1、 例 1：对任意实数x，若不等式4210 xx m 恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A(,2) B( 2,2) C(2, D2,2 例2：若不等式 2 21(1)xm x 对任意 1,1m 恒成立。求实数x的取值范围是 例 3：若不等式 2 3log0 a xx对任意 1 (0, ) 3 x恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A 1 ,1) 27 B( 1 ,1) 27 C 1 (0,) 27 D 1 (0, 27 例 4：（2019 全国理）已知函数的定义域为xR，(1)2 ( )f xf x，且当1(0,x时，( )(1)f xx x，若 对任意的(,xm ，都有 8 ( ) 9 f
2、x ，则m的取值范围是（ ） A( 4 9 , B( 3 7 , C( 2 5 , D( 3 2 , 一、选择题 1 22 638xxmm对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A 6, 2 B(, 62,) C2,6 D(,26,) 2已知函数 2 ( )22f xaxx，若对一切 1 ,2 2 x，( )0f x 都成立，则实数a的取值范围为（ ） A 1 ,) 2 B 1 ( ,) 2 C4,) D( 4,) 3已知定义在R上的函数( )f x为减函数，若对任意1,2x，不等式(2) x f exa (3)f恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A5,)e B 2 (,7e C(,
3、5e D 2 7,)e 4、函数性质法 3、数形结合法 2、主参换位法 1、分离参数法 恒成立问题恒成立问题 4已知定义在R上的函数( )f x满足( )()f xfx，且在0,)上是增函数，不等式(2)( 1)f axf对于 1,2x恒成立，则a的取值范围是（ ） A 3 , 1 2 B 1, 2 1 C 1 ,0 2 D0,1 5已知函数( )ln a f xx x ， 32 ( )243g xxxx，若对任意的 12 ,1,3x x ，都有 12 ( )()1f xg x成立， 则实数a的取值范围是（ ） A1,) B(0,) C(,0) D(1, 6设函数( )f x的定义域为R，满足
4、(2)2 ( )f xf x，且当2(0,x时， 1 ( )f xx x 9 4 若对任意(,xm ，都有 2 ( ) 3 f x ，则m的取值范围是（ ） A( 5 21 , B( 3 16 , C( 4 18 , D( 4 19 , 二、填空题 7 已知函数 3 ( )3f xxx， 对任意的 2,2m ，(2)( )0f mxf x恒成立， 则实数x的取值范围是_ 8 已知不等式 22 ()(ln)2mnmn对任意mR，(0,)n恒成立， 那么实数的取值范围为_ 三、解答题 9已知函数 2 ( )27f xxmx （1）已知函数( )yf x在区间1,3上的最小值为4，求m的值； （2）
5、若不等式 2 ( )611f xxx在区间1,2上恒成立，求实数m的取值范围 10已知函数 1 ( )ln2f xaxx x ，且曲线( )yf x在点(1,(1)Mf处的切线与直线2yx平行 （1）求函数( )f x的单调区间； （2）若关于x的不等式( )2 m f xx x 恒成立，求实数m的取值范围 例 1：【答案】A 【解析】对任意实数x，不等式4210 xx m 恒成立， 2 (2 )210 xx m 恒成立，等价于 1 2 2 x x m ， 因为20 x ，所以 11 22 22 22 xx xx ， 当0 x 时，等号成立，所以2m， 故所求出实数m的取值范围是(,2)，故选
6、 A 例2：【答案】312x 【解析】 2 21(1)xm x 可转化为 2 (1)210m xx ， 设 2 ( )(1)210f mm xx ，则( )f m是关于m的一次型函数， 要使( )0f m 恒成立，只需 2 2 (1)20 ( 1)220 fxx fxx ，解得312x 例 3：【答案】A 【解析】因为不等式 2 3log0 a xx对任意 1 (0, ) 3 x恒成立，所以01a， 当 1 (0, ) 3 x时， 22 11 33 ( ) 33 x ， 1 loglog 3 aa x ， 由数形结合分析可知只需 11 log 33 a ，得 1 ,1) 27 a 例 4：【答
7、案】B 【解析】由当xR，(1)2 ( )f xf x，且当1(0,x时，( )(1)f xx x可知当2(1,x时， 2 31 ( )2() 22 f xx，当3(2,x时， 2 5 ( )4()1 2 f xx， 当(1, ,xn nnZ时， 22 1 ( )2 ()2 2 nn f xxn ， 对任意的(,xm ，都有 8 ( ) 9 f x 有 2 585 4()1() 292 mm ， 解得的取值范围是 7 3 m 一、选择题 1【答案】A 【解析】 22 63(3)12xxx的最小值为12， 所以 22 638xxmm对任意实数x恒成立只需 2 812mm ， 解得62m 2【答案
8、】B 【解析】由题意得，对一切 1 ,2 2 x，( )0f x 都成立， 即 2 22 2222111 2() 22 x a xxxx 在 1 ,2 2 x上恒成立， 而 2 1111 2() 222x ，则实数a的取值范围为 1 ( ,) 2 3【答案】B 【解析】由于定义在R上的函数( )f x为减函数，(2(3) x f exaf， 所以23 x exa，得32 x axe对任意1,2x恒成立 令( )2 x h xxe(1,2x)，则( )20 x h xe， 所以( )h x在1,2x上为减函数， 2 min ( )(2)4h xhe， 所以 2 34ae，则 2 7ae 4【答案
9、】A 【解析】由题可知，( )f x的图象关于y轴对称，且( )f x在(,0)上单调递减， 由( )f x的图象特征可得121ax 在1,2上恒成立， 得 31 a xx 在1,2上恒成立，所以 3 1 2 a 5【答案】A 【解析】令 32 ( )( ) 1244h xg xxxx ，则 2 ( )344(32)(2)h xxxxx， ( )h x在1,2)单调递减，在2,3单调递增， 又(1)1h ，(3)1h， max ( )1h x， 对任意1,3x，( )ln1 a f xx x ，即lnaxxx恒成立， 令( )lnxxxx，则( )ln0 xx ， ( )x在1,3单调递减，
10、max ( )(1)1x，1a ，故选 A 6【答案】D 【解析】当2(0,x时， 19 ( ) 4 f xx x 的最小值是 1 4 ； 由(2)2 ( )f xf x知，当4(2,x时， 19 ( )2(2) 24 f xx x ，其最小值是 2 1 ； 当6(4,x时， 19 ( )4(4) 44 f xx x ，其最小值是1； 要使 2 ( ) 3 f x ，则 192 4(4) 443 x x ，解得 19 4 x 或 16 3 x ， 然后数形结合可知 19 4 m 时，都有 2 ( ) 3 f x 恒成立 二、填空题 7【答案】 2 ( 2, ) 3 【解析】函数 3 ( )3f
11、 xxx为奇函数，(2)( )0f mxf x，即(2)( )f mxf x ， (2)()f mxfx， 又函数( )f x单调递增，2mxx，对任意的 2,2m ，20mxx 恒成立， 220 220 xx xx ， 2 2 3 x 8【答案】1,) 【解析】如图，构造直线yx和曲线lnyx， 分别在其上取点( ,)P m m，( ,ln)Q nn， 原不等式即 22 ()(ln)2PQmnmn 而PQ的最小值，即点Q到直线0 xy距离的最小值， 亦即曲线lnyx上与直线0 xy平行的切线的切点到直线0 xy的距离， 令(ln)1x，得1x ，所以切点为(1,)，易知0， 由 |1 ()|
12、1 2 22 ，得1 三、解答题 9【答案】（1）1m；（2）2 23m 【解析】（1）函数对称轴xm， 当2m时， 2 min 3674ym ，1m； 当2m时， 2 min 1274ym ，1m(舍)， 1m （2）不等式 2 ( )611f xxx在区间1,2上恒成立， 22 27611xmxxx在区间1,2上恒成立，即 2 3mx x ， min 2 (3)mx x ，2 23m 10【答案】（1）见解析；（2） 1 (,1 e 【解析】（1）函数( )f x的定义域为|0 x x ， 2 1 ( )2 a fx xx ， 又曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线与直线2yx平行
13、， 所以(1)122fa ，即1a ， 1 ( )ln2f xxx x ， 2 (1)(21) ( )(0) xx fxx x ， 由( )0fx且0 x ，得 1 0 2 x，即( )f x的单调递减区间是 1 (0, ) 2 ； 由( )0fx且0 x ，得 1 2 x ，即( )f x的单调递增区间是 1 ( ,) 2 （2）由（1）知不等式( )2 m f xx x 恒成立可化为 1 ln22 m xxx xx 恒成立， 即ln1mxx 恒成立， 令( )ln1g xxx，( )ln1g xx， 当 1 (0, )x e 时，( )0g x，( )g x在 1 (0, ) e 上单调递减； 当 1 ( ,)x e 时，( )0g x，( )g x在 1 ( ,) e 上单调递增， 所以 1 x e 时，函数( )g x有最小值 11 ( )1g ee ， 由ln1mxx 恒成立，得 1 1m e ， 即实数m的取值范围是 1 (,1 e
