1、 例 1： 数列 n a中， 1 2a ， m nmn aa a ， 若 1 55 121 0 22 kkk aaa ， 则k （ ） A2 B3 C4 D5 例 2：已知数列 n a， n b， n c满足 111 1abc， 1nnn caa ， 1 2 n nn n b cc b ， * ()nN （1）若数列 n b为等比数列，公比0q ，且 123 6bbb，求q的值及数列 n a的通项公 式； （2）若数列 n b为等差数列，公差0d ，证明： * 123 1 1, n ccccn d N 2、裂项相消法 1、公式法 数列求数列求和和 例 3：设 n a是公比不为1的等比数列， 1
2、 a为 2 a， 3 a的等差中项 （1）求 n a的公比； （2）若 1 1a ，求数列 n na的前n项和 例 4：已知等差数列 n a中， 354 7aaa， 10 19a，则数列cos n an的前2018项 和为（ ） A1008 B1009 C2017 D2018 一、选择题 1已知数列 n a满足 1 (3)(3)9 nn aa ，且，则数列 1 n a 的前 6 项和 6 S （ ） 3、错位相减法 4、并项求和法 A6 B7 C8 D9 2在等比数列 n a中，已知 1 3a ，96 n a ，189 n S ，则n的值为（ ） A4 B5 C6 D7 3数列 n a， n
3、b都是等差数列， 1 5a ， 1 7b ，且 3 03 0 60ab，则 nn ab的前30 项的和为（ ） A1000 B1020 C1040 D1080 4数列 n a的通项公式为 cos 2 n n a ，n * N，其前n项和为 n S，则 2016 S（ ） A1008 B1008 C1 D0 5已知 n S为数列 n a的前n项和，且21 nn Sa，则数列 n na的前10项和为（ ） A 10 9 21 B 10 9 21 C 11 9 21 D 11 9 21 6在递减的等差数列 n a中， 2 132 4a aa， 1 13a ，则数列 1 1 nn a a 的前n项和的
4、最 大值为（ ） A 24 143 B 1 143 C 24 13 D 6 13 二、填空题 7设 n a是公差为d的等差数列， n b是公比为q的等比数列，已知 nn ab的前n项和 2* 21() n n SnnnN，则dq的值是_ 8等差数列 n a的前n项和为 n S， 3 3a ， 4 10S ，则 1 1 n k k S 9已知函数 3 ( ) 31 x x f x ，()xR，正项等比数列 n a满足 50 1(1)aq，则 1299 (ln)(ln)(ln)fafafa等于 三、解答题 10已知公比大于1的等比数列 n a满足 24 20aa， 3 8a （1）求 n a的通项
5、公式； （2）记 m b为 n a在区间 * (0,()m mN中的项的个数，求数列 m b的前100项和 100 S 11设数列 n a满足 1 3a ， 1 34 nn aan （1）计算 23 ,a a猜想的通项公式并加以证明； （2）求数列2 n n a的前n项和 n S 12 已知 n a为等差数列， n b为等比数列， 11 1ab， 543 5aaa， 543 4bbb （1）求 n a和 n b的通项公式； （2）记 n a的前n项和为 n S，求证： 2* 21nnn S SSn N； （3）对任意的正整数n，设 2 1 1 32 , , nn nn n n n ab n a
6、 a c a n b 为奇数 为偶数 ，求数列 n c的前2n项和 13已知数列 * () n anN的首项 1 1a ，前n项和为 n S设与k是常数若对一切正整 数n，均有 111 11 kkk nnn SSa 成立，则称此数列为“k”数列 （1）若等差数列是“1”数列，求的值； （2）若数列 n a是“ 3 2 3 ”数列，且0 n a ，求数列 n a的通项公式； （3）对于给定的，是否存在三个不同的数列 n a为“ 3”数列，且 0 n a ？若存在， 求出的取值范围；若不存在，说明理由 例 1：【答案】C 【答案】取1m，则 11nn aa a ， 又 1 2a ，所以 1 2 n
7、 n a a ， 所以 n a是首项为2，公比为2的等比数列，则2n n a ， 所以 110 111155 1210 2(1 2 ) 2222 12 k kk kkk aaa ，得4k 例 2：【答案】（1） 1 2 q ， 1 42 3 n n a ；（2）证明见解析 【答案】（1）由 123 6bbb，得 2 16qq，解得 1 2 q ， 由 1 4 nn cc ，得 1 4n n c 由 1 1 4n nn aa ，得 1 2 1 42 1 44 3 n n n aa （2）由 1 2 n nn n b cc b ，得 1 2 1 11 111 () n nnnn bb cd c b
8、 bdbb ， 所以 123 1 11 (1) n n d cccc db ， 由 1 1b ，0d ，得 1 0 n b ，因此 123 1 1 n cccc d ， * nN 例 3：【答案】（1）2q ；（2） 111 () ( 2) 399 n n 【答案】（1）设等比数列 n a的公比为(0)q q ， 123 2aaa， 2 111 2aa qa q， 又 1 0a ，故 2 20qq，解得 2q 或1q （舍） （2）由 1 1a ，可得 11 1 ( 2) nn n aa q ， 设数列 n na的前n项和为 n S， 则 011 1 ( 2)2 ( 2)( 2)n n Sn
9、12 21 ( 2)2 ( 2)( 2)n n Sn -，得 0121 3( 2)( 2)( 2)( 2)( 2) nn n Sn ( 2)111 ( 2)() ( 2) 2 133 n nn nn ， 111 () ( 2) 399 n n Sn 例 4：【答案】D 【答案】由题 11 1 2637 919 adad ad ，解得 1 1 2 a d ，21 n an， 设cos nn ban，则 1212 coscos22bbaa， 3434 cos3cos42bbaa， 数列cos n an的前2018项和为 123420172018 ()()() n Sbbbbbb 2018 2201
10、8 2 一、选择题 1【答案】B 【答案】因为 1 (3)(3)9 nn aa ，所以 11 33 nnnn aaaa ， 两边同时除以 1 3 nn aa ，得 1 111 3 nn aa ， 又 1 3a ，所以数列 1 n a 是以 1 3 为首项， 1 3 为公差的等差数列，所以 1 3 n n a ， 从而 1 11 () (1) 26 n n n aan n S ， 6 7S ，故选 B 2【答案】C 【答案】由 1 1 n n aa q ，得 1 963 n q ， 15 322 n q 取6n，2q ，这时 6 6 3(21) 189 2 1 S ，适合题意 3【答案】D 【答
11、案】 nn ab的前30项的和 3011223030 ()()()Sababab 1233012330 ()()aaaabbbb 130130 130130 30()30() 15()1080 22 aabb aabb 4【答案】D 【答案】 cos 2 n n a 的周期 2 4 2 T ， 1234 0( 1) 1 00aaaa ， 20161234 504 ()0Saaaa，故选 D 5【答案】B 【答案】由21 nn Sa，得 1 1a 当2n时， 11 2() nnnnn aSSaa ， 1 2 nn aa 数列 n a是首项为1，公比为2的等比数列， 1 2n n a 数列 n n
12、a的前10项和为 029 1 22 23 210 2T ， 2310 21 22 23 210 2T -，得 10 29101010 1 2 1 22210 210 29 21 1 2 T ， 故 10 9 21T 6【答案】D 【答案】设等差数列 n a的公差为d，则0d ， 因为 2 132 4a aa， 1 13a ， 所以 2 13(132 )(13)4dd，解得2d 或2d (舍去)， 所以 1 (1)132(1)152 n aandnn， 当1520 n an时，7.5n，所以当7n时，0 n a 因为 1 11 (152 )(132 ) nn a ann 111 () 22152
13、13nn ， 所以数列 1 1 nn a a 的前n项和 111111111 ()() 21311119215213213213 n S nnn ， 当6n时， n S取得最大值，最大值为 116 (1) 21313 二、填空题 7【答案】4 【答案】因为 nn ab的前n项和 2* 21() n n SnnnN， 当1n 时， 11 1ab， 当2n时， 1 1 222n nnnn abSSn ， 所以当2n时，22 n an， 1 2n n b ，且当1n 时， 11 0 1 1ab 成立， 故 21 2daa， 2 1 2 b q b ，4dq 8【答案】 2 1 n n 【答案】设等差
14、数列的首项为 1 a，公差为d，所以 1 1 23 4 3 410 2 ad ad ，解得 1 1 1 a d ， 所以 1 , 2 nn nn an S ，那么 1211 2 11 n Sn nnn ， 那么 1 11111112 21.2 1 223111 n k k n Snnnn 9【答案】 99 2 【答案】因为 3 ( ) 31 x x f x ，所以 33 ( )()1 3131 xx xx f xfx 因为数列 n a是等比数列，所以 2 199298495150 1a aa aa aa， 即 1992984951 lnlnlnlnlnln0aaaaaa 199298991 (
15、ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)1fafafafafafa， 设 9912399 (ln)(ln)(ln)(ln)Sfafafafa， 又 999998971 (ln)(ln)(ln)(ln)Sfafafafa， ，得 99 299S，所以 99 99 2 S 三、解答题 10【答案】（1）2n n a ；（2）480 【答案】（1）设公比为q， 3 3 20 a a q q ， 3 8a ，解得2q 或 1 2 q （舍）， 3 3 2 nn n aa q （2）由（1）可得2n n a ， 1 2a ， 2 4a ， 6 64a ， 7 128a ， 当2m时，0 m b ；
16、当4 2m时， 1 m b ； 当84m时，2 m b ；当16 8m时， 3 m b ； 当3216m时，4 m b ；当64 32m时， 5 m b ； 当10064m时，6 m b 10012100 02 1 4 28 3 16 432 537 6480Sbbb 11 【答案】 （1） 2 5a ， 3 7a ，21 n an， 证明见解析； （2） 1 (21) 22 n n Sn 【答案】（1）由 1 3a ， 1 34 nn aan ， 21 345aa 32 34 27aa ， 猜想 n a的通项公式为21 n an 利用数学归纳法证明： （i）当1,2,3n 时，显然成立； （
17、ii）假设()nk k N时猜想成立，即21 k ak， 则1nk时， 1 343(21)42(1) 1 kk aakkkk ， 所以1nk时猜想也成立， 综上（i）（ii），所以21 n an （2）令2(21) 2 nn nn ban， 则 12 12 3 25 2(21) 2n nn Sbbbn ， 231 23 25 2(21)2(21) 2 nn n Snn ， 由，得 31 211 2 (1 2) 3 22 22 2(21) 26(21) 2 1 2 n nnn n Snn ， 化简得 1 (21) 22 n n Sn 12【答案】（1） n an， 1 2n n b ；（2）证明
18、见解析；（3） 4654 219 49 n n n n 【答案】（1）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q 由 1 1a ， 543 5aaa，可得1d ， 从而 n a的通项公式为 n an 由 1 1b ， 543 4bbb， 又0q ，可得 2 440qq，解得2q ， 从而 n b的通项公式为 1 2n n b （2）证明：由（1）可得 (1) 2 n n n S ， 故 2 1 (1)(2)(3) 4 nn S Sn nnn ， 22 2 1 1 12 4 n Snn ， 从而 2 21 1 (1)(2)0 2 nnn S SSnn ， 所以 2 21nnn S
19、SS （3）当n奇数时， 111 2 32(32)222 (2)2 nnn nn n nn abn c a an nnn ， 当n为偶数时， 1 1 1 2 n n n n an c b ， 对任意的正整数n，有 2222 21 11 222 1 212121 kkn nn k kk c kkn ， 和 2 231 11 211352321 444444 nn k knn kk knn c 由得 2 2314 1 11352321 444444 n k nn k nn c 由得 2 211 1 21 1 31222112144 1 4444444 1 4 nn k nnn k nn c ， 由
20、于 11 21 1 121221121156544 1 44334444123 4 1 4 n nnnn nnn ， 从而得 2 1 565 99 4 n k n k n c 因此， 2 212 111 4654 219 49 n nnn kkk n kkk n ccc n 所以，数列 n c的前2n项和为 4654 219 49 n n n n 13【答案】（1）1；（2） 2 1,1 3 4,2 n n n a n ；（3）存在，01 【答案】（1）1k 时， 111nnnn aSSa ，所以 1 （2） 11 3 3 nnn SSa ， 1111 3 () 3 nnnnnn aSSaSS
21、 ， 因此 11 3 nnn SSa 11 2 3 3 nn Sa ， 111 44 () 33 nnnn SaSS ，从而 1 4 nn SS 又 11 1Sa， 1 4n n S ， 2 1 3 4n nnn aSS ，2n 综上， 2 1,1 3 4,2 n n n a n （3）若存在三个不同的数列 n a为“ 3”数列，则 111 333 11nnn SSa ， 则 2112 33 3333 11111 33() nnnnnnnnn SSSSSSaSS ， 由 1 1a ，0 n a ，则0 n S ， 令 1 13 ()0 n n n S p S ，则 3323 (1)33(1)0
22、 nnn ppp， 1时， 2 nn pp，由0 n p ，可得1 n p ，则 1nn SS ，即 1 0 n a ， 此时 n a唯一，不存在三个不同的数列 n a； 1时，令 3 3 1 t ，则 32 10 nnn ptptp ，则 2 (1)(1)10 nnn ppt p， 1t 时， 2 (1)10 nn pt p ，则1 n p 同理不存在三个不同的数列 n a； 13t 时， 2 (1)40t， 2 (1)10 nn pt p 无解，则1 n p ，同理不存在三 个不同的数列 n a； 3t 时， 3 (1)0 n p ，则1 n p ，同理不存在三个不同的数列 n a； 3t ，即01时， 2 (1)40t， 2 (1)10 nn pt p 有两解， 设，12t ，10 ，则01 ， 则对任意 * nN， 1 1 n n S S 或 3 1n n S S 或 3 1n n S S ； 此时1 n S ， 3 1,1 ,2 n n S n ， 3 1,1,2 ,3 n n S n 均符合条件， 对应 1,1 0,2 n n a n ， 3 1,1 1,2 0,3 n n an n ， 3 1,1 0,2 1,3 0,4 n n n a n n ， 则存在三个不同的数列 n a为“ 3”数列，且 0 n a ， 综上，01
