1、 例 1：已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，且过点(2,3)P （1）求椭圆C的方程； （2）过点P作两条直线 1 l， 2 l与椭圆C分别交于M，N（M，N与P不重合） 两点， 若 1 l， 2 l的斜率之和为 1， 求证：直线MN过定点 例 2：在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任 意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线准线的距离为 3 2 （1）求抛物线C的方程； （2）若点M的横坐标为2，直线 1 : 2 l ykx与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两
2、个不同的交点 D，E，求当13k时， 22 |ABDE的最小值 一、填空题 1等腰直角AOB内接于抛物线 2 :2(0)C ypx p，OAOB（O为坐标原点），且4 AOB S ，若F为C 的焦点，M为C上的动点，则 OM MF 的最大值为 二、解答题 2在直角坐标平面中，已知ABC的顶点( 2,0)A ，(2,0)B，C为平面内的动点， 2、圆锥曲线的最值和范围问题 1、圆锥曲线的定点和定值问题 圆锥圆锥曲线综合曲线综合 且sinsin3cos0ABC （1）求动点C的轨迹Q的方程； （2）设过点(1,0)F且不垂直于x轴的直线l与Q交于P，R两点， 点P关于x轴的对称点为S，证明：直线R
3、S过 x轴上的定点 3在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，椭圆上的点到右焦点 的最大距离为2 3 ，过焦点且垂直于长轴的弦长为1 （1）求椭圆C的方程； （2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于M，N 两点若 22 |PMPN的值与点P的位置无关，求k的值 4在平面直角坐标系内，两条动直线 1 l， 2 l分别过定点(1,2)，(1, 2)，其斜率分别为 1 k， 2 k，记它们的交点M 形成的轨迹为曲线C （1）当 12 11 1 kk 时，求曲线C的轨迹方程； （2）点O为坐标原点，
4、在（1）的条件下，过曲线C外且不在x轴上的点P作曲线的两条切线，切点分别记为A， B当直线AB与OP的斜率之积为2时，直线AB是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由 5已知双曲线 22 22 :1 xy C ab 的离心率为 3 2 ，且焦点到渐近线的距离为 5 （1）求双曲线C的标准方程； （2）若以(0)k k 为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标 轴围成的三角形的面积为 81 16 ，求实数k的取值范围 例 1：【答案】（1） 22 1 1612 xy ；（2）证明见解析 【解析】（1）离心率 1 2 e ，设椭圆C的方程为 2
5、2 43 xy t， 点(2,3)P在该椭圆上，1 3t ，4t ， 椭圆C的方程为 22 4 43 xy ，即为 22 1 1612 xy （2）证明：设直线MN的方程为ykxm（k不存在时不满足要求）， 联立得方程组 22 1 1612 ykxm xy ， 消去y并整理，得 222 (43)84480kxkmxm 设点 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy，则 12 2 8 43 km xx k ， 2 12 2 448 43 m x x k 设直线PM，PN的斜率分别为 1 k， 2 k，则 12 12 12 33 1 22 kxmkxm kk xx ， 1212 (21)(
6、25)() 1640kx xmkxxm 将 12 2 8 43 km xx k ， 2 12 2 448 43 m x x k 代入上式并化简， 得 22 16102430kkmkmm ， (23)(8)0kmkm，23mk或8mk 当23mk时，直线MN过定点(2,3)P，不合题意，舍去； 当8mk时，直线MN过定点(8,0)， 综上所述，直线MN过定点(8,0) 例 2：【答案】（1） 2 4xy；（2）51 【解析】（1）抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点(0,) 2 p F， 由已知可得，Q到F，O两点的距离相等， 点Q的纵坐标为 4 p ， 3 422 pp ，2p ， 抛物
7、线C的方程为 2 4xy （2）若点M的横坐标为2，则有(2,1)M， 设 1 ( , ) 2 Q a，则由| |QOQM可得 22 11 (2) 44 aa，解得1a ， 1 (1, ) 2 Q， 圆Q的标准方程为 22 15 (1)() 24 xy，圆心Q到直线l的距离 2 | 1 k d k ， 2 2 22 54 |4()1 411 k DE kk 由 2 4 1 2 xy ykx ，可得 2 420 xkx ， 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，则有 12 4xxk， 12 2x x ， 22222 1212 |(1)()4(1)(168)ABkxxx xkk，
8、2222 2 4 |(1)(168) 1 1 ABDEkk k ， 令 2 12,4kt ，则 222 44 |(168) 11681ABDEtttt tt ， 令 2 4 ( )1681g ttt t ，则 2 4 ( )3280g tt t 恒成立，( )g t在2,4单调递增， 当2t ，即1k 时， min ( )(2)51g tg， 22 |ABDE的最小值为51 一、填空题 1【答案】 2 3 3 【解析】设等腰直角AOB的顶点 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 则 11 2ypx， 22 2ypx， 由OAOB，得 2222 1122 xyxy， 22 1212
9、 220 xxpxpx， 即 1212 ()(2 )0 xxxxp， 1 0 x ， 2 0 x ，0p ， 12 xx，即A，B关于x轴对称， 直线OA方程为y x ，与抛物线方程联立，解得 0 0 x y 或 2 2 xp yp ， (2 ,2 )App，(2 , 2 )Bpp，4ABp， 2 1 2444 2 AOB Sppp ，1p ， 设( , )M a b，则M到准线 1 2 x 的距离为 1 2 a ， 22 2 2 11 () 22 OMabaa MF aa ， 令 11 () 22 at t，则 2 3 124 () 433 OM MFt ， 当 12 3t ，即 3 2 t
10、 时， OM MF 取得最大值 2 3 3 二、解答题 2【答案】（1） 22 1(0) 43 xy y；（2）证明见解析 【解析】（1）设( , )C x y，由已知sinsin3cos0ABC， 2222 | 30 | |2| | yACBCAB ACBCACBC ， 2222 2 (2)(2)16 30(0) 2 xyxy yy ， 化简得点C的轨迹Q的方程为 22 1(0) 43 xy y （2）由（1）知，过点(1,0)F的直线l的斜率为0时与Q无交点，不合题意 故可设直线l的方程为：1xmy(0)m ，代入Q的方程得 22 (34)690mymy 设 11 ( ,)P x y， 2
11、2 (,)R xy 12 ()xx， 则 11 ( ,)S xy， 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ， 直线 21 11 21 :() yy RS yyxx xx ， 令0y ，得 12112121212 1 212121 ()(1)(1)y xxy xx yy mymyy xx yyyyyy 2 121212 2121 2 9 2 () 2()2 34 114 6 34 m my yyymy y m m yyyy m 直线RS过x轴上的定点(4,0) 3【答案】（1） 2 2 1 4 x y；（2） 1 2 【解析】（1）由题设可知2 3ac ， 2 2
12、 1 b a ， 222 abc ， 解得2a， 3c ，故1b， 椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y （2）设点( ,0)P m( 22)m ， 直线l的方程为()yk xm，与椭圆C的两个交点分别为 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy， 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得 2 2 () 1 4 yk xm x y ， 消去y并化简、整理，得 22222 (1 4)84(1)0kxmk xk m， 2 12 2 8 14 mk xx k ， 22 12 2 4(1) 1 4 k m x x k 222222 1122 |()()PMPNxmyxmy 222 1212 3
13、()2 ()22 4 xxm xxm 24222 2 2 ( 862)(1 4)(8 8) (1 4) mkkkk k (*) 22 |PMPN的值与点P的位置无关，即(*)式的取值与m无关 42 8620kk ，解得 1 2 k ， k的值为 1 2 4【答案】（1） 2 4 (1)yx x；（2）是经过定点，定点为(1,0) 【解析】（1）设交点( , )M x y，则 2 12 111144 1 224 xxx kkyyy ， 2 4yx 1 k， 2 k存在且不为0，1x ， 故曲线C的轨迹方程为 2 4 (1)yx x （2）直线AB经过定点 设切点A，B的坐标分别为 11 ( ,)
14、x y， 22 (,)xy，点 00 (,)P xy 点A，B在抛物线上， 2 11 4yx， 2 22 4yx 由题意可设切线PA的方程为 11 ()yyk xx 联立得方程组 11 2 () 4 yyk xx yx ，消去x并整理，得 2 11 44()0kyyykx 由 11 16 16 ()0k ykx及 2 1 1 4 y x ，得 1 2 k y ， 故切线PA的方程为 11 22y yxx 同理，切线PB的方程为 22 22y yxx 由解得 1212 0 12 () 2 xxyy y yy ， 12 0 4 y y x ， 从而 12 012 12 012 2() 2 4 OP
15、 yy yyy k y y xy y 又 12 1212 4 AB yy k xxyy ，由题意，得2 OPAB kk ， 12 121212 2()48 2 yy y yyyy y ，故 12 4y y 设直线AB的方程为x tym 联立得方程组 2 4 xtym yx ，消去x并整理，得 2 440ytym 由0，得 12 4y ym ，44m，解得1m， 故直线AB过定点(1,0) 5【答案】（1） 22 1 45 xy ；（2） 5555 (,)(,0)(0,)( ,) 2222 【解析】（1）焦点( ,0)c到渐近线0bxay的距离为 22 5 bc b ab ， 又 3 2 c a
16、 ， 22222 9 5 4 caaba， 2 4a ， 双曲线C的标准方程为 22 1 45 xy （2）设直线l的方程为(0)ykxm k， 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy， 则由 22 1 45 xy ykxm 消去y，可得 222 (54)84200kxkmxm， 根据题意可知 2 540k ，且 222 ( 8)4(54)( 420)0kmkm ， 即 22 540mk ， 由根与系数的关系，可知线段MN的中点坐标为 00 (,)xy满足， 12 0 2 4 254 xxkm x k ， 00 2 5 54 m ykxm k ， 线段MN的垂直平分线方程为 22 514 () 5454 mkm yx kkk ， 此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为 2 9 (,0) 54 km k ， 2 9 (0,) 54 m k ， 22 19981 | | 2545416 kmm kk ，化简可得 22 2 (54) 8| k m k ， 将代入得 2 2 2 (54) 540 8| k k k ， 即 22 (45)(48| 5)0kkk，解得 5 0 | 2 k 或 5 | 2 k ， 实数k的取值范围是 5555 (,)(,0)(0,)( ,) 2222
