于点 E、F，DEAB，将正方形平移，使点 D 保持在 AC 上（D 不与 A 重合） ，设 AFx，正 方形与ABC 重叠部分的面积为 y （1）求 y 与 x 的函数关系式并写出自
10、变量 x 的取值范围； （2）x 为何值时 y 的值最大？ 28如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ABCBAD90，AB 为O 的直径 （1）若 AD2，ABBC8，连接 OC、OD 求COD 的面积； 试判断直线 CD 与O 的位置关系，说明理由 （2）若直线 CD 与O 相切于 F，ADx（x0） ，AB8试用 x 表示四边形 ABCD 的面积 S，并探索 S 是否存在最小值，写出探索过程 参考答案参考答案 1解：， 当 m1 时，取得最小值为 5， 故选：B 2解：二次函数有最小值， m0 且3， 解得 m1 故选：A 3解：一次函数 y（a+1）x+a 的图象过第一、三、四象限，
11、a+10 且 a0， 1a0， 二次函数 yax2ax 有最大值， 故选：B 4解：配方，得 y（x1）24 所以当 x1 时，ymax4 故选：C 5解：把 x0 时 y4 代入二次函数 yax2+bx+c， 得 c4，代入 b2ac 得 b24a， 故 a0， 所以二次函数有最大值， 把 c4 代入最大值公式， 则有 y最大3 故选：C 6解：将 A（0，3） ，B（2，3）代入解析式， 得：， 解得， 则二次函数的解析式为 yx2+2x+3， yx2+2x+3（x1）2+4， 当 x1 时，y 取得最大值，最大值为 4， 故选：A 7解：二次函数 ya（x1）2b 有最小值， a0，b，
12、 ab 故选：A 8解：k，n 均为非负实数，2k+n2， n22k， 22k0， 0k1 2k24n2k24（22k）2（k+2）216 当 k0 时，代数式有最小值， 代数式 2k24n 的最小值为8 故选：C 9解：设等腰直角三角形的斜边为 xcm，则正方形的边长为（4x）cm若等腰直角三角形的面积为 S1， 正方形面积为 S2，则 S1xxx2，S2（4x）2， 面积之和 Sx2+（4x）2x28x+16 0， 函数有最小值 即 S最小值（cm2） 故选：D 10解：关于 x 的二次函数 y（xm）2m21 有最小值4， m2+14， m， 故选：A 11解： （方法一）在 RtABC
13、 中，C90，AB10cm，BC8cm， AC6cm 设运动时间为 t（0t4） ，则 PC（6t）cm，CQ2tcm， S四边形PABQSABCSCPQACBCPCCQ68（6t）2tt26t+24（t3） 2+15 10， 当 t3 时，四边形 PABQ 的面积取最小值，最小值为 15 （方法二）S四边形PABQ+SCPQSABC， 当CPQ 的面积最大时，四边形 PABQ 的面积最小 在 RtABC 中，C90，AB10cm，BC8cm， AC6cm 设运动时间为 t（0t4） ，则 PC（6t）cm，CQ2tcm， SCPQPCCQ（6t）2tt2+6t（t3）2+9 10， 当 t3
14、 时，CPQ 的面积取最大值，最大值为 9， 四边形 PABQ 的面积最小值为68915 故选：C 12解：设 APx，则 BP4x，MPAPx，Q 点到 MP 的距离等于 B 点到 MP 的距离的一半 SMPQx（x2）2+1 0， 当 x2 时，SMPQ1 为最大值 故答案为：1 13解：函数 yx24x+5 的顶点坐标为：x2，y1，即（2， 1） x0 时，y0240+55，即（0，5） ； x5 时，y5245+510，即（5，10） 由函数 yx24x+5 的图象可知，在 0 x5 范围内，函数最小值和最大值分别是 1，10 14解：设降价 x 元，利润为 y， y（10070 x
15、） （20+2x） 2x2+40 x+600 2（x10）2+800， 当 x10 时，y 的最大值为 800， 即售价为 90 元时，最大利润为 800 元 故答案为 90，800 15解：当 x2k1 时，函数取最小值， 最小值 mk2+2k+5（k1）2+6， 当 k1 时，m 取得最大值，最大值为 6， 此时，x2k12111 故答案为：1 16解：yx2+120 x1200（x60）2+2400 10， 当 x60 时，y 有最大值，为 2400 故答案为 60；2400 17解：a+b21， a1b2 2a2+7b22（1b2）2+7b22b4+3b2+22（b2+）2+22（b2
16、+）2+， b20， 2（b2+）2+0， 当 b20，即 b0 时，2a2+7b2的值最小 最小值是 2 方法二：a+b21， b21a， 2a2+7b22a2+7（1a）2a27a+72（a）2+， b20， 1a0， a1， 当 a1，即 b0 时，2a2+7b2的值最小 最小值是 2 18解：由 x22x+y5 可得：y5x2+2x，代入 x+2y 得2x2+5x+10， 令 z2x2+5x+10， 二次函数 z2x2+5x+10 中，a20， 函数有最大值，即 z最大 19解：抛物线 yx2+2x+c 得对称轴为 x1， 代入双曲线 y，得 y2， 即则 y 有最小值为2 20解：设
17、 AC 为 x，三个正方形的面积和为 y则 BC6x，ADCD， y2（）2+（6x）2x212x+36， x4 时，三个正方形的面积之和最小 故答案为 4 21解：设 CDx，CFy过 F 作 FHAO 于 H在 RtCOD 中， ， FCH+OCD90， FCHCDO AHF 是等腰直角三角形， AOAH+HC+CO 易知， 当 x5 时，矩形 CDEF 面积的最大值为 故答案为： 22解：设 DNx，BMy， NC1x，MC1y，CNCMNC+CM+NM2， NMx+y 将DNA 绕点 A 顺时针旋转 90至ABF， 则 NMMF，AMMA，ANAF， ANMAFM（SSS） NAM45
18、，DNAAFBANE 过点 A 作 AENM，垂足为 E， AEND，DNAANE，AN 为公共边， DANEAN（AAS） ， AEAD1， 在 RtCNM 中，由勾股定理得：CN2+CM2NM2， （1x）2+（1y）2（x+y）2， 化简得：xy+x+y10， SANM（x+y） （xy）20， （x+y）24xy， xy， 将代入并整理可得 S2+2S10， （S+1）22 S0， S1， MAN 的面积的最小值为1 23解： （1）根据题意知 SSABCSPBQ 12244x（122x） 4x224x+144， 由 122x0 得 x6， 0 x6； （2）y4x224x+1444（
19、x3）2+108 40 当 x3 时，y 取得最小值，最小值为 108 24解： （1）利用表格得出函数关系是一次函数关系： 设 y1kx+b， ， 解得：， y120 x+540， 利用图象得出函数关系是一次函数关系： 设 y2ax+c， ， 解得：， y210 x+630 （2）去年 1 至 9 月时，销售该配件的利润 wp1（10005030y1） ， （0.1x+1.1） （1000503020 x540）2x2+16x+418， 2（ x4）2+450， （1x9，且 x 取整数） 20，1x9，当 x4 时，w 最大450（万元） ； 去年 10 至 12 月时，销售该配件的利润
20、wp2（10005030y2） （0.1x+2.9） （1000503010 x630） ， （ x29）2， （10 x12，且 x 取整数） ， 10 x12 时，当 x10 时，w 最大361（万元） ， 450361，去年 4 月销售该配件的利润最大，最大利润为 450 万元 25解： （1）点 A（3，0）与点 B 关于直线 x1 对称， 点 B 的坐标为（1，0） （2）a1，yx2+bx+c 抛物线过点（3，0） ，且对称轴为直线 x1， 解得：， yx2+2x3， 且点 C 的坐标为（0，3） 设直线 AC 的解析式为 ymx+n， 则， 解得：， yx3 如图，设点 Q 的坐
21、标为（xy） ，3x0 则有 QDx3（x2+2x3）x23x（x+）2+ 30，当 x时，QD 有最大值 线段 QD 长度的最大值为 26解：设平行四边形 AGEF 的面积是 S 四边形 AGEF 是平行四边形， EFAG； A30，C90，CEx，BC6， ACFE30， CFx，AC6， AF6x； SAFCE（6x）xx2+6x，即 Sx2+6x； （1）当 x2 时，S4+128，即 S8 答：平行四边形 AGEF 的面积为（平方单位）4 分 （2）由 Sx2+6x，得 ， ， 当 x3 时，平行四边形 AGEF 的面积最大，最大面积是（平方单位）9 分 27解： （1）ABAC，
22、BC， DEAB， BCED，AFDFDE90， CCED， DCDE 在 RtADF 中，A45， ADF45A， AFDFx， ADx， DCDE1x， y（DE+FB）DF（1x+1x）x（+1）x2+x 点 D 保持在 AC 上，且 D 不与 A 重合， 0AD1， 0 x1， 0 x 故 y（+1）x2+x，自变量 x 的取值范围是 0 x； （2）y（+1）x2+x， 当 x1 时，y 有最大值 28解： （1）SCODS梯形ABCDSAODSBOC 4041620 （或先证明COD 是直角三角形进而求其面积 ） 过 D 作 DEBC，E 是垂足，从而四边形 ABED 是矩形 BEAD2，CE6，DEAB8 在 RtCDE 中，CD10过 O 作 OFCD 于 F， 由 SCOD20，可得 OF4， 表明点 O 到 CD 的距离等于O 的半径，故直线 CD 与O 相切； （2）在四边形 ABCD 中， ADx0，设 BCy，则 CDx+y，CE|yx|， 在 RtCDE 中，根据勾股定理，得 （yx）2+64（x+y）2，于是，x0 进而，x0 x0， 当，x4 时，有最小值 8，从而 S 有最小值 32
