1、 例 1：（1）函数 2 2 log (6)f xxx 的单调减区间是 ； （2）函数 1 1 1 y x 的单调递减区间为 例 2：函数12yxx的最大值为_ 例 3：（1）已知定义域为R的函数( )f x在区间(3,)上单调递增，且满足 (3)(3)fxfx，则下列不等式一定成立的是（ ） A(1)(2)(6)fff B(6)(2)(1)fff C(6)(1)(2)fff D(2)(1)(6)fff （2）已知函数)(xf是定义在11,上的增函数，且) 1() 1( 2 xfxf，则实数x的取 值范围为 例 4：偶函数( )f x在0,)上单调递增，且(2)0f，则不等式 ( )()0 x
2、 f xfx的 解集为（ ） A(, 2)(2, ) B( 2,0)(2,) C( 2,0)(0,2) D(, 2)(0,2) 2、利用单调性求最值 1、单调性的判断 3、利用单调性比较大小、解抽象函数不等式 4、奇偶性 函数的图像与性质函数的图像与性质 例 5：已知函数(2)f x是定义在R上的偶函数，且在0,)上是单调函数，若 (3)(0)ff，则下列不等式成立的是（ ） A(2)(0)( 2)fff B(0)(2)( 2)fff C( 2)(0) (2)fff D(0)( 2)(2)fff 例 6：对任意xR，函数( )f x都有()( )2fxf x成立，则函数( )f x的图象关于点
3、中 心对称 例 7：已知定义在R上的函数 f x的图象关于点 3 (,0) 4 成中心对称，且对任意的实数x 都有 3 ( )() 2 f xf x ， 且( 1)1f ，(0)2f ， 则(1)(2)(3)(2019)ffff (2020)f 5、轴对称 6、中心对称 7、周期性的应用 一、选择题 1 已知函数( )yf x是偶函数， 当0 x时， 2 ( )f xxax， 且12f ， 则a（ ） A1 B0 C1 D2 2已知函数 2 2 ,0 ( ) ,0 xxx f x axxx 是偶函数，则a（ ） A1 B0 C1 D2 3设函数 2 , (0) ( ) 2 ,(0) xx f
4、x xx ，则 2 ( )( )g xxf x的递增区间是（ ） A( 1,) B(1, ) C( 1,0)和(1,) D(, 1) 和(0,1) 4若函数 2 213f xxax在区间,2上是减函数，则实数a的取值范围是 （ ） A1a B1a C1a D1a 5已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，对任意的 12 ,(0,)x x ，且 12 xx， 有 12 12 ()() 0 f xf x xx ，若(1)0f，则(1) ( )0 xf x的解集为（ ） A(, 1)(0,1) B( 1,0)(1, ) C( 1,0)(0,1) D(, 1)(0,1) (1,) 6函数 2 21,
5、 (0) ( ) (3)1, (0) xaxx f x a xax 满足 1212 ( )()()0f xf xxx对定义域中任意 两个不相等的 12 ,x x都成立，则a的取值范围是（ ） A2,3) B(0,3) C(,3) D(0,) 7函数( )f x是定义在R上的奇函数，下列说法： (0)0f； 若( )f x在0,)上有最小值为1，则( )f x在(,0上有最大值为1； 若( )f x在0,)上为增函数，则( )f x在(,0上为减函数； 若0 x时， 2 ( )2f xxx，则0 x时， 2 ( )2f xxx 其中正确说法的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个
6、8已知函数(1)f x是定义在R上的偶函数，且1x时，( )f x是单调函数，则满足 2 ( )(23)f xf xx的所有x之和为（ ） A0 B1 C3 D4 二、填空题 9函数 1 1 1 y x 的单调递减区间为 10已知函数 2 ( )yf xx是奇函数，且(1)1f，则( 1)f 11已知函数 2 ( )2f xaxbxab为偶函数，其定义域为2 ,2aa，则( )f x的值域 为 12已知函数( )f x是定义在R上的不恒为零的奇函数，且对任意实数x都有 11xf xxf x，若 (1)1f，则(2) f ；(2019) f 三、解答题 13已知函数 2 4 ( ) x f x
7、x （1）判断函数( )f x在2,4上的单调性，并用定义法证明； （2）求函数( )f x在2,4上的最小值 14设函数 2 2 1 ( ) 1 x f x x （1）判断函数( )f x的奇偶性； （2）求 1 ( )( )ff x x 的值； （3）计算 111 (0)(1)(2)(3)(4) 243 ffffffff 的值 15 已知函数( )f x定义域为R， 对任意 , x y都有 ()( )( )2f xyf xf y， 当0 x时， ( )2f x ，(1)3f （1）求( 1)f ； （2）判断函数( )f x在R上的单调性，并证明； （3）解不等式(2 )2 ( )2fxf
8、 x 16已知( )f x是定义在R上的奇函数，当0 x时， 2 ( )4 f xxx （1）求( )f x的解析式； （2）是否存在非负实数, a b，使得当 , xa b时，函数( )f x的值域为 , a b，若存在， 求出实数, a b的值；若不存在，请说明理由 例 1：【答案】（1）, 2 ；（2）(,1)和(1,) 【解析】（1）令 2 6uxx，则 2 logf xu， 因为 2 logf xu在0,是增函数， 所以，当 2 6uxx为x的减函数时，y为x的减函数 为了使得函数有意义，需 2 6023xxxx 或， 又 2 6uxx得对称轴为 1 2 x ，所以函数的减区间为,
9、2 （2）由定义域可知1x ，且易得 1 1 1 y x 的单减区间为(,1)和(1,) 例 2：【答案】 1 2 【解析】令 1 12 (0,) 2 xttx，则 2 1 2 t x ， 2 2 11 (1)1 22 t ytt ， 当0t ，即 1 2 x 时取等号，函数取最大值为 1 2 例 3：【答案】（1）C；（2）(1,2 【解析】（1）由(3)(3)fxfx可得函数( )f x的图像关于直线3x 对称， (1)(5)ff，(2)(4)ff， 又( )f x在区间(3,)上单调递增，(6)(5)(4)fff，即(6)(1)(2)fff （2）因为函数)(xf是定义在1,1上的增函数
10、， 22 2 11 1 (1)(1)11 1 11 x f xf xx xx ，解得12x， 故x的取值范围是(1,2 例 4：【答案】B 【解析】偶函数( )f x在0,)上单调递增，且(2)0f， 当0 x时，( )0f x的解集为(2,)；当0 x，( )0f x的解集为( 2,0)， ( )()0 x f xfx，即2( )0 xf x，即 0 ( )0 x f x 或 0 ( )0 x f x ， 2x或20 x， 不等式 ( )()0 x f xfx的解集为(, 2)(2,) 例 5：【答案】A 【解析】 函数(2)f x是定义在R上的偶函数， 函数( )f x的图象关于直线2x对
11、称， (4)(0)ff，( 2)(6)ff， 又(3)(0)ff，(3)(4)ff，函数( )f x在2,)上单调递减， (2)(4)(6)fff，即(2)(0)( 2)fff 例 6：【答案】(0,1) 【解析】函数( )f x满足()( )2fxf x，函数( )f x的图象关于点(0,1)中心对称 例 7：【答案】1 【解析】由 3 ( )() 2 f xf x ，得( )(3)f xf x，及周期为3， 由图象关于点 3 (,0) 4 成中心对称，可得 3 ( )()0 2 f xfx ， 从而 33 ()() 22 f xfx ，( )()f xfx， 由( 1)1f ，(0)2f
12、，可得(1)1f， (1)(2)(3)(1)( 1)(0)0ffffff， (1)(2)(3)(2019)(2020)(1)1ffffff 一、选择题 1【答案】A 【解析】函数( )yf x是偶函数，( 1)(1)2ff， 2 (1)12fa，1a 2【答案】C 【解析】当0 x，0 x ， 2 ()fxxx， ( )f x是偶函数， 2 ( )()f xfxxx，1a 3【答案】C 【解析】 2 2 2 , (0) ( ) 2 , (0) xxx g x xxx 的单调递增区间是( 1,0)和(1,) 4【答案】A 【解析】函数( )f x的单调递减区间是(,1a， 若函数( )f x在区
13、间,2上是减函数，则21a，1a 5【答案】D 【解析】对任意的 12 ,(0,)x x ，且 12 xx，有 12 12 ()() 0 f xf x xx ， 即函数( )f x在(0,)上是减函数， 又(1)0f，再结合奇偶性可画出函数( )f x的草图如下 (1) ( )0 xf x等价于 10 ( )0 x f x 或 10 ( )0 x f x ， 解出可得1x或01x或1x 6【答案】A 【解析】由 1212 ( )()()0f xf xxx可得函数( )f x在定义域内是增函数， 则 0 30 11 a a a ，解得23a 7【答案】B 【解析】显然正确； 奇函数的图象关于原点
14、对称，正确； 若( )f x在0,)上为增函数，则( )f x在(,0上为增函数，错误； 若0 x时， 2 ( )2f xxx，则0 x时， 2 ( )2f xxx ，错误， 只有 2 个说法正确 8【答案】D 【解析】根据题意，函数(1)f x是偶函数，则函数( )f x的图象关于直线1x 对称， 又当1x时，( )f x是单调函数，则1x时，( )f x也是单调函数， 若 2 ( )(23)f xf xx，则 2 23xxx或 2 232xxx， 化简得 2 330 xx或 2 50 xx， 2 330 xx有两根，两根之和为3， 2 50 xx有两根，两根之和为1， 则满足 2 ( )(
15、23)f xf xx的所有x之和为3 14 二、填空题 9【答案】(,1)和(1,) 【解析】由定义域可知1x ，且易得 1 1 1 y x 的单减区间为(,1)和(1,) 10【答案】3 【解析】令 2 ( )( )g xf xx，(1)(1) 12gf ， ( )g x是奇函数，( 1)(1)2gg ， 又( 1)( 1) 1gf，( 1)3f 11【答案】 36, 4 【解析】( )f x是偶函数，定义域2 ,2aa关于原点对称， 220aa ，2a ，且此时抛物线的对称轴为y轴，0b， 此时 2 ( )24f xx 在 4,4上的值域为 36, 4 12【答案】2，2019 【解析】令
16、2x，由(1) ( )(1)xf xxf x可得(2)2 (1)2ff； 当0 x且2x时，由(1) ( )(1)xf xxf x可得 ( )(1) 1 f xf x xx ， (2019)(2018)(2) 1 201920182 fff ，所以(2019)2019f 三、解答题 13【答案】（1）见解析；（2）4 【解析】（1）函数( )f x在2,4上的单调递增，证明如下： 令 12 24xx， 又 22 12 121212 121212 44444 ( )()()(1) xx f xf xxxxx xxxxx x ， 12 24xx， 12 0 xx， 12 4x x ， 12 4 1
17、 x x ， 12 4 10 x x ， 12 ( )()0f xf x，即 12 ( )()f xf x， 函数( )f x在2,4上的单调递增 （2）由（1）知函数( )f x在2,4上的单调递增， 函数( )f x在2,4上的最小值为 2 24 (2)4 2 f 14【答案】（1）偶函数；（2）0；（3）1 【解析】（1）函数( )f x的定义域为R， 又 2 2 1 ()( ) 1 x fxf x x ，( )f x为偶函数 （2） 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 ( )( ) 1 1 1 ( 1 ) x x ff x xx x ， 1 ( )( )( )( )0ff xf xf
18、x x （3） 由 （2） 可得 1 ( )( )0ff x x ， 111 (4)(3 )( 4 2)0 23 ffffff ， 又(0)1f，(1)0f， 111 (0)(1)(2)(3)(4)1 243 ffffffff 15【答案】（1）1；（2）见解析；（3） 1x 【解析】（1）令0 xy，可得(0)2f， 令1,1xy ，可得(0)(1)( 1)2fff， 又(1)3f，( 1)1f （2）函数( )f x在R上单调递增，证明如下： 令 212 ,xxyxx，可得 1212 ( )()()2f xf xf xx， 即 1212 ( )()()2f xf xf xx， 令 12 x
19、x，则 12 0 xx， 又当0 x时，( )2f x ， 12 ( )()0f xf x，即 12 ( )()f xf x， 函数( )f x在R上单调递增 （3）(2 )( )( )2fxf xf x，(2 )2 ( )4 ( )2fxf xf x， 又(2 )2 ( )2fxf x，4 ( )22f x ，即( )1f x ， 由（1）得( 1)1f ，( )( 1)f xf， 结合单调性可得1x 16【答案】（1） 2 2 4 ,0 ( ) 4 ,0 xx x f x xxx ；（2）见解析 【解析】（1）当0 x时，0 x ， 2 ()4 fxxx， ( )f x是定义在R上的奇函数
20、， 2 ()4)( f xfxxx， 2 2 4 ,0 ( ) 4 ,0 xx x f x xxx （2）当2a时，函数( )f x在 , a b上单调递减， 显然不存在非负实数, a b使得函数( )f x的值域为 , a b； 当02a时，对b讨论如下， 当2b时，函数( )f x在 , a b上单调递增，有( )f aa，( )f bb， , a b为( )f xx的两个解， 2 4xxx ，解得0a，3b，此时不合题意； 当2b时，有( )f aa，(2) fb，解得0a或3a（不合题意，舍去），4b 综上，存在0a，4b，使得当 , xa b时，函数( )f x的值域为 , a b
