1、中考复习几何图形的变换综合题专题提升训练中考复习几何图形的变换综合题专题提升训练 1如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD4，点 E 为线段 CD 的中点，动点 F 从点 C 出发，沿 CB A 的方向在 CB 和 BA 上运动，将矩形沿 EF 折叠，点 C 的对应点为 C，当点 C恰好落在矩形的对角线上 时（不与矩形顶点重合） ，点 F 运动的距离为 2如图，在平面直角坐标系中，已知点 A、B、C 的坐标分别为（1，0） ， （5，0） ， （0，2） 若点 P 从 A 点出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度向 B 点移动，连接 PC 并延长到点 E，使 CEPC，将 线段
2、PE 绕点 P 顺时针旋转 90得到线段 PF，连接 FB若点 P 在移动的过程中，使PBF 成为直角三 角形，则点 F 的坐标是 3如图，RtOABRtBCD，斜边都在 x 轴上，tanAOB2，AB，双曲线（x0）与 AO 交于点 E、交 BC 于点 F，且 OE2AE， CF2BF，则反比例函数解析式是 ，点 C 的坐标是 4矩形 ABCD 中，AB4，AD3，P，Q 是对角线 BD 上不重合的两点，点 P 关于直线 AD，AB 的对称点 分别是点 E、F，点 Q 关于直线 BC、CD 的对称点分别是点 G、H若由点 E、F、G、H 构成的四边形 恰好为菱形，则 PQ 的长为 5如图，在
3、ABC 中，ACB90，ACBC，以 C 为顶点作DCE45，且 CD、CE 分别与 AB 相交于 D、E 两点，将ACD 绕点 C 逆时针旋转 90得到BCF （1）求证：AECFEC； （2）若 AD6，EB4，求 DE 的长； （3）若将DCE 绕点 C 逆时针旋转使 CD 与 AB 相交于点 D，边 CE 与 AB 的延长线相交于点 E，而其 他条件不变，如图所示，猜想 DE 与 AD、EB 之间有何数量关系？证明你的猜想 6如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（4，0） ，M 是线段 OA 上一动点，N 为 y 轴正半轴上的点，且满 足 AMON （1）若OMN45，求 AM
4、的长； （2）以 MN 为斜边在第一象限内作等腰直角MNB，求点 B 的坐标； （3）在（2）的条件下，点 B 关于 MN 的对称点为 E，当点 E 落在 y 轴上时，求 AM 的长 7如图 1，在ABC 中，AEBC 于 E，AEBE，D 是 AE 上的一点，且 DECE，连接 BD，CD （1）试判断 BD 与 AC 的位置关系和数量关系，并说明理由； （2）如图 2，若将DCE 绕点 E 旋转一定的角度后，试判断 BD 与 AC 的位置关系和数量关系是否发生 变化，并说明理由； （3）如图 3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变 试猜想 BD 与 AC 的数量关系
5、，请直接写出结论； 你能求出 BD 与 AC 的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由 8 将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图方式摆放， 其中ACBDEB90， AD30， 点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F （1）连接 BF，求证：CFEF （2）若将图中的DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 ，且 060，其他条件不变，如图， 求证：AF+EFDE （3） 若将图中的DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 ， 且 60180， 其他条件不变， 如图， 你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出 A
6、F、EF 与 DE 之间的 数量关系 9 【问题情境】如图，在ABC 中，若 AB10，AC6，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围 （1） 【问题解决】延长 AD 到点 E 使 DEAD，再连接 BE（或将ACD 绕着点 D 逆时针旋转 180得到 EBD） ，把 AB、AC、2AD 集中在ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断出中线 AD 的取值范围 是 【反思感悟】解题时，条件中若出现“中点” 、 “中线”字样，可以考虑构造以该中点为对称中心的中心 对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同个三角形中，从而解决问题 （2） 【尝试应用】如图，ABC 中，BAC90，AD 是 B
7、C 边上的中线，试猜想线段 AB，AC，AD 之间的数量关系，并说明理由 （3） 【拓展延伸】如图，ABC 中，BAC90，D 是 BC 的中点，DMDN，DM 交 AB 于点 M， DN 交 AC 于点 N，连接 MN当 BM4，MN5，AC6 时，请直接写出中线 AD 的长 10观察猜想 （1）如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC3，点 D 与点 A 重合，点 E 在边 BC 上，连接 DE， 将线段 DE 绕点 D 顺时针旋转 90得到线段 DF， 连接 BF， BE 与 BF 的位置关系是 ， BE+BF ； 探究证明 （2）在（1）中，如果将点 D 沿 AB 方向移动，使
8、AD1，其余条件不变，如图，判断 BE 与 BF 的 位置关系，并求 BE+BF 的值，请写出你的理由或计算过程； 拓展延伸 （3）如图，在ABC 中，ABAC，BAC，点 D 在边 BA 的延长线上，BDn，连接 DE，将线 段 DE 绕着点 D 顺时针旋转，旋转角EDF，连接 BF，则 BE+BF 的值是多少？请用含有 n， 的式 子直接写出结论 11在ABC 中，BAC90，ABAC （I）如图，D 为 BC 边上一点（不与点 B，C 重合） ，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到 AE，连接 EC 求证： （1）BADCAE； （2）BCDC+EC （）如图，D 为ABC 外一
9、点，且ADC45，仍将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到 AE，连 接 EC，ED （1）BADCAE 的结论是否仍然成立？并请你说明理由； （2）若 BD9，CD3，求 AD 的长 12如图，在直角坐标系中，ABC 的三个顶点都在坐标轴上，A，B 两点关于 y 轴对称，点 C 是 y 轴正半 轴上一个动点，AD 是角平分线 （1）如图 1，若ACB90，直接写出线段 AB，CD，AC 之间数量关系； （2）如图 2，若 ABAC+BD，求ACB 的度数； （3）如图 2，若ACB100，求证：ABAD+CD 13如图，在平面直角坐标系中，等边ABC 的顶点 A，B，C 均在坐标轴上，
10、其中 B（4，0） ，C（4，0） （1）如图 1，若将AOC 沿 AC 翻折得到ACD，则 A 点坐标为 ，D 点坐标为 ； （2）如图 2，若点 P 为 AO 上一动点，作点 P 关于 AC 的对称点 Q，连接 QB，QC，是否存在这样的点 P使得QBC 的周长最小？如果存在，求出QBC 周长的最小值；如果不存在，请说明理由； （3）在（1）问的条件下，点 E 为 y 轴正半轴上一动点，是否存在点 E 使得BDE 为等腰三角形？如果 存在，请直接写出BDE 的面积，若不存在，请说明理由 14阅读下列材料，解答问题： 定义：线段 BE 把等腰ABC 分成ABE 与BCE（如图 1） ，如果A
11、BE 与BCE 均为等腰三角形，那 么线段 BE 叫做ABC 的完美分割线 （1）如图 1，已知ABC 中，ABAC，BAC36，BE 为ABC 的完美分割线，且 CEAE，则 C ，AEB ； （2）如图 2，已知ABC 中，ABAC，BAC108，ACCD，求证：AD 为ABC 的完美分割线； （3）如图 3，已知ABC 是一等腰三角形纸片，ABAC，AD 是它的一条完美分割线，且 BDDC，将 ACD 沿直线 AD 折叠后，点 C 落在点 C1处，AC1交 BD 于点 E求证：BEC1D 15在等边ABC 中，点 O 在 BC 边上，点 D 在 AC 的延长线上且 OAOD （1）如图
12、1，若点 O 为 BC 中点，求证：COD 的度数 （2）如图 2，若点 O 为 BC 上任意一点，求证：AD2BO+OC （3）如图 3，若点 O 为 BC 上任意一点，点 D 关于直线 BC 的对称点为点 P，连接 AP，OP，请判断 AOP 的形状，并说明理由 16在 RtABC 中，ABAC，OBOC，A90，MON，分别交直线 AB、AC 于点 M、N （1）如图 1，当 90时，求证：AMCN； （2）如图 2，当 45时，求证：BMAN+MN； （3）当 45时，旋转MON 至图 3 位置，请你直接写出线段 BM、MN、AN 之间的数量关系 17 人教版初中数学教科书八年级上册第
13、 84 页探究了“三角形中边与角之间的不等关系” ， 部分原文如下： 如图 1，在ABC 中，如果 ABAC，那么我们可以将ABC 折叠，使边 AC 落在 AB 上，点 C 落在 AB 上的 D 点，折线交 BC 于点 E，则CADE ADEB（想一想为什么） ， CB （1）请证明上文中的ADEB； （2）如图 2，在ABC 中，如果ACBB，能否证明 ABAC？ 同学小雅提供了一种方法：将ABC 折叠，使点 B 落在点 C 上，折线交 AB 于点 F，交 BC 于点 G，再 运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； （3）如图 3，在ABC 中，C2B，按照图 1 的方式进
14、行折叠，得到折痕 AE，过点 E 作 AC 的平行 线交 AB 于点 M，若BEA110，求DEM 的度数 18 （1）如图 1，在正方形 ABCD 中，FAG45，请直接写出 DG，BF 与 FG 的数量关系，不需要证明 （2）如图 2，在 RtABC 中，BAC90，ABAC，E，F 分别是 BC 上两点，EAF45 写出 BE，CF，EF 之间的数量关系，并证明； 若将（2）中的AEF 绕点 A 旋转至如图 3 所示的位置，上述结论是否仍然成立？若不成立，直接写 出新的结论，无需证明 （3）如图 4，AEF 中，EAF45，AGEF 于 G，且 GF2，GE3，则 SAEF 19在ABC
15、 中，ABAC6，BAC90，ADBC 于点 D，E 为线段 AD 上的一点，AE：DE2： 1，以 AE 为直角边在直线 AD 右侧构造等腰 RtAEF，使EAF90，连接 CE，G 为 CE 的中点 （1）如图 1，EF 与 AC 交于点 H，连接 GH，求线段 GH 的长度 （2）如图 2，将AEF 绕点 A 逆时针旋转，旋转角为 且 45135，H 为线段 EF 的中点，连接 DG，HG，猜想DGH 的大小是否为定值，并证明你的结论； （3）如图 3，连接 BG，将AEF 绕点 A 逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写出 BG 长度的最大值 20如图，在平面直角坐标系中，A（6，0） ，
16、B（0，8） ，AB10，点 C 在线段 OB 上，现将AOC 翻折， 使得线 段 AO 的对应边 AD 落到 AB 上，点 O 的对应点是点 D，折痕为 AC （1）求点 C 的坐标； （2）连接 OD，过点 O 作 OHCD 于点 H，求 OH 的长； （3）在（2）的条件下，若点 P 从点 C 出发，沿着 CDA 运动，速度为每秒 1 个单位，时间为 t，是 否存在 t 值，使得AOP 的面积为 12，若存在求出 t 的值；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 1解：分两种情况： 当点 C落在对角线 BD 上时，连接 CC，如图 1 所示： 将矩形沿 EF 折叠，点 C 的对应点为点
17、C，且点 C恰好落在矩形的对角线上， CCEF， 点 E 为线段 CD 的中点， CEEDEC， CCD90，即 CCBD， EFBD， 点 F 是 BC 的中点， 在矩形 ABCD 中，AD4， BCAD4， CF2， 点 F 运动的距离为 2； 当点 C落在对角线 AC 上时， 作 FHCD 于 H， 则 CCEF， 四边形 CBFH 为矩形， 如图 2 所示： 在矩形 ABCD 中，AB4，AD4，BBCD90，ABCD， BCAD4，tanBAC， BAC30， EFAC， AFE60， FEH60， 四边形 CBFH 为矩形， HFBC4， EH， ECCD2， BFCHCEEH2，
18、 点 F 运动的距离为 4+； 综上所述：点 F 运动的距离为 2 或 4+； 故答案为：2 或 4+ 2解：能； 若 F 为直角顶点，过 F 作 FDx 轴于 D，则 BP6t，DP2OC4， 在 RtOCP 中，OPt1， 由勾股定理易求得 CP2t22t+5，那 么 PF2（2CP）24（t22t+5） ； 在 RtPFB 中，FDPB， 由射影定理可求得 PBPF2PDt22t+5， 而 PB 的另一个表达式为：PB6t， 联立两式可得 t22t+56t，即 t， P 点坐标为（，0） ， 则 F 点坐标为： （，） ； B 为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，PFBCPO，且相
19、似比为 2， 那么 BP2OC4，即 OPOBBP1，此时 t2， P 点坐标为（1，0） FD2（t1）2， 则 F 点坐标为（5，2） 故答案是： （5，2） ， （，） 3解：分别过点 E、A、F、C 作 ENx 轴，AMx 轴，FQx 轴，CSx 轴于点 N，M，Q，S RtOAB，tanAOB2， 2， AB， AO3， OE2AE， EO2， 设 NOx，则 EN2x， 由勾股定理得出：x2+（2x）2（2）2， 解得：x12，x22（不合题意舍去） ， 则 EN4， 故 E 点坐标为： （2，4） ， 则 xyk248， 故双曲线为：y； AO3，AB6， BO15， RtOAB
20、RtBCD，tanAOB2， tanFBQ2， 设 BQy，则 FQ2y， 故 BQ15+y，FQ2y， 则 QOFQ8， 即（15+y）2y8， 解得：y1，y2（不合题意舍去） ， 则 FQ15+， FQCS，CF2BF， ， CS45+3，BS， 则 OS15+， 故 C 点坐标为： 故答案为：y， （，345） 4解：由矩形 ABCD 中，AB4，AD3，可得对角线 ACBD5 依题意画出图形，如右图所示 由轴对称性质可知，PAF+PAE2PAB+2PAD2（PAB+PAD）180， 点 A 在菱形 EFGH 的边 EF 上同理可知，点 B、C、D 均在菱形 EFGH 的边上 APAE
21、AF，点 A 为 EF 中点同理可知，点 C 为 GH 中点 连接 AC，交 BD 于点 O，则有 AFCG，且 AFCG， 四边形 ACGF 为平行四边形， FGAC5，即菱形 EFGH 的边长等于矩形 ABCD 的对角线长 EFFG5， APAEAF，APEF2.5 OAAC2.5， APAO，即APO 为等腰三角形 过点 A 作 ANBD 交 BD 于点 N，则点 N 为 OP 的中点 由 SABDABADACAN，可求得：AN2.4 在 RtAON 中，由勾股定理得：ON0.7， OP2ON1.4； 同理可求得：OQ1.4， PQOP+OQ1.4+1.42.8 故答案为：2.8 5 （
22、1）证明：如图中， CBF 是由CAD 旋转得到， ACDBCF，CDCF， ACBDCF90， DCE90， ECFECD45， CECE， ECDECF（SAS） ， CEDCEF （2）解：如图中，CACB，ACB90， AABC45， ACBF45， EBF90， ADBF6，EB4， EF2， ECDECF， DEDF2 （3）解：结论：DE2AD2+BE2 理由：如图 2 中，连接 EF CBF 是由CAD 旋转得到， ACDBCF，CDCF，ADBF，ACBF45， ACBDCF90， DCE90， ECFECD45， CECE， ECDECF（SAS） ， DEEF， ABC4
23、5，CBF45， ABFEBF90， BF2+BE2EF2， BFAD，EFDE， DE2AD2+BE2 6解： （1）OMN45， OMON， AMON， AMOM， A（4，0） ， OA4， ； （2）如图 1，过点 B 作 BFx 轴于 F，BHy 轴于 H， 则BFMBFOBHN90， HBF360NOMBFOBHN90， MNB 为等腰直角三角形， BMBN，MBN90， FBMHBN， BFMBHN（AAS） ， BFBH，MFNH， 可设点 B 的坐标为（m，m） ， OFOHm， OM+ONOM+AM4， OF+OHOMMF+ON+HNOM+ON 或 OF+OHOM+MF+O
24、NHNOM+ON， 2m4， 解得 m2， 点 B 的坐标为（2，2） ； （3）如备用图， （注：图形 OMBN 是正方形，为了更好的解决问题，图形画的偏差了一些） ， 设 BE 交 MN 于 G，则 BGMN，GBGE， BMBN， GMGN， 设 OMt，则 ONAM4t， 过点 G 作 GDx 轴于 D，GCy 轴于 C，连接 OG， NOM90， ， ， ， B（2，2） ， 同理，得 E（t2，2t） ， 点 E 在 y 轴上， t20， 解得 t2， AM422 7解： （1）BDAC，BDAC， 理由是：延长 BD 交 AC 于 F AEBC， AEBAEC90， 在BED 和
25、AEC 中， ， BEDAEC， BDAC，DBECAE， BED90， EBD+BDE90， BDEADF， ADF+CAE90， AFD1809090， BDAC； （2）不发生变化 理由：BEADEC90， BEA+AEDDEC+AED， BEDAEC， 在BED 和AEC 中， ， BEDAEC， BDAC，BDEACE， DEC90， ACE+EOC90， EOCDOF， BDE+DOF90， DFO1809090， BDAC； （3）如图 3 中，结论：BDAC， 理由是：ABE 和DEC 是等边三角形， AEBE，DEEC，EDCDCE60，BEADEC60， BEA+AEDDE
26、C+AED， BEDAEC， 在BED 和AEC 中， ， BEDAEC， BDAC 能ABE 和DEC 是等边三角形， AEBE，DEEC，EDCDCE60，BEADEC60， BEA+AEDDEC+AED， BEDAEC， 在BED 和AEC 中， ， BEDAEC， BDEACE， DFC180（BDE+EDC+DCF） 180（ACE+EDC+DCF） 180（60+60） 60，即 BD 与 AC 所成的角的度数为 60或 120 8 （1）证明：如图 1，连接 BF， ABCDBE， BCBE， ACBDEB90， 在 RtBCF 和 RtBEF 中， ， RtBCFRtBEF（H
27、L） ， CFEF； （2）如图 2，连接 BF， ABCDBE， BCBE， ACBDEB90， 在 RtBCF 和 RtBEF 中， ， RtBCFRtBEF（HL） ， EFCF， AF+EFAF+CFACDE； （3）如图 3，连接 BF， ABCDBE， BCBE， ACBDEB90， BCF 和BEF 是直角三角形， 在 RtBCF 和 RtBEF 中， ， RtBCFRtBEF（HL） ， CFEF， ACDE， AFAC+FCDE+EF 9解： （1）延长 AD 至 E，使 DEAD，连接 BE，如图所示， AD 是 BC 边上的中线， BDCD， 在BDE 和CDA 中， ，
28、 BDECDA（SAS） ， BEAC6， 在ABE 中，由三角形的三边关系得：ABBEAEAB+BE， 106AE10+6，即 4AE16， 2AD8； 故答案为：2AD8； （2）结论：AB2+AC24AD2 理由：延长 AD 至 E，使 DEAD，连接 BE，如图所示， 由（1）可知：BDECDA， BAAC，ECAD， BAC90， E+BAEBAE+CADBAC90， ABE90， AB2+BE2AE2， AB2+AC24AD2 （3）如图，延长 ND 到 E，使得 DNDE，连接 BE、EM BDDC，BDECDN，DEDN， BDECDN， BECMEBDC， ABC+C90，
29、ABD+DBE90， MDEN，DEDN， MEMN5， 在 RtBEM 中，BE3， CNBE3， AC6， ANNC， BAC90，BDDC， ADDCBD， DNAC， 在 RtAMN 中，AM4， AMBM，DADB， DMAB， AMDANDMAN90， 四边形 AMDN 是矩形， ADMN5 10解： （1）如图中， EAFBAC90， BAFCAE， AFAE，ABAC， BAFCAE， ABFC，BFCE， ABAC，BAC90， ABCC45， FBEABF+ABC90，BCBE+ECBE+BF， 故答案为：BFBE，BC （2）如图中，作 DHAC 交 BC 于 H DHA
30、C， BDHA90，DBH 是等腰直角三角形， 由（1）可知，BFBE，BF+BEBH， ABAC3，AD1， BDDH2， BH2， BF+BEBH2； （3）如图中，作 DHAC 交 BC 的延长线于 H，作 DMBC 于 M ACDH， ACBH，BDHBAC， ABAC， ABCACB DBHH， DBDH， EDFBDH， BDFHDE， DFDE，DBDH， BDFHDE， BFEH， BF+BEEH+BEBH， DBDH，DMBH， BMMH，BDMHDM， BMMHBDsin BF+BEBH2nsin 11解： （） （1）BACDAE90， BACDACDAEDAC，即BAD
31、CAE， 在BAD 和CAE 中， BADCAE（SAS） ； （2）BADCAE BDCE， BCBD+CDEC+CD； （） （1）BADCAE 的结论仍然成立， 理由：将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到 AE， ADE 是等腰直角三角形， AEAD， BAC+CADDAE+CAD， 即BADCAE， 在BAD 与CAE 中， BADCAE（SAS） ； （2）BADCAE， BDCE9， ADC45，EDA45， EDC90， DE6， DAE90， ADAEDE6 12解： （1）如图 1，过 D 作 DMAB 于 M， A，B 两点关于 y 轴对称， CACB， ACB90
32、，AD 是角平分线， CDMD，ABC45， BDM45， BMDM， BMCD， 在 RTADC 和 RTADM 中， RTADCRTADM（HL） ， ACAM， ABAM+BMAC+CD， 即 ABAC+CD； （2）设ACB，则CABCBA90， 在 AB 上截取 AKAC，连结 DK， ABAC+BD， BKBD， AD 是角平分线， 在CAD 和KAD 中， CADKAD（SAS） ， ACDAKD， BKD180， BKBD， BDK180， 在BDK 中， 180+180+90180， 108， ACB108； （3）如图 2，在 AB 上截取 AHAD，连接 DH， ACB1
33、00，ACBC， CABCBA40， AD 是角平分线， HADCAD20， ADHAHD80， 在 AB 上截取 AKAC，连接 DK， 由（1）得，CADKAD， ACBAKD100，CDDK， DKH80DHK， DKDHCD， CBA40， BDH40， DHBH， BHCD， ABAH+BH， ABAD+CD 13解： （1）如图 1 中，过点 D 作 DHx 轴于 H B（4，0） ，C（4，0） ， OBOC4， ABC 是等边三角形， ABACBC8，ACO60， AOC90， OAC30， AC2OC8， OA4， A（0，4） ， 将AOC 沿 AC 翻折得到ACD， AC
34、DACO60，CDCO4， DCH180606060， DHCH， DHC90， CDH30， CHCD2， DH2，OHOC+CH6， D（6，2） 故答案为： （0，4） ， （6，2） （2）如图 2 中， P，Q 关于 AC 对称，点 P 在线段 OA 上， 点 Q 在线段 AD 上，作点 C 关于直线 AD 的对称点 C，连接 BC交 AD 于 Q，连接 CQ，此时 BCQ的周长最小， C（4，0） ，D（6，2） ，CDDC， C（8，4） ， B（4，0） ， BC8， BCQ的周长BC+CQ+BQBC+CQ+BQBC+BC8+8， BCQ 的周长的最小值为 8+8 （3）存在如
35、图 3 中，设 BD 交 y 轴于 F，E（0，m） 由题意，BAC60，CADCAO30， BAD90， AB8，AD4， SABDABADAF （xDxB） ， AF， OF4， 当 EBED 时，42+m262+（m2）2， 解得 m， E（0，） ， SEBD（）10 当 BDBE时，m2+42102+（2）2， 解得 m4或4（舍弃） ， E（0，4） ， SBDE（4）10204 当 DBDE时，62+（m2）2102+（2）2， 解得 m2+2或2+2（舍弃） ， E（0，2+2） ， SBDE（2+2）1010+6， 综上所述，BDE 的面积为或 204或 10+6 14解：
36、（1）如图 1， ABAC，BAC36， ABCC72， BE 为ABC 的完美分割线，且 CEAE， ABE 与BCE 均为等腰三角形， BECC72， AEB108 故答案为：72，108； （2）如图 2，ABAC，BAC108， BC（180BAC）36， ACCD， CADCDA（180C）72， DAB36， BADB， DADB， ABD、ACD 均为等腰三角形， AD 为ABC 的完美分割线； （3）AD 是ABC 的一条完美分割线， ADCD，ABBD， CCAD，BADBDA， C+CAD+ADC180，ADC+BDA180， BDAC+CAD2CAD， BAD2CAD，
37、CADC1AD， BAD2C1AD， BADC1AD+BAE， C1ADBAE， ACAB， CB， CC1， C1B， ACAC1， AC1AB， AC1DABE（ASA） ， DC1BE 15解： （1）ABC 为等边三角形， BAC60， O 为 BC 中点， ， 且 AOBC，AOC90， OAOD， AOD 中，DCAO30， AOD180DCAO120， CODAODAOC30； （2）如图 1，过 O 作 OEAB，OE 交 AD 于 E， OEAB EOCABC60CEOCAB60， COE 为等边三角形， OEOCCEAEO180CEO120DCO180ACB120， 又OA
38、OD， EAOCDO， 在AOE 和COD 中， ， AOEDOC（AAS） ， CDEA， EAACCE，BOBCCO， EABO， BOCD， 又ADAC+CD，ABBC， ADAB+BOBC+BOBO+CO+BO2BO+CO； （3）AOP 为等边三角形 证明：如图 2，连接 PC，PD，延长 OC 交 PD 于 F， P、D 关于 OC 对称， PFDF，PFODFO90， 在OPE 与OPF 中， ， OPEOPF（SAS） ， POFDOF，OPOD， AOP 为等腰三角形， 过 O 作 OEAB，OE 交 AD 于 E， 由（2）得AOEDOCAOEDOC， AOEPOF， AO
39、E+POEPOF+POE， 即AOPCOE60， AOP 是等边三角形 16证明： （1）如图 1，连接 OA， ABAC，BAC90，OBOC， AOBC，OAOBOC，ABOACOBAOCAO45， MONAOC90， AOMCON，且 AOCO，BAOACO45， AOMCON（ASA） AMCN； （2）证明：如图 2，在 BA 上截取 BGAN，连接 GO，AO， ABAC，BAC90，OBOC， AOBC，OAOBOC，ABOACOBAOCAO45， BGAN，ABONAO45，AOBO， BGOAON（SAS） ， OGON，BOGAON， MON45AOM+AON， AOM+B
40、OG45， AOB90， MOGMON45， MOMO，GONO， GMONMO（SAS） ， GMMN， BMBG+GMAN+MN； （3）MNAN+BM， 理由如下：如图 3，过点 O 作 OGON，连接 AO， ABAC，BAC90，OBOC， AOBC，OAOBOC，ABOACOBAOCAO45， GBONAO135， MOGO， NOG90AOB， BOGAON，且 AOBO，NAOGBO， NAOGBO（ASA） ， ANGB，GOON， MOMO，MONGOM45，GONO， MONMOG（SAS） ， MNMG， MGMB+BG， MNAN+BM 17 （1）证明：ADEB+B
41、ED， ADEB； （2）证明：由折叠知，BFCF， 在ACF 中，AF+FCAC， AF+BFAC， ABAC； （3）由折叠知，MAEEAC，ADEC， C2B， ADE2B， ADEB+BED， BBED， MEAC， MEAEAC， MAEEAC， MAEMEA， BEA110， B+BAE180BEA18011070， BED+MEAB+BAM70， DEMBEA（BED+MEA）1107040 18解： （1）结论：FGBF+DG 理由如下： 如图 1 中，在正方形 ABCD 中，ABAD，BADADCB90， 把ABF 绕点 A 逆时针旋转 90得到ADE， ADGADE90，
42、点 G、D、E 共线， EAG904545FAG， 在AGF 和AGE 中， ， AGFAGE（SAS） ， FGGEDE+DGBF+DG （2）BE、CF、EF 之间的数量关系为：EF2BE2+FC2 证明如下： BAC90，ABAC， 将ABE 绕点 A 顺时针旋转 90得ACG，连 FG，如图 2， AGAE，CGBE，ACGB，EAG90， FCGACB+ACGACB+B90， FG2FC2+CG2BE2+FC2； 又EAF45，而EAG90， GAF904545， 而 AGAE，AF 公共， AGFAEF（SAS） ， FGEF， EF2BE2+FC2 如图 3，将AEB 沿直线 A
43、E 折叠，得AED，连 DF， ADEABE， ADAB，DEEB，DAEBAE，ADEABE45， 又ABAC， ADAC， DAEDAF+EAFDAF+45， BAEBACEAC90（EAFFAC）45+FAC， DAFFAC， 在AFD 和AFC 中， ， ADFACF（SAS） ， FCDF，ADFACFBAC+B135， EDFADFADE1354590， 在 RtEDF 中，DE2+FD2EF2， 即 EF2BE2+FC2 （3）证明：如图 4，将AEG 沿 AE 折叠得到AEB，将AFG 沿 AF 折叠得到AFD，延长 BE 和 DF 相交于点 C ADAGAB，DAGF90，B
44、AGE90，DAFGAF，BAEGAE， EAF45FAG+GAE， DAF+BAE45， DAB45+4590， 即BDDAB90，ADAB， 四边形 ABCD 是正方形 由折叠知，RtABERtAGE，RtADFRtAGF， BEEG3，DFFG2， EF5， 设 AGx，则 ABBCCDAGx，CECBBEx3，CFx2 CE2+CF2EF2， （x3）2+（x2）252 解得 x16，x21（舍去） AG6 AEF 的面积EFAG5615 故答案为：15 19解： （1）如图 1 中，连接 BE，CF ABAC6，BAC90，ADBC 于点 D， BCAB12，BDCD6，BADCAD
45、30， ADBDDC6， AEF 是等腰直角三角形， AEAF DAHFAH45， EHHF， AE：DE2：1， AE4，DE2， BE2， ABAC，AEAF，BACEAF90， BAECAF， BAECAF（SAS） ， CFBE2， EGCG，EHFH， GHCF （2）结论：DGH90是定值 理由：连接 BE，CF，设 CF 交 BE 于点 O，BE 交 AC 于 J同法可证BAECAF（SAS） ， ABEACF， AJBCJO， COJBAJ90， CFBE， EHEH，EGGC， GHCF， CDDB，CGGE， DGBE， DGGH， DGH90 （3）如图 3 中，取 AC
46、 的中点 J，连接 BJ，JG 由题意 AJJC3，AB6， BAJ90， BJ3， AJJC，EGCG， JGAE3， BGBJ+JG， BG3+2， BG 的最大值为 3+2 20解： （1）设 C（0，m） ， A（6，0） ，B（0，8） ， OA6，OB8， 由翻折的性质可知，CDAAOC90，OCCDm， SAOBSAOC+SACB， OAOBOCOA+ABCD， 686m+10m， m3， C（0，3） （2）如图 2 中， 由翻折的性质可知，OAAD6，CDOC3， AB10， BDABAD1064， BD：AB4：102：5， SBODSAOB68， OC：OB3：8， SCDOSBOD， OHCD， 3OH， OH （3）如图 3 中，设 P（m，n） SPOA12， 6n12， n4， 当点 P 在线段 AB 上时，PAPB5，此时 P（3.4） ， PDADPA651， CD+PD3+14， t4（s） 当点 P在线段 CD 上时，CPt，则有 S四边形AOCDSADPSPOCSPOA， 2366（3t）t12， t（s） 综上所述，满足条件的 t 的值为 4s 或s
