1、已知集合 Ax|（x） （x+3）0，Bx|2x2，则 AB（ ） Ax|3x2 Bx|3x Cx|2x Dx|2x2 2 （5 分） 已知复数 zi （ai） （i 为虚数单位， aR） ， 若 1a2， 则|z|的取值范围为 （ ） A （，） B （，2） C （2，） D （1，2） 3 （5 分） 周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节 气， 每个节气晷长损益相同 （晷是按照日影测定时刻的仪器， 晷长即为所测影子的长度） ， 夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长 依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为
2、 49.5 尺，夏至、大暑、处 暑三个节气晷长之和为 10.5 尺，则立秋的晷长为（ ） A1.5 尺 B2.5 尺 C3.5 尺 D4.5 尺 4（5 分） 在ABC 中， 已知A45， AB6， 且 AB 边上的高为 2， 则 sinC （ ） A B C D 5 （5 分）一个底面半径为 2 的圆锥，其内部有一个底面半径为 1 的内接圆柱，若其内接圆 柱的体积为，则该圆锥的体积为（ ） A2 B C D 6 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且在（0，+）上单调递减，f（3） 0，则不等式 f（x1）0 的解集为（ ） A （3，3） B （，2）（1，4） C （，
3、4）（1，2） D （，3）（0，3） 7 （5 分）已知双曲线的右焦点为 F，过点 F 分别作双曲线的两 条渐近线的垂线，垂足分别为 A，B若，则该双曲线的离心率为（ ） A B2 C D 8 （5 分）已知四边形 ABCD 中，ADBC，A30，AB2，AD5，E 在 CB 的延 长线上，且 AEBE，则（ ） 第 2 页（共 28 页） A1 B2 C D 9 （5 分） （x+y+2）6的展开式中，xy3的系数为（ ） A120 B480 C240 D320 10 （5 分）把函数 f（x）2sinx 的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上 所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不
4、变）得到函数 g（x）的图象，关于 g（t）的 说法有：函数 g（x）的图象关于点对称；函数 g（x）的图象的一条对称 轴是 x；函数 g（x）在，上的最上的最小值为；函数 g（x）0， 上单调递增，则以上说法正确的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 11 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB2AD2a，E 是 AB 的中点，将ADE 沿直 线 DE 翻折成A1DE，连接 A1C若当三棱锥 A1CDE 的体积取得最大值时，三棱锥 A1CDE 外接球的体积为，则 a（ ） A2 B C2 D4 12 （5 分）已知函数 f（x）+cosx1（aR） ，若函数 f（x
5、）有唯一零点，则 a 的 取值范围为（ ） A （，0） B （，01，+） C （，11，+） D （，0）1，+） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 zy2x 的最大值是 14 （5 分）已知 cos（+），则 sin（2+） 15（5分） 从正方体的6个面的对角线中， 任取2条组成1对， 则所成角是60的有 对 16 （5 分）如图，直线 l 过抛物线 y24x 的焦点 F 且交抛物线于 A，B 两点，直线 l 与圆（x 1）2+y21 交于 C，D 两点，若 2|AC|BD
6、|，设直线 l 的斜率为 k，则 k2 第 3 页（共 28 页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分）已知数列an和bn满足 anbn+1an+1bn2anan+10，且 a11，b11，设 cn （1）求数列cn的通项公式； （2）若an是等比数列，且 a23，求数列b
7、n的前 n 项和 Sn 18 （12 分）为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的 质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取 100 件产品进行质量检测， 所有产品质量指标值均在（15，45以内，规定质量指标值大于 30 的产品为优质品，质 量指标值在（15，30的产品为合格品旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方 图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示 质量指标 频数 （15，20 2 （20，25 8 （25，30 20 （30，35 30 （35，40 25 （40，45 15 合计 100 （1）请分别估计新、旧设备所生产的产品
8、的优质品率 第 4 页（共 28 页） （2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越 高根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件） ，并判断是否有 95%的把握认为“产 品质量高与新设备有关” 非优质品 优质品 合计 新设备产品 旧设备产品 合计 附： P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 K2其，中 na+b+c+d （3）用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取 3 件产品，其中优质品数为 X 件，求 X 的分布列及数学期望 19
9、（12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是菱形，PAPC，BDPA，E 是 BC 上一点，且 EC3BE，设 ACBDO （1）证明：PO平面 ABCD； （2）若BAD60，PAPE，求二面角 APEC 的余弦值 第 5 页（共 28 页） 20 （12 分）已知椭圆 C：的焦点为 F1（c，0） ，F2（c，0） ，P 是 椭圆 C 上一点若椭圆 C 的离心率为，且 PF1F1F2，PF1F2的面积为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知 O 是坐标原点，向量 （1，1）过点（2，0）的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点若点 Q（x，y）满足 1，+OQ，求 的
10、最小值 21 （12 分）已知函数 f（x）aexexa（ae） ，其中 e 为自然对数的底数 （1）若函数 f（x）的极小值为1，求 a 的值； （2）若 a1，证明：当 x0 时，f（x）+2xxln（x+1）0 成立 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为1，以原点 O 为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐
11、标方程为 （1）求直线 l 的直角坐标方程； （2）已知 P 是曲线 C 上的一动点，过点 P 作直线 l1交直线于点 A，且直线 l1与直线 l 的夹角为 45，若|PA|的最大值为 6，求 a 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1|+|x+3| （1）解不等式：f（x）6； （2）若 a，b，c 均为正数，且 a+b+cf（x）min，证明： （a+1）2+（b+1）2+（c+1）2 第 6 页（共 28 页） 2020 年广东省高考数学二模试卷（理科）年广东省高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择
12、题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 Ax|（x） （x+3）0，Bx|2x2，则 AB（ ） Ax|3x2 Bx|3x Cx|2x Dx|2x2 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|（x） （x+3）0x|3x， Bx|2x2， ABx|2 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （5 分） 已知复数 zi （ai） （i 为虚数单位，
13、aR） ， 若 1a2， 则|z|的取值范围为 （ ） A （，） B （，2） C （2，） D （1，2） 【分析】根据复数的基本运算法则进行化简，再求复数模的范围即可 【解答】解：因为复数 zi（ai）1+ai，所以|z|，由于 1a2，即 1a2 4，则|z|的取值范围为（，） ， 故选：A 【点评】本题主要考查复数的乘法运算及模长的计算，比较基础 3 （5 分） 周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节 气， 每个节气晷长损益相同 （晷是按照日影测定时刻的仪器， 晷长即为所测影子的长度） ， 夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节
14、气，其晷长 依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为 49.5 尺，夏至、大暑、处 暑三个节气晷长之和为 10.5 尺，则立秋的晷长为（ ） A1.5 尺 B2.5 尺 C3.5 尺 D4.5 尺 【分析】由夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节 气，其晷长依次成等差数列an，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为 49.5 尺， 第 7 页（共 28 页） 夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为 10.5 尺，可得：9a1+36d49.5，a1+a3+a510.5， 即 3a1+6d10.5解出利用通项公式即可得出 【解答】解：夏至、小暑、大暑、立秋、处
15、暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九 个节气，其晷长依次成等差数列an， 经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为 49.5 尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之 和为 10.5 尺， 9a1+36d49.5，a1+a3+a510.5，即 3a1+6d10.5 解得 d1，a11.5 立秋的晷长a41.5+34.5 故选：D 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 4（5 分） 在ABC 中， 已知A45， AB6， 且 AB 边上的高为 2， 则 sinC （ ） A B C D 【分析】由已知可求 AD，利用勾股定理可求 AC，由余弦定理可得 BC
16、，进而根据正弦定 理可得 sinC 的值 【解答】解：如图，在ABC 中，A45，AB6，且 AB 边上的高 CD 为 2， AD2，AC4， 由余弦定理可得 BC ， 由正弦定理，可得 sinC 故选：B 【点评】本题主要考查了勾股定理，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考 查了计算能力和转化思想，属于基础题 第 8 页（共 28 页） 5 （5 分）一个底面半径为 2 的圆锥，其内部有一个底面半径为 1 的内接圆柱，若其内接圆 柱的体积为，则该圆锥的体积为（ ） A2 B C D 【分析】由题意画出图形，由圆柱的体积求得圆柱的高，再由相似三角形对应边成比例 求得圆锥的高，则圆锥体积
17、可求 【解答】解：作出该几何体的轴截面图如图， BC2，BD1，设内接圆柱的高为 h， 由，得 h CABCED， ，即，得 AB2， 该圆锥的体积为 故选：D 【点评】本题主要考查了圆锥的内接圆柱的体积，考查数形结合的解题思想方法，是基 础题 6 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且在（0，+）上单调递减，f（3） 0，则不等式 f（x1）0 的解集为（ ） A （3，3） B （，2）（1，4） C （，4）（1，2） D （，3）（0，3） 【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得函数的大致图象，据此分析可得 关于 x 的取值范围，即可得答案 【解答】解：根据
18、题意，函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且在（0，+）上单调递 减， 则 f（x）在（，0）上递减， 又由 f（3）0，则 f（3）0，则函数 f（x）的草图如图： 第 9 页（共 28 页） 若 f（x1）0，则有，解可得， 即不等式的解集为（，2）（1，4） ； 故选：B 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意作出函数的简图，分析不等 式的解集 7 （5 分）已知双曲线的右焦点为 F，过点 F 分别作双曲线的两 条渐近线的垂线，垂足分别为 A，B若，则该双曲线的离心率为（ ） A B2 C D 【分析】由题意画出图形，可得渐近线的倾斜角，得到，则离心率可求 【解答】解：
19、如图， 由，得AOB90， 即AOF45，即 ab 则 e 第 10 页（共 28 页） 故选：D 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线离心 率的求法，是基础题 8 （5 分）已知四边形 ABCD 中，ADBC，A30，AB2，AD5，E 在 CB 的延 长线上，且 AEBE，则（ ） A1 B2 C D 【 分 析 】 先 由 余 弦 定 理 求 得， 再 根 据 题 设 条 件 求 得 BE 2 ， 而 展开，利用数量积公式化简求解即可 【解答】解：在ABD 中，由余弦定理有，BD2AB2+AD22ABADcos30 ， ， 易知ABEA30，又 AEB
20、E，故， 故选：A 【点评】本题考查平面向量数量积的综合运用，涉及了余弦定理的运用，考查运算求解 能力，属于中档题 9 （5 分） （x+y+2）6的展开式中，xy3的系数为（ ） A120 B480 C240 D320 【分析】把（x+y+2）6的展开式看成 6 个因式（x+y+2）的乘积形式，从中任意选 1 个因 式，这个因式取 x，再取 3 个因式，这 3 个因式都取 y，剩余 2 个因式取 2，相乘即得含 xy3的项，求出 xy3项的系数 第 11 页（共 28 页） 【解答】解：把（x+y+2）6的展开式看成 6 个因式（x+y+2）的乘积形式， 从中任意选 1 个因式，这个因式取
21、x，再取 3 个因式，这 3 个因式都取 y， 剩余 2 个因式取 2，相乘即得含 xy3的项； 故含 xy3项的系数为：22240 故选：C 【点评】本题考查了排列组合与二项式定理的应用问题，是综合性题目 10 （5 分）把函数 f（x）2sinx 的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上 所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数 g（x）的图象，关于 g（t）的 说法有：函数 g（x）的图象关于点对称；函数 g（x）的图象的一条对称 轴是 x；函数 g（x）在，上的最上的最小值为；函数 g（x）0， 上单调递增，则以上说法正确的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1
22、 个 【分析】通过平移变换与伸缩变换求得函数 g（x）的解析式由 g（）0 判断错 误；由 g（）2 求得最小值判断正确；由 x 的范围求得函数值域判断正确； 由 x 的范围可知函数 g（x）在0，上不单调判断错误 【解答】解：把函数 f（x）2sinx 的图象向右平移个单位长度，得 y2sin（x） ， 再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数 g（x） 的图象， 则 g（x）2sin（2x） g（）2sin（）0，函数 g（x）的图象不关于点对 称，故错误； g（）2sin（）2，函数 g（x）的图象的一条对称轴是 x ，故正确； 当 x，时，2x，则 2sin
23、（2x），2， 第 12 页（共 28 页） 即函数 g（x）在，上的最上的最小值为，故正确； 当 x0，时，2x，可知函数 g（x）在0，上不单调，故错 误 正确命题的个数为 2 故选：C 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查 yAsin（x+）型函数的图象与性质， 是中档题 11 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB2AD2a，E 是 AB 的中点，将ADE 沿直 线 DE 翻折成A1DE，连接 A1C若当三棱锥 A1CDE 的体积取得最大值时，三棱锥 A1CDE 外接球的体积为，则 a（ ） A2 B C2 D4 【分析】要想体积最大，需高最大，当A1DE面 BCDE
24、时体积最大，根据对应球的体 积即可求解结论 【解答】解：在矩形 ABCD 中，已知 AB2AD2a，E 是 AB 的中点， 所以：A1DE 为等腰直角三角形； 斜边 DE 上的高为：AKDEa； 要想三棱锥 A1CDE 的体积最大；需高最大，则当A1DE面 BCDE 时体积最大， 此时三棱锥 A1CDE 的高等于：DEa； 取 DC 的中点 H，过 H 作下底面的垂线； 此时三棱锥 A1CDE 的外接球球心在 OH 上； 三棱锥 A1CDE 外接球的体积为； 所以球半径 R； 如图 OH2OC2CH2； AO2AG2+GO2； 第 13 页（共 28 页） 即：R2a2OH2； R2（aOH）
25、2+（a）2； 联立可得 a； 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和 转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于中档题型 12 （5 分）已知函数 f（x）+cosx1（aR） ，若函数 f（x）有唯一零点，则 a 的 取值范围为（ ） A （，0） B （，01，+） C （，11，+） D （，0）1，+） 【分析】求导，构造辅助函数 g（x）f（x）sinx+ax，则 g（x）cosx+a， 当 a1 时，可知 g（x）在 R 上单调递增，g（0）0，即可判断 f（x）在0，+）上 为增函数，在（，0）上为减函数，由 f（x）0，即可证
26、明，当 a1 时，f（x）有 唯一的零点；然后验证 a0 时，函数的零点的个数，判断选项即可 【解答】解：因为 f（x）sinx+ax（xR） 令 g（x）sinx+ax，则 g（x）cosx+a， 所以当 a1 时，g（x）cosx+a0，即 g（x）在 R 上单调递增， 又 g（0）sin00， 所以 x0，+） ，f（x）0，当 x（，0） ，f（x）0， 所以 f（x）在0，+）上为增函数，在（，0）上为减函数， 又 f（0）0，所以当 x0，+） ，f（x）0， 当 x（，0） ，对 xR 恒成立，即当 a1 时，f（x）0， 且当且仅当 x0，f（x）0， 第 14 页（共 28
27、页） 故当 a1 时，f（x）有唯一的零点； 排除 A， 当 a0 时，f（x）cosx1，令 f（x）0，可得 cosx1，有无数解，所以 a0，不成 立，排除 BC， 故选：D 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及含量，分 类讨论思想的应用，是中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 zy2x 的最大值是 6 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数的答案 【解答】
28、解：由 x，y 满足约束条件，作出可行域如图， 联立，解得 A（1，4） ， 化目标函数 zy2x 为直线方程的斜截式：y2x+Z 由图可知， 当直线 y2x+Z 过 A 时， 直线在 y 轴上的截距最大， Z 有最大值为 42 （ 1）6； 故答案为：6 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题 14 （5 分）已知 cos（+），则 sin（2+） 【分析】由已知结合诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解 第 15 页（共 28 页） 【解答】解：cos（+）， 则 sin（2+）sin（2+）cos（2） 故答案为： 【点评】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式
29、在三角化简求值中的应用，属于基础试 题 15 （5 分）从正方体的 6 个面的对角线中，任取 2 条组成 1 对，则所成角是 60的有 48 对 【分析】根据题意，由正方体几何结构分析可得：每一条对角线和另外的 8 条构成 8 对 直线所成角为 60，进而可得共有 128 对对角线所成角为 60，并且容易看出有一半 是重复的，据此分析可得答案 【解答】解：根据题意，如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 与平面 A1B1C1D1中一条对角线 A1C1成 60的直线有 A1D，B1C，A1B，D1C，BC1，AD1， C1D，B1A，共 8 条直线， 则包含 A1C1在内的符合题意的对角线
30、有 8 对； 又由正方体 6 个面，每个面有 2 条对角线，共有 12 条对角线，则共有 12896 对面对 角线所成角为 60， 而其中有一半是重复的； 则从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60的共有 48 对 故答案为：48 第 16 页（共 28 页） 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及正方体的几何结构，属于基础题 16 （5 分）如图，直线 l 过抛物线 y24x 的焦点 F 且交抛物线于 A，B 两点，直线 l 与圆（x 1） 2+y21 交于 C， D 两点， 若 2|AC|BD|， 设直线 l 的斜率为 k， 则 k2 16+12 【分析】由题意设直线
31、 AB 的方程与抛物线联立求出两根之和，进而求出弦长|AB|的值， 再由圆的方程可得圆心为抛物线的焦点可得|CD|为圆的直径，求出|AC|+|BD|的值，再由 题意可得|AC|的值，由题意可得 A 的横坐标，代入直线的方程，可得 A 的纵坐标，代入 抛物线的方程中可得斜率的平方的值 【解答】解：由题意圆（x1）2+y21 的圆心为抛物线的焦点 F， 再由题意可得直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为：xmy+1，m， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立直线与抛物线的方程：， 整理可得 y24my40，y1+y24m，所以 x1+x24m2+2， 由抛物线的性质可得：弦
32、长|AB|x1+x2+p4m2+2+24m2+4， 由题意可得|CD|为（x1）2+y21 的直径 2， 所以|AC|+|BD|AB|CD|4m2+424m2+2， 而 2|AC|BD|，所以可得：|AC|+， 第 17 页（共 28 页） 因为|AC|AF|r|AF|1（xA+1）1xA， 所以 xA+，代入直线 AB 中可得 yA， 即 A（+，） ， 将 A 点坐标代入抛物线的方程（）24 （+） ，整理可得32 0， 解得16， 因为0，所以 k216+12， 故答案为：16+12 【点评】本题考查抛物线的性质及求点的坐标，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出
33、文字说明、证明过程或演算步骤第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分）已知数列an和bn满足 anbn+1an+1bn2anan+10，且 a11，b11，设 cn （1）求数列cn的通项公式； （2）若an是等比数列，且 a23，求数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式 （2）利用乘公比错位相减法的应用求
34、出结果 【解答】解： （1）依题意，由 anbn+1an+1bn2anan+10，可得 anbn+1an+1bn2anan+1， 第 18 页（共 28 页） 两边同时乘以，可得 2，即 cn+1cn2， c11， 数列cn是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， cn1+2（n1）2n1，nN* （2）由题意，设等比数列an的公比为 q，则 q3， 故 an13n 13n1，nN* 由（1）知，cn2n1，且 cn， 则 bncnan（2n1） 3n 1， 所以：， ， 得：2， ， 2（2n2）3n， 所以 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法的应 用，
35、主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型 18 （12 分）为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的 质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取 100 件产品进行质量检测， 所有产品质量指标值均在（15，45以内，规定质量指标值大于 30 的产品为优质品，质 量指标值在（15，30的产品为合格品旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方 图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示 第 19 页（共 28 页） 质量指标 频数 （15，20 2 （20，25 8 （25，30 20 （30，35 30 （35，40 25 （40，
36、45 15 合计 100 （1）请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率 （2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越 高根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件） ，并判断是否有 95%的把握认为“产 品质量高与新设备有关” 非优质品 优质品 合计 新设备产品 旧设备产品 合计 附： P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 K2其，中 na+b+c+d （3）用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取 3 件产品，其中优质品数为 X 件
37、，求 X 的分布列及数学期望 第 20 页（共 28 页） 【分析】 （1）由频数分布表可知，将（30，45的频数相加，再除以 100，即为新设备的 优质品率；由频率分布直方图可知，将（30，45的频率/组距相加，再乘以组距即为旧设 备的优质品率； （2）先填写 22 列联表，再根据 K2的公式计算其观测值，并与附表中的数据进行对比 即可作出判断； （3）由（1）知，新设备所生产的优质品率为 0.7，而 X 的所有可能取值为 0，1，2，3， 然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个 X 的取值所对应的概率即可得分布列，进 而求得数学期望 【解答】解： （1）估计新设备所生产的产品的优质品率为
38、， 估计旧设备所生产的产品的优质品率为 5（0.06+0.03+0.02）100%55% （2）补充完整的 22 列联表如下所示， 非优质品 优质品 合计 新设备产品 30 70 100 旧设备产品 45 55 100 合计 75 125 200 ， 有 95%的把握认为“产品质量高与新设备有关” （3）由（1）知，新设备所生产的优质品率为 0.7，而 X 的所有可能取值为 0，1，2，3， P（X0）0.027， P（X1）0.189， P（X2）0.441， 第 21 页（共 28 页） P（X3）0.343 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0
39、.343 数学期望 E（X）00.027+10.189+20.441+30.3432.1 【点评】本题考查频率分布直方图、频数分布表、独立性检验、二项分布、离散型随机 变量的分布列和数学期望等知识点，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是菱形，PAPC，BDPA，E 是 BC 上一点，且 EC3BE，设 ACBDO （1）证明：PO平面 ABCD； （2）若BAD60，PAPE，求二面角 APEC 的余弦值 【分析】 （1）由已知可得 BDAC，BDPA，由直线与平面垂直的判定可得 BD平面 PAC，得到 BDPO再由
40、POAC进一步得到 PO平面 ABCD； （2）由（1）知，PO平面 ABCD，BDAC以 O 为坐标原点，分别以 OA，OB，OP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系设四边形 ABCD 的边长为 4，POa由 PA PE 列式求解 a，可得所用点的坐标，再求出平面 PAE 与平面 PEC 的一个法向量，由 两法向量所成角的余弦值可得二面角 APEC 的余弦值 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是菱形，O 是 AC 的中点，BDAC， BDPA，PAACA，BD平面 PAC， PO平面 PAC，BDPO PAPC，O 是 AC 的中点，POAC AC平面 ABCD，BD平面 A
41、BCD，ACBDO， PO平面 ABCD； （2）解：由（1）知，PO平面 ABCD，BDAC 以 O 为坐标原点，分别以 OA，OB，OP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 第 22 页（共 28 页） 设四边形 ABCD 的边长为 4，POa 四边形 ABCD 是菱形，BAD60，ABD 与BCD 都是等边三角形 OAOC2 P（0，0，a） ，A（，0，0） ，C（2，0，0） ，E（，0） ， ， PAPE， 即3+a20，得 a ， 设平面 PAE 的法向量为， 由，取 z12，得； 设平面 PEC 的一个法向量为， 由，取 x21，得 设二面角 APEC 的平面角为 ，
42、 则 cos 二面角 APEC 的余弦值为 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 空间向量求解空间角，是中档题 第 23 页（共 28 页） 20 （12 分）已知椭圆 C：的焦点为 F1（c，0） ，F2（c，0） ，P 是 椭圆 C 上一点若椭圆 C 的离心率为，且 PF1F1F2，PF1F2的面积为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知 O 是坐标原点，向量 （1，1）过点（2，0）的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点若点 Q（x，y）满足 1，+OQ，求 的最小值 【分析】 （1）根据题意可得方程组联立，解得 b，a，进而得出椭圆 C 的
43、方 程 （2）设直线 l 的方程为：yk（x2） ，设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，联立直线 l 与椭圆 的方程，得关于 x 的一元二次方程，结合韦达定理得 x1+x2，x1x2， 因为，得（x1+x2，y1+y2）（x，y） ，当 k0 时，0，当 0 时，x ，y，因为 ，所以 x+y1，代入化简得 化简，利用基本不等式可得出答案 【解答】解： （1）依据题意得， 所以，所以 a22b2， 因为 PF1F1F2，故设 P（c，y0） ，代入椭圆方程得 y0， 所以PF1F2的面积为：c 联立，解得 b1，a， 第 24 页（共 28 页） 所以椭圆 C 的方程为： （2）由题意
44、可知直线 l 的斜率显然存在，故设直线 l 的方程为：yk（x2） ， 联立，消去 y 并整理得（1+2k2）x28k2x+8k220， 所以（8k2）24（1+2k2） （8k22）0， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 所以 x1+x2，x1x2， 因为， 所以（x1+x2，y1+y2）（x，y） ， 当 k0 时，0， 当 0 时，x，y ， 因为，所以 x+y1，所以， 所以 4（1）4（1）4（1 ）42， 当且仅当 k时取等号，且 k满足0，所以 2， 综上 min2 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，向量问题，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）aexexa（ae） ，其中 e 为自然对数的底数 （1）若函数 f（x）的极小值为1，求 a 的值； （2）若 a1，证明：当 x0 时，f（x）+2xxln（x+1）0 成立 【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，得到 elna a+10，令 m（x）elnxx+1（0xe） ，根据函数的单调性求出 a 的值即可；（2）令 g（x）ex+（2e）x1x2（x0） ，求出 ex+（2e）x1x2（x0）
