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2021届高三数学精准培优专练 数列求和(理) 含答案

1、 例 1: 数列 n a中, 1 2a , m nmn aa a , 若 1 55 121 0 22 kkk aaa , 则k ( ) A2 B3 C4 D5 例 2:已知数列 n a, n b, n c满足 111 1abc, 1nnn caa , 1 2 n nn n b cc b , * ()nN (1)若数列 n b为等比数列,公比0q ,且 123 6bbb,求q的值及数列 n a的通项公 式; (2)若数列 n b为等差数列,公差0d ,证明: * 123 1 1, n ccccn d N 2、裂项相消法 1、公式法 数列求数列求和和 例 3:设 n a是公比不为1的等比数列, 1

2、 a为 2 a, 3 a的等差中项 (1)求 n a的公比; (2)若 1 1a ,求数列 n na的前n项和 例 4:已知等差数列 n a中, 354 7aaa, 10 19a,则数列cos n an的前2018项 和为( ) A1008 B1009 C2017 D2018 一、选择题 1已知数列 n a满足 1 (3)(3)9 nn aa ,且,则数列 1 n a 的前 6 项和 6 S ( ) 3、错位相减法 4、并项求和法 A6 B7 C8 D9 2在等比数列 n a中,已知 1 3a ,96 n a ,189 n S ,则n的值为( ) A4 B5 C6 D7 3数列 n a, n

3、b都是等差数列, 1 5a , 1 7b ,且 3 03 0 60ab,则 nn ab的前30 项的和为( ) A1000 B1020 C1040 D1080 4数列 n a的通项公式为 cos 2 n n a ,n * N,其前n项和为 n S,则 2016 S( ) A1008 B1008 C1 D0 5已知 n S为数列 n a的前n项和,且21 nn Sa,则数列 n na的前10项和为( ) A 10 9 21 B 10 9 21 C 11 9 21 D 11 9 21 6在递减的等差数列 n a中, 2 132 4a aa, 1 13a ,则数列 1 1 nn a a 的前n项和的

4、最 大值为( ) A 24 143 B 1 143 C 24 13 D 6 13 二、填空题 7设 n a是公差为d的等差数列, n b是公比为q的等比数列,已知 nn ab的前n项和 2* 21() n n SnnnN,则dq的值是_ 8等差数列 n a的前n项和为 n S, 3 3a , 4 10S ,则 1 1 n k k S 9已知函数 3 ( ) 31 x x f x ,()xR,正项等比数列 n a满足 50 1(1)aq,则 1299 (ln)(ln)(ln)fafafa等于 三、解答题 10已知公比大于1的等比数列 n a满足 24 20aa, 3 8a (1)求 n a的通项

5、公式; (2)记 m b为 n a在区间 * (0,()m mN中的项的个数,求数列 m b的前100项和 100 S 11设数列 n a满足 1 3a , 1 34 nn aan (1)计算 23 ,a a猜想的通项公式并加以证明; (2)求数列2 n n a的前n项和 n S 12 已知 n a为等差数列, n b为等比数列, 11 1ab, 543 5aaa, 543 4bbb (1)求 n a和 n b的通项公式; (2)记 n a的前n项和为 n S,求证: 2* 21nnn S SSn N; (3)对任意的正整数n,设 2 1 1 32 , , nn nn n n n ab n a

6、 a c a n b 为奇数 为偶数 ,求数列 n c的前2n项和 13已知数列 * () n anN的首项 1 1a ,前n项和为 n S设与k是常数若对一切正整 数n,均有 111 11 kkk nnn SSa 成立,则称此数列为“k”数列 (1)若等差数列是“1”数列,求的值; (2)若数列 n a是“ 3 2 3 ”数列,且0 n a ,求数列 n a的通项公式; (3)对于给定的,是否存在三个不同的数列 n a为“ 3”数列,且 0 n a ?若存在, 求出的取值范围;若不存在,说明理由 例 1:【答案】C 【答案】取1m,则 11nn aa a , 又 1 2a ,所以 1 2 n

7、 n a a , 所以 n a是首项为2,公比为2的等比数列,则2n n a , 所以 110 111155 1210 2(1 2 ) 2222 12 k kk kkk aaa ,得4k 例 2:【答案】(1) 1 2 q , 1 42 3 n n a ;(2)证明见解析 【答案】(1)由 123 6bbb,得 2 16qq,解得 1 2 q , 由 1 4 nn cc ,得 1 4n n c 由 1 1 4n nn aa ,得 1 2 1 42 1 44 3 n n n aa (2)由 1 2 n nn n b cc b ,得 1 2 1 11 111 () n nnnn bb cd c b

8、 bdbb , 所以 123 1 11 (1) n n d cccc db , 由 1 1b ,0d ,得 1 0 n b ,因此 123 1 1 n cccc d , * nN 例 3:【答案】(1)2q ;(2) 111 () ( 2) 399 n n 【答案】(1)设等比数列 n a的公比为(0)q q , 123 2aaa, 2 111 2aa qa q, 又 1 0a ,故 2 20qq,解得 2q 或1q (舍) (2)由 1 1a ,可得 11 1 ( 2) nn n aa q , 设数列 n na的前n项和为 n S, 则 011 1 ( 2)2 ( 2)( 2)n n Sn

9、12 21 ( 2)2 ( 2)( 2)n n Sn -,得 0121 3( 2)( 2)( 2)( 2)( 2) nn n Sn ( 2)111 ( 2)() ( 2) 2 133 n nn nn , 111 () ( 2) 399 n n Sn 例 4:【答案】D 【答案】由题 11 1 2637 919 adad ad ,解得 1 1 2 a d ,21 n an, 设cos nn ban,则 1212 coscos22bbaa, 3434 cos3cos42bbaa, 数列cos n an的前2018项和为 123420172018 ()()() n Sbbbbbb 2018 2201

10、8 2 一、选择题 1【答案】B 【答案】因为 1 (3)(3)9 nn aa ,所以 11 33 nnnn aaaa , 两边同时除以 1 3 nn aa ,得 1 111 3 nn aa , 又 1 3a ,所以数列 1 n a 是以 1 3 为首项, 1 3 为公差的等差数列,所以 1 3 n n a , 从而 1 11 () (1) 26 n n n aan n S , 6 7S ,故选 B 2【答案】C 【答案】由 1 1 n n aa q ,得 1 963 n q , 15 322 n q 取6n,2q ,这时 6 6 3(21) 189 2 1 S ,适合题意 3【答案】D 【答

11、案】 nn ab的前30项的和 3011223030 ()()()Sababab 1233012330 ()()aaaabbbb 130130 130130 30()30() 15()1080 22 aabb aabb 4【答案】D 【答案】 cos 2 n n a 的周期 2 4 2 T , 1234 0( 1) 1 00aaaa , 20161234 504 ()0Saaaa,故选 D 5【答案】B 【答案】由21 nn Sa,得 1 1a 当2n时, 11 2() nnnnn aSSaa , 1 2 nn aa 数列 n a是首项为1,公比为2的等比数列, 1 2n n a 数列 n n

12、a的前10项和为 029 1 22 23 210 2T , 2310 21 22 23 210 2T -,得 10 29101010 1 2 1 22210 210 29 21 1 2 T , 故 10 9 21T 6【答案】D 【答案】设等差数列 n a的公差为d,则0d , 因为 2 132 4a aa, 1 13a , 所以 2 13(132 )(13)4dd,解得2d 或2d (舍去), 所以 1 (1)132(1)152 n aandnn, 当1520 n an时,7.5n,所以当7n时,0 n a 因为 1 11 (152 )(132 ) nn a ann 111 () 22152

13、13nn , 所以数列 1 1 nn a a 的前n项和 111111111 ()() 21311119215213213213 n S nnn , 当6n时, n S取得最大值,最大值为 116 (1) 21313 二、填空题 7【答案】4 【答案】因为 nn ab的前n项和 2* 21() n n SnnnN, 当1n 时, 11 1ab, 当2n时, 1 1 222n nnnn abSSn , 所以当2n时,22 n an, 1 2n n b ,且当1n 时, 11 0 1 1ab 成立, 故 21 2daa, 2 1 2 b q b ,4dq 8【答案】 2 1 n n 【答案】设等差

14、数列的首项为 1 a,公差为d,所以 1 1 23 4 3 410 2 ad ad ,解得 1 1 1 a d , 所以 1 , 2 nn nn an S ,那么 1211 2 11 n Sn nnn , 那么 1 11111112 21.2 1 223111 n k k n Snnnn 9【答案】 99 2 【答案】因为 3 ( ) 31 x x f x ,所以 33 ( )()1 3131 xx xx f xfx 因为数列 n a是等比数列,所以 2 199298495150 1a aa aa aa, 即 1992984951 lnlnlnlnlnln0aaaaaa 199298991 (

15、ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)1fafafafafafa, 设 9912399 (ln)(ln)(ln)(ln)Sfafafafa, 又 999998971 (ln)(ln)(ln)(ln)Sfafafafa, ,得 99 299S,所以 99 99 2 S 三、解答题 10【答案】(1)2n n a ;(2)480 【答案】(1)设公比为q, 3 3 20 a a q q , 3 8a ,解得2q 或 1 2 q (舍), 3 3 2 nn n aa q (2)由(1)可得2n n a , 1 2a , 2 4a , 6 64a , 7 128a , 当2m时,0 m b ;

16、当4 2m时, 1 m b ; 当84m时,2 m b ;当16 8m时, 3 m b ; 当3216m时,4 m b ;当64 32m时, 5 m b ; 当10064m时,6 m b 10012100 02 1 4 28 3 16 432 537 6480Sbbb 11 【答案】 (1) 2 5a , 3 7a ,21 n an, 证明见解析; (2) 1 (21) 22 n n Sn 【答案】(1)由 1 3a , 1 34 nn aan , 21 345aa 32 34 27aa , 猜想 n a的通项公式为21 n an 利用数学归纳法证明: (i)当1,2,3n 时,显然成立; (

17、ii)假设()nk k N时猜想成立,即21 k ak, 则1nk时, 1 343(21)42(1) 1 kk aakkkk , 所以1nk时猜想也成立, 综上(i)(ii),所以21 n an (2)令2(21) 2 nn nn ban, 则 12 12 3 25 2(21) 2n nn Sbbbn , 231 23 25 2(21)2(21) 2 nn n Snn , 由,得 31 211 2 (1 2) 3 22 22 2(21) 26(21) 2 1 2 n nnn n Snn , 化简得 1 (21) 22 n n Sn 12【答案】(1) n an, 1 2n n b ;(2)证明

18、见解析;(3) 4654 219 49 n n n n 【答案】(1)设等差数列 n a的公差为d,等比数列 n b的公比为q 由 1 1a , 543 5aaa,可得1d , 从而 n a的通项公式为 n an 由 1 1b , 543 4bbb, 又0q ,可得 2 440qq,解得2q , 从而 n b的通项公式为 1 2n n b (2)证明:由(1)可得 (1) 2 n n n S , 故 2 1 (1)(2)(3) 4 nn S Sn nnn , 22 2 1 1 12 4 n Snn , 从而 2 21 1 (1)(2)0 2 nnn S SSnn , 所以 2 21nnn S

19、SS (3)当n奇数时, 111 2 32(32)222 (2)2 nnn nn n nn abn c a an nnn , 当n为偶数时, 1 1 1 2 n n n n an c b , 对任意的正整数n,有 2222 21 11 222 1 212121 kkn nn k kk c kkn , 和 2 231 11 211352321 444444 nn k knn kk knn c 由得 2 2314 1 11352321 444444 n k nn k nn c 由得 2 211 1 21 1 31222112144 1 4444444 1 4 nn k nnn k nn c , 由

20、于 11 21 1 121221121156544 1 44334444123 4 1 4 n nnnn nnn , 从而得 2 1 565 99 4 n k n k n c 因此, 2 212 111 4654 219 49 n nnn kkk n kkk n ccc n 所以,数列 n c的前2n项和为 4654 219 49 n n n n 13【答案】(1)1;(2) 2 1,1 3 4,2 n n n a n ;(3)存在,01 【答案】(1)1k 时, 111nnnn aSSa ,所以 1 (2) 11 3 3 nnn SSa , 1111 3 () 3 nnnnnn aSSaSS

21、 , 因此 11 3 nnn SSa 11 2 3 3 nn Sa , 111 44 () 33 nnnn SaSS ,从而 1 4 nn SS 又 11 1Sa, 1 4n n S , 2 1 3 4n nnn aSS ,2n 综上, 2 1,1 3 4,2 n n n a n (3)若存在三个不同的数列 n a为“ 3”数列,则 111 333 11nnn SSa , 则 2112 33 3333 11111 33() nnnnnnnnn SSSSSSaSS , 由 1 1a ,0 n a ,则0 n S , 令 1 13 ()0 n n n S p S ,则 3323 (1)33(1)0

22、 nnn ppp, 1时, 2 nn pp,由0 n p ,可得1 n p ,则 1nn SS ,即 1 0 n a , 此时 n a唯一,不存在三个不同的数列 n a; 1时,令 3 3 1 t ,则 32 10 nnn ptptp ,则 2 (1)(1)10 nnn ppt p, 1t 时, 2 (1)10 nn pt p ,则1 n p 同理不存在三个不同的数列 n a; 13t 时, 2 (1)40t, 2 (1)10 nn pt p 无解,则1 n p ,同理不存在三 个不同的数列 n a; 3t 时, 3 (1)0 n p ,则1 n p ,同理不存在三个不同的数列 n a; 3t ,即01时, 2 (1)40t, 2 (1)10 nn pt p 有两解, 设,12t ,10 ,则01 , 则对任意 * nN, 1 1 n n S S 或 3 1n n S S 或 3 1n n S S ; 此时1 n S , 3 1,1 ,2 n n S n , 3 1,1,2 ,3 n n S n 均符合条件, 对应 1,1 0,2 n n a n , 3 1,1 1,2 0,3 n n an n , 3 1,1 0,2 1,3 0,4 n n n a n n , 则存在三个不同的数列 n a为“ 3”数列,且 0 n a , 综上,01