1、 例 1：设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的两个焦点分别为 1 F， 2 F，若在x轴上方的C上 存在两个不同的点M，N满足 1212 2 3 FMFFNF ，则椭圆C离心率的取值范围是 （ ） A 3 (0, 2 B 1 (,1) 2 C 3 (,1) 2 D 23 (,) 22 例 2： 阿基米德 （公元前287年公元前212年） 不仅是著名的物理学家， 也是著名的数学家， 他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积 若椭圆 C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为 7 4 ，面积为12，则椭圆C的方程为（ ） A 22 1 34 xy B
2、22 1 916 xy C 22 1 43 xy D 22 1 169 xy 例 3：已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，直线1xy与椭圆C交于M，N两点，以 线段MN为直径的圆经过原点若椭圆C的离心率不大于 3 2 ，则a的取值范围为（ ） A(0, 10 B 2 (, 10 2 C 5 (1, 2 D 10 (1, 2 1、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 2、根据离心率求圆锥曲线的标准方程 3、根据离心率求参数的值或取值范围 离心率离心率 一、选择题 1已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左顶点为A，上顶点为B，且3OAOB（O为 坐标原点），则该椭圆
3、的离心率为（ ） A 2 3 3 B 6 3 C 2 2 D 3 3 2设双曲线 22 2 1 121 5 xy mm 的实轴长为8，则该双曲线的离心率为（ ） A 5 3 B 3 5 C 5 4 D 7 4 3已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ， 直线 2x 与椭圆C交于A，B 两点，O为坐标原点，且OAOB，则椭圆的方程为（ ） A 2 2 1 2 x y B 2 1 42 xy C 22 1 84 xy D 22 1 63 xy 4已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点P为椭圆上不同于左、 右顶点
4、的任意一点，I为 12 PFF的内心，且 11 22 IPFIF FIPF SSS ，若椭圆的离心率 为e，则（ ） A 1 e B 2 e Ce D2e 5已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线安有公共焦点，且左、右焦点分别为 1 F， 2 F这 两条曲线在第一象限的交点为P， 12 PFF是以 1 PF为底边的等腰三角形若 1 10PF ， 记椭圆与双曲线的离心率分别为 1 e、 2 e，则 12 e e的取值范围是（ ） A 1 ( ,) 9 B 1 ( ,) 5 C 1 ( ,) 3 D(0,) 二、填空题 6已知直线l为经过坐标原点且不与坐标轴重合的直线，且l与椭圆 22 22 :1 xy
5、 C ab (0)ab相交于P，Q两点， 点B为椭圆上异于P，Q的任意一点， 若直线BP和BQ的 斜率之积为 1 4 ，则椭圆C的离心率为 7已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，若以 2 F为圆心，b c 为 半径作圆 2 F，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且PT的最小值不小于 3 2 ac ，则椭圆的离心率e的取值范围是 三、解答题 8如图在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 1 22 :1 xy C ab ， 22 2 22 :1 44 xy C ab （0ab），椭圆 2 C的右顶点和上顶点分别为A和B，过A，B分别引椭圆
6、1 C的切线 1 l， 2 l，切点为C，D （1）若2a，1b，求直线 1 l的方程； （2）若直线 1 l与 2 l的斜率之积为 9 16 ，求椭圆 1 C的离心率 例 1：【答案】C 【解析】如图，当点M在y上最大，若在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N， 满足 1212 2 3 FMFFNF ，只需 3 sin 32 c a ， 又01e ，所以 3 (,1) 2 e ，故选 C 例 2：【答案】D 【解析】由题意可得 222 12 7 4 ab c a abc ，解得4a，3b， 因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程为 22 1 169 xy ，故选 D 例 3：【答案】D 【解析
7、】椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ， 直线1xy与椭圆C交于M，N两点，可得1a ， 由1xy联立椭圆方程可得 2222222 ()20abxa xaa b， 设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy，可得 2 12 22 2a xx ab ， 222 12 22 aa b x x ab ， 线段MN为直径的圆经过原点，可得OMON，即有 1 212 0 x xy y， 可得 1212 (1)(1)0 x xxx，化为 1212 21 ()0 x xxx ， 则 2222 2222 2 210 aa ba abab ，化为 2222 2aba b ， 由 3 2
8、e ，可得 2 2 3 1 4 b a ，即 22 1 4 ba， 可得 2 2 2 1 214 a a a ，即有 2 214a ，解得 10 2 a ，可得 10 1 2 a ，故选 D 一、选择题 1【答案】B 【解析】依题意可知 3ab ，即 3 3 ba ， 又 2222 36 () 33 cabaaa ，所以该椭圆的离心率 6 3 c e a ，故选 B 2【答案】C 【解析】根据 22 2 1 121 5 xy mm 表示双曲线，可得 22 12am ， 2 51bm， 又28a，即4a，所以 2 1216m ，所以2m， 又因为510m ，即 1 5 m ，所以2m，所以 2
9、5 2 19b ， 所以 222 16925cab ，所以5c ，所以离心率 5 4 c e a ，故选 C 3【答案】D 【解析】设直线 2x 与椭圆在第一象限的交点为 0 ( 2,)Ay， 因为OAOB，所以 0 2y ，即( 2, 2)A， 由 22 222 22 1 2 2 ab c a abc ，可得 2 6a ， 2 3b ， 故椭圆方程为 22 1 63 xy ，故选 D 4【答案】A 【解析】设 12 PFF内切圆的半径为r， 则 1 1 1 2 IPF Sr PF ， 2 2 1 2 IPF Sr PF ， 1 2 12 1 2 IF F Sr FF 11 22 IPFIF
10、FIPF SSS ， 1122 11 222 r PFr FFr PF ， 整理得 1212 FFPFPF， P为椭圆上的点，22ca，解得 1 e ，故选 A 5【答案】C 【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为c， 1 PFm， 2 PFn，（mn）， 由于 12 PFF是以 1 PF为底边的等腰三角形， 若 1 10PF ，即有10m，2nc， 由椭圆的定义可得 1 2mna，由双曲线定义可得 2 2mna， 即由 1 5ac， 2 5ac，（ 5c ）， 再由三角形的两边之和大于第三边，可得2210cc，可得 5 2 c ，既有 5 5 2 c， 由离心率公式可得 2 12 2 12 2 1
11、 25 25 1 ccc e e aac c ， 由于 2 25 14 c ，则由 2 11 25 3 1 c ，则 12 e e的取值范围是 1 ( ,) 3 ，故选 C 二、填空题 6【答案】 3 2 【解析】由题知：设( , )B x y，( , )P m n，(,)Qmn， 则 BP yn k xm ， BQ yn k xm 因为 1 4 BPBQ kk ，所以 22 22 1 4 ynynyn xm xmxm 又因为B，P在椭圆C上，所以 22 22 1 xy ab ， 22 22 1 mn ab ， 两式相减得 2222 22 0 xmyn ab ，即 222 222 ynb xm
12、a 所以 2 2 1 4 b a ，即 2 2 1 4 b a ，则 2222 222 3 1 2 cabb e aaa ， 故答案为 3 2 7【答案】 32 ,) 52 【解析】因为 2 2 2 () ()PTPFbcbc ， 所以当且仅当 2 PF取得最小值时，PT取得最小值 而 2 PF的最小值为ac，所以PT的最小值为 22 ()()acbc 依题意可得 22 3 ()()() 2 acbcac ，所以 22 ()4()acbc， 所以2()acbc，所以2acb ，所以 222 ()4()acac， 所以 22 5230caca，所以 2 5230ee 又bc，所以 22 bc，所
13、以 222 acc，所以 2 21e 联立，得 32 52 e ，故答案为 32 ,) 52 三、解答题 8【答案】（1） 3 (4) 6 yx ；（2） 7 4 e 【解析】（1）当2a，1b， 2 2 1: 1 4 x Cy， 22 2: 1 164 xy C， (4,0)A， 设过(4,0)A处的切线方程为(4)yk x， 代入 1 C，得 2222 (1 4)326440kxk xk 令 2 222 (32)4(1 4)(644)0kkk ，得 2 1 12 k ， 3 6 k ， 所以 1 l的方程为 3 (4) 6 yx （2）设 1 l， 2 l的斜率分别为 1 k， 2 k，则
14、 12 9 16 k k ， 1 l， 2 l的方程 1( 2 )yk xa， 2 2ybk x， 联立 1 22 22 (2 ) 1 yk xa xy ab ，消去y，得 2222324222 111 ()440ba kxa k xa ka b 由 64222422 11 164()(4)0a kba kaa b，得 222 1 3a kb 联立 2 22 22 2 1 ybk x xy ab ，消去y，得 2222222 22 ()430ba kxa bk xa b 由 42222222 22 1612()0a b kba ka b ，得 222 2 3a kb， 故 4224 12 a k kb， 7 34 4 abe
