1、 例 1：若实数x，y满足约束条件 230 230 0 xy xy xy ，则23xy的取值范围是（ ） A 1,15 B1,15 C 1,16 D1,16 例 2：设x，y满足约束条件 33 1 0 xy xy y ，则 y z x 的最大值为 例 3：已知实数x，y满足 10 220 220 xy xy xy ，若目标函数(0)zaxy a最大值为5，取到最大值时的最优解 是唯一的，则a的取值是（ ） A 1 4 B 1 3 C 1 2 D1 例 4： 我市高中数学研究会准备从会员中选拔x名男生，y名女生组成一个小组去参加数学文化知识竞赛， 若x，y 满足约束条件 25 1 1 2 7 x
2、y yx x -? ? ，则该小组最多选拔学生（ ） A21名 B16名 C13名 D11名 一、选择题 4、线性规划的实际应用问题 3、含参问题 1、线性目标函数的最值问题 2、非线性目标函数的最值问题 线性线性规划规划 1若实数x，y满足 1 10 220 x xy xy ，则2zxy的最小值为（ ） A2 B4 C5 D10 2若变量x，y满足约束条件 30 20 0 xy xy y ，则43zxy的最小值为（ ） A0 B1 C2 D3 3设 , x y满足 220 1 10 xy x xy ，若2zxy的最大值是（ ） A2 B3 C1 D 1 2 4已知x，y满足约束条件 270
3、0 , xy xy xy NN ，则2zxy的最大值为（ ） A4 B5 C6 D7 5若不等式组50 02 ya xy x 表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（ ） A5a B7a C57a D5a或7a 6已知实数x，y满足13yxyax，若2yx的最大值是3，则实数a的取值范围是（ ） A(,3 B1,3 C(,2 D(0,1) 7在平面直角坐标系中，若不等式组 440 2100 5220 xy xy xy 所表示的平面区域内存在点 00 (,)xy，使不等式 00 10 xmy 成立，则实数m的取值范围为（ ） A 5 (, 2 B 1 (, 2 C4,) D(, 4 8已知
4、x，y满足约束条件 10 10 220 xy xy xy + -? -+ ? -? ，若z mxy=+ 的取值集合为A，且 1,8A ，则实数m的取值范围 是（ ） A 1 2 , 3 3 B1,8 C 11 4 , 93 - D 4 1, 3 9设x，y满足条件0 xy，且4312xy，则 23 1 xy x 的取值范围是（ ） A1,5 B2,6 C2,10 D3,11 10若实数x，y满足约束条件 2 239 0 xy xy x ，则 22 zxy的最大值是（ ） A10 B4 C9 D10 11已知实数x，y满足 24 48 1 xy xy xy ，则 22 2xyx的取值范围是（ ）
5、 A0,19 B 1 ,20 5 C0,20 D 1 ,19 5 12某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格（以班级为单 位）： 新一年因生源和环境等因素，全校总班级至少20个，至多30个，若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2 万元、3万元，则第一年利润最大为（ ） A70万元 B58万元 C60万元 D72万元 二、填空题 13若x，y满足约束条件 10 10 0 xy xy y ，则2zxy的最小值为 14设x，y满足约束条件 3260 0 0 xy x y ，则zxy的最大值是 15实数x，y满足不等式 20 250 40 xy xy
6、 xy ，则|24|zxy的最大值为 16已知实数x，y满足 30 260 0 xy xy y -? +-? ，则 y x 的最大值是_ 17已知变量x，y满足 22 1 1 xy x y +? ，则 22 zxy=+的取值范围为_ 18已知实数x、y满足 2 60 20 x xy yx ，则 1 6 y z x 的最大值为 19在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组 2360 20 0 xy xy y 所表示的区域上一动点，则线段OM的最小值 为 20已知x，y满足 10 30 2 xy xy x ，若 22 xy的最大值为m，最小值为n，则mx ny 的最小值为 21设集合 222 ( ,
7、 )|(2), , 2 m Ax yxymx yR，( , )|2Bx ymxy 21, ,mx yR，若AB蛊，则实数m的取值范围是_ 22A，B两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动，两个小区 每位同学往返车费及服务老人的人数如下表： 根据安排，去敬老院的往返总车费不能超过37元，且B小区参加献爱心活动的同学比A小区的同学至少多1人， 则接受服务的老人最多有_人 例 1：【答案】A 【解析】令23zxy，根据不等式组，作出可行域，如图所示， 由图知：当23zxy经过点(3,3)A和点(1, 1)B时，分别取得最大值和最小值， 则 max 2 33
8、315z ， min 2 1 3 ( 1)1z ， 所以23xy的取值范围为 1,15 例 2：【答案】 1 3 【解析】由约束条件作出可行域如图，由图可知， 在点 3 1 ( , ) 2 2 A与(0,0)两点之间的斜率最大，把 3 1 ( , ) 2 2 A代入 y z x 可得 max 1 1 2 3 3 2 z 例 3：【答案】C 【解析】由不等式组 10 220 220 xy xy xy ，即为 10 220 220 xy xy xy ，作可行域如图： 目标函数zaxy可化为yaxz经过点C时，z取到最大值， 这时C坐标满足 220 10 xy xy ，解得 4 3 x y ，C点坐
9、标为(4,3)， 代入zaxy得到 1 2 a 例 4：【答案】B 【解析】作出x，y满足约束条件 25 1 1 2 7 xy yx x -? ? 表示的平面区域，如图所示： 要求招入的人数最多，即zxy=+取得最大值，目标函数化为yxz= -+， 在可行域内任意取x，y且为正整数，截距最大时的直线为过 7 25 x xy = -= ，得(7,9)A， 此时目标函数取得最大值为7916z =+= 一、选择题 1【答案】B 【解析】作出可行域如图所示，作直线2yxz ， 再将其平移至(1,2)A时，直线的纵截距最小，z的最小值为4 2【答案】C 【解析】由约束条件作出可行域如图所示，当43zxy
10、过(1,2)A时，有 min 462z 3【答案】A 【解析】由题，可得可行域如图所示（阴影部分），由2zxy得2yxz， 平移直线2yxz，由图像可知当直线2yxz经过点A时，直线2yxz的截距最小，即z最大， 由 1 10 x xy ，解得A为(1,0)， 代入目标函数中可得 max 2 1 02z 4【答案】C 【解析】由x，y满足约束条件 270 0 , xy xy xy NN 作出可行域如图， 化目标函数2zxy为2yxz ，由图象可知(2,2)A， 当直线2yxz 过(2,2)A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6 5【答案】C 【解析】画出不等式组 50 02 xy x 表
11、示的平面区域如图阴影部分所示 由 50 2 xy x ，解得 2 7 x y ，点A的坐标为(2,7) 结合图形可得，若不等式组50 02 ya xy x 表示的平面区域是一个三角形， 则实数a需满足57a，故选 C 6【答案】A 【解析】不等式13yxyax，等价于 1 3 y xyy xyax ， 化简得 1 0 (1)3 y x yax ， 设2zyx，则2yxz；且z的最大值是3， 由图形知，12a ，解得3a， 所以实数a的取值范围是(,3，故选 A 7【答案】B 【解析】作出不等式对应的平面区域，如图所示： 其中(2,6)A，直线10 xmy 过定点( 1,0)D ， 当0m时，不
12、等式10 x 表示直线10 x 及其左边的区域，不满足题意； 当0m时，直线10 xmy 的斜率 1 0 m ，不等式10 xmy 表示直线10 xmy 下方的区域，不满 足题意； 当0m时，直线10 xmy 的斜率 1 0 m ，不等式10 xmy 表示直线10 xmy 上方的区域， 要使不等式组所表示的平面区域内存在点 00 (,)xy，使不等式 00 10 xmy 成立， 只需直线10 xmy 的斜率 1 2 AD k m ，解得 1 2 m ， 综上可得实数m的取值范围为 1 (, 2 ，故选 B 8【答案】D 【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 其中 (1,0)A
13、 ， (0,1)B ， (3,4)C ， zmxy 的最值在顶点处取到，所以 18 1348 m m ，解得 3 4 1,m 9【答案】D 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，其中(0,4)A， 12 12 (,) 77 B， 2312(1)1 12 111 xyxyy xxx ， 设 1 1 y k x ， 则 1 1 y k x 的几何意义为平面区域内的点到定点( 1, 1)D 的连线的斜率， 由图象知BD的斜率最小， AD的斜率最大， 则BD的斜率1 BD k，AD的斜率为 4 1 5 0 1 AD k ， 即15k，则2210k，3 1 211k ， 即 23 1 xy x 的取值
14、范围是3,11 10【答案】D 【解析】由实数x，y满足约束条件 2 239 0 xy xy x 作出可行域，如图： (0, 3)A，(0,2)C，OAOC，联立 2 239 xy xy ，解得(3, 1)B， 22 xy的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方， 其最大值 2 22 3( 1)10OB ，故选 D 11【答案】D 【解析】由约束条件 24 48 1 xy xy xy 作出可行域如图， 联立 1 48 xy xy ，解得(3,4)A， 2222 2(1)1xyxxy， 其几何意义为可行域内的动点与定点(1,0)P距离的平方减1， P到直线24xy的距离 |2 14|2 5 55
15、 d ， 22 |(3 1)(40)2 5PA 22 2xyx的取值范围是 1 ,19 5 12【答案】A 【解析】设开设初中班x个，高中班y个，利润为z，则23zxy 由题意得x，y满足的条件为 * * 2654461200 2030 0, 0, xyxy xy xx yy N N ，即 * * 240 2030 0, 0, xy xy xx yy N N ， 画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示 由23zxy，得 2 33 z yx 平移直线 2 33 z yx （图中的虚线）， 结合图形可得，当直线经过可行域内的点M时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值 由 30 240 x
16、y xy ，解得 20 10 x y ， 故点M的坐标为(20,10)， max 2 303 1070z （万元）， 即第一年利润最大为70万元，故选 A 二、填空题 13【答案】2 【解析】作出可行域如图所示，则目标函数2zxy的最小值即为直线2yxz 满足约束条件下取得的截距 的最小值，则利用平移法平移直线2yx ， 通过图象可知，当直线经过点( 1,0)时截距最小，所以 min 2 ( 1)02z 14【答案】2 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，由zxy得yxz， 平移直线yxz，由图象直线当直txz经过(2,0)B时，直线yxz的截距最小，此时z最大为 2 02z ，就zxy的
17、最大值是2 15【答案】21 【解析】实数x，y满足不等式组 20 250 40 xy xy xy ，对应的平面区域如图， 设区域中的点 00 (,)P xy到直线240 xy的距离为 00 24 5 xy d ， 则有 00 245xyd， 求|24|xy的最大值等价于求点P到直线240 xy的距离最大值， 由图象可知，当点P与点(7,9)A重合时距离最大， 则有 max |7 184| 21z 16【答案】 1 4 【解析】由约束条件可作如图所示的可行域，两直线的交点(4,1)A， 则当过原点的直线过点A时，斜率 01 04 y k x - = - 最大，即 y x 的最大值为 1 4 1
18、7【答案】 4 ,2 5 【解析】如图，由可行域的图知，在点(1,1)处取最大值为2，最小值为原点到直线22xy+=的距离的平方为 4 5 ， 所以 22 xy+的取值范围为 4 ,2 5 18【答案】 1 2 【解析】 1 6 y z x 的几何意义是区域内的点到定点(6, 1)D的斜率， 作出不等式组对应的平面区域， 由图象知AD的斜率最大，由 2 20 x yx ，解得(2,1)A， 此时 1 11 262 z ，故答案为 1 2 19【答案】2 【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域， 易知|OM的最小值即为原点到直线20 xy的距离，即 min 2 |2 2 OM 20【答案】
19、22 【解析】作出不等式组 10 30 2 xy xy x ，表示的平面区域，如图阴影部分所示， 即ABC及其内部，其中(1,2)A，)(2,1B，(2,3)C 令 22 uxy，其表示阴影部分的点到坐标原点的距离的平方 显然在点C处 22 xy取得最大值m，则 22 2313m 而原点到直线30 xy的距离 22 | 3|3 2 11 d ，且| |5OAOB， 22 xy的最小值 2 39 () 22 n ，故 9 13 2 xmxnyy， 令 9 13 2 zxy，可得 262 99 yxz ， 故当直线 262 99 yxz 经过点(1,2)A时，z取得最小值， 最小值为 9 13 1
20、222 2 z 21【答案】 1 ,22 2 【解析】根据AB蛊，可知A蛊，从而 2 2 m m，解得0m或 1 2 m 集合B表示夹在两条平行直线 1: 20lxym+ -=与 2: (21)0lxym+ -+=之间的带形区域 当0m时，如图 1，集合A是以(2,0)P为圆心，m为半径的圆面， 由于点P总在直线 2 l的上方，只需 2 l与圆 222 (2)xym-+=有公共点即可， 令 20(21) 2 m m ，解得 2 1 2 m ，与0m相矛盾，故此时无解； 当 1 2 m 时，如图 2，集合A表示以(2,0)P为圆心，以 2 m 和m为半径的圆环面，只需 1 l， 2 l中至少有一条与 圆 222 (2)xym-+=有公共点即可， 令 20(21) 2 m m 或 202 ) 2 m m ，解得 2 1 2 m 或2222m， 又 1 2 m ，故 1 22 2 m， 综上可得，m的取值范围为 1 ,22 2 22【答案】35 【解析】设A，B两区参加活动同学的人数分别为x，y，受到服务的老人人数为z， 则53zxy，且 1 3537 1 , yx xy x x yN ，作出可行域，如图， 平移直线53zxy，由图可知，当直线53zxy过点(4,5)M时，z最大， 当4x，5y 时，z取得最大值为35， 即接受服务的老人最多有35人
