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2020年广东省高考数学二模试卷(理科)含详细解答

1、已知集合 Ax|(x) (x+3)0,Bx|2x2,则 AB( ) Ax|3x2 Bx|3x Cx|2x Dx|2x2 2 (5 分) 已知复数 zi (ai) (i 为虚数单位, aR) , 若 1a2, 则|z|的取值范围为 ( ) A (,) B (,2) C (2,) D (1,2) 3 (5 分) 周髀算经是我国古老的天文学和数学著作,其书中记载:一年有二十四个节 气, 每个节气晷长损益相同 (晷是按照日影测定时刻的仪器, 晷长即为所测影子的长度) , 夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气,其晷长 依次成等差数列,经记录测算,这九个节气的所有晷长之和为

2、 49.5 尺,夏至、大暑、处 暑三个节气晷长之和为 10.5 尺,则立秋的晷长为( ) A1.5 尺 B2.5 尺 C3.5 尺 D4.5 尺 4(5 分) 在ABC 中, 已知A45, AB6, 且 AB 边上的高为 2, 则 sinC ( ) A B C D 5 (5 分)一个底面半径为 2 的圆锥,其内部有一个底面半径为 1 的内接圆柱,若其内接圆 柱的体积为,则该圆锥的体积为( ) A2 B C D 6 (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且在(0,+)上单调递减,f(3) 0,则不等式 f(x1)0 的解集为( ) A (3,3) B (,2)(1,4) C (,

3、4)(1,2) D (,3)(0,3) 7 (5 分)已知双曲线的右焦点为 F,过点 F 分别作双曲线的两 条渐近线的垂线,垂足分别为 A,B若,则该双曲线的离心率为( ) A B2 C D 8 (5 分)已知四边形 ABCD 中,ADBC,A30,AB2,AD5,E 在 CB 的延 长线上,且 AEBE,则( ) 第 2 页(共 28 页) A1 B2 C D 9 (5 分) (x+y+2)6的展开式中,xy3的系数为( ) A120 B480 C240 D320 10 (5 分)把函数 f(x)2sinx 的图象向右平移个单位长度,再把所得的函数图象上 所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不

4、变)得到函数 g(x)的图象,关于 g(t)的 说法有:函数 g(x)的图象关于点对称;函数 g(x)的图象的一条对称 轴是 x;函数 g(x)在,上的最上的最小值为;函数 g(x)0, 上单调递增,则以上说法正确的个数是( ) A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 11 (5 分)如图,在矩形 ABCD 中,已知 AB2AD2a,E 是 AB 的中点,将ADE 沿直 线 DE 翻折成A1DE,连接 A1C若当三棱锥 A1CDE 的体积取得最大值时,三棱锥 A1CDE 外接球的体积为,则 a( ) A2 B C2 D4 12 (5 分)已知函数 f(x)+cosx1(aR) ,若函数 f(x

5、)有唯一零点,则 a 的 取值范围为( ) A (,0) B (,01,+) C (,11,+) D (,0)1,+) 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13 (5 分)若 x,y 满足约束条件,则 zy2x 的最大值是 14 (5 分)已知 cos(+),则 sin(2+) 15(5分) 从正方体的6个面的对角线中, 任取2条组成1对, 则所成角是60的有 对 16 (5 分)如图,直线 l 过抛物线 y24x 的焦点 F 且交抛物线于 A,B 两点,直线 l 与圆(x 1)2+y21 交于 C,D 两点,若 2|AC|BD

6、|,设直线 l 的斜率为 k,则 k2 第 3 页(共 28 页) 三、解答题:共三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答。第题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题: 共共 60 分。分。 17 (12 分)已知数列an和bn满足 anbn+1an+1bn2anan+10,且 a11,b11,设 cn (1)求数列cn的通项公式; (2)若an是等比数列,且 a23,求数列b

7、n的前 n 项和 Sn 18 (12 分)为了提高生产效益,某企业引进了一批新的生产设备,为了解设备生产产品的 质量情况,分别从新、旧设备所生产的产品中,各随机抽取 100 件产品进行质量检测, 所有产品质量指标值均在(15,45以内,规定质量指标值大于 30 的产品为优质品,质 量指标值在(15,30的产品为合格品旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方 图所示,新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示 质量指标 频数 (15,20 2 (20,25 8 (25,30 20 (30,35 30 (35,40 25 (40,45 15 合计 100 (1)请分别估计新、旧设备所生产的产品

8、的优质品率 第 4 页(共 28 页) (2)优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标,优质品率越高说明设备的性能越 高根据已知图表数据填写下面列联表(单位:件) ,并判断是否有 95%的把握认为“产 品质量高与新设备有关” 非优质品 优质品 合计 新设备产品 旧设备产品 合计 附: P(K2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 K2其,中 na+b+c+d (3)用频率代替概率,从新设备所生产的产品中随机抽取 3 件产品,其中优质品数为 X 件,求 X 的分布列及数学期望 19

9、(12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,四边形 ABCD 是菱形,PAPC,BDPA,E 是 BC 上一点,且 EC3BE,设 ACBDO (1)证明:PO平面 ABCD; (2)若BAD60,PAPE,求二面角 APEC 的余弦值 第 5 页(共 28 页) 20 (12 分)已知椭圆 C:的焦点为 F1(c,0) ,F2(c,0) ,P 是 椭圆 C 上一点若椭圆 C 的离心率为,且 PF1F1F2,PF1F2的面积为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 O 是坐标原点,向量 (1,1)过点(2,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点若点 Q(x,y)满足 1,+OQ,求 的

10、最小值 21 (12 分)已知函数 f(x)aexexa(ae) ,其中 e 为自然对数的底数 (1)若函数 f(x)的极小值为1,求 a 的值; (2)若 a1,证明:当 x0 时,f(x)+2xxln(x+1)0 成立 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的题中任选一题作答。如果多做,则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的方程为1,以原点 O 为极点,x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐

11、标方程为 (1)求直线 l 的直角坐标方程; (2)已知 P 是曲线 C 上的一动点,过点 P 作直线 l1交直线于点 A,且直线 l1与直线 l 的夹角为 45,若|PA|的最大值为 6,求 a 的值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)|x1|+|x+3| (1)解不等式:f(x)6; (2)若 a,b,c 均为正数,且 a+b+cf(x)min,证明: (a+1)2+(b+1)2+(c+1)2 第 6 页(共 28 页) 2020 年广东省高考数学二模试卷(理科)年广东省高考数学二模试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择

12、题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 (5 分)已知集合 Ax|(x) (x+3)0,Bx|2x2,则 AB( ) Ax|3x2 Bx|3x Cx|2x Dx|2x2 【分析】求出集合 A,B,由此能求出 AB 【解答】解:集合 Ax|(x) (x+3)0x|3x, Bx|2x2, ABx|2 故选:C 【点评】本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础 题 2 (5 分) 已知复数 zi (ai) (i 为虚数单位,

13、aR) , 若 1a2, 则|z|的取值范围为 ( ) A (,) B (,2) C (2,) D (1,2) 【分析】根据复数的基本运算法则进行化简,再求复数模的范围即可 【解答】解:因为复数 zi(ai)1+ai,所以|z|,由于 1a2,即 1a2 4,则|z|的取值范围为(,) , 故选:A 【点评】本题主要考查复数的乘法运算及模长的计算,比较基础 3 (5 分) 周髀算经是我国古老的天文学和数学著作,其书中记载:一年有二十四个节 气, 每个节气晷长损益相同 (晷是按照日影测定时刻的仪器, 晷长即为所测影子的长度) , 夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节

14、气,其晷长 依次成等差数列,经记录测算,这九个节气的所有晷长之和为 49.5 尺,夏至、大暑、处 暑三个节气晷长之和为 10.5 尺,则立秋的晷长为( ) A1.5 尺 B2.5 尺 C3.5 尺 D4.5 尺 【分析】由夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节 气,其晷长依次成等差数列an,经记录测算,这九个节气的所有晷长之和为 49.5 尺, 第 7 页(共 28 页) 夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为 10.5 尺,可得:9a1+36d49.5,a1+a3+a510.5, 即 3a1+6d10.5解出利用通项公式即可得出 【解答】解:夏至、小暑、大暑、立秋、处

15、暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九 个节气,其晷长依次成等差数列an, 经记录测算,这九个节气的所有晷长之和为 49.5 尺,夏至、大暑、处暑三个节气晷长之 和为 10.5 尺, 9a1+36d49.5,a1+a3+a510.5,即 3a1+6d10.5 解得 d1,a11.5 立秋的晷长a41.5+34.5 故选:D 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于 基础题 4(5 分) 在ABC 中, 已知A45, AB6, 且 AB 边上的高为 2, 则 sinC ( ) A B C D 【分析】由已知可求 AD,利用勾股定理可求 AC,由余弦定理可得 BC

16、,进而根据正弦定 理可得 sinC 的值 【解答】解:如图,在ABC 中,A45,AB6,且 AB 边上的高 CD 为 2, AD2,AC4, 由余弦定理可得 BC , 由正弦定理,可得 sinC 故选:B 【点评】本题主要考查了勾股定理,余弦定理,正弦定理在解三角形中的综合应用,考 查了计算能力和转化思想,属于基础题 第 8 页(共 28 页) 5 (5 分)一个底面半径为 2 的圆锥,其内部有一个底面半径为 1 的内接圆柱,若其内接圆 柱的体积为,则该圆锥的体积为( ) A2 B C D 【分析】由题意画出图形,由圆柱的体积求得圆柱的高,再由相似三角形对应边成比例 求得圆锥的高,则圆锥体积

17、可求 【解答】解:作出该几何体的轴截面图如图, BC2,BD1,设内接圆柱的高为 h, 由,得 h CABCED, ,即,得 AB2, 该圆锥的体积为 故选:D 【点评】本题主要考查了圆锥的内接圆柱的体积,考查数形结合的解题思想方法,是基 础题 6 (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且在(0,+)上单调递减,f(3) 0,则不等式 f(x1)0 的解集为( ) A (3,3) B (,2)(1,4) C (,4)(1,2) D (,3)(0,3) 【分析】根据题意,由函数的奇偶性与单调性分析可得函数的大致图象,据此分析可得 关于 x 的取值范围,即可得答案 【解答】解:根据

18、题意,函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且在(0,+)上单调递 减, 则 f(x)在(,0)上递减, 又由 f(3)0,则 f(3)0,则函数 f(x)的草图如图: 第 9 页(共 28 页) 若 f(x1)0,则有,解可得, 即不等式的解集为(,2)(1,4) ; 故选:B 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,注意作出函数的简图,分析不等 式的解集 7 (5 分)已知双曲线的右焦点为 F,过点 F 分别作双曲线的两 条渐近线的垂线,垂足分别为 A,B若,则该双曲线的离心率为( ) A B2 C D 【分析】由题意画出图形,可得渐近线的倾斜角,得到,则离心率可求 【解答】解:

19、如图, 由,得AOB90, 即AOF45,即 ab 则 e 第 10 页(共 28 页) 故选:D 【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查数形结合的解题思想方法,考查双曲线离心 率的求法,是基础题 8 (5 分)已知四边形 ABCD 中,ADBC,A30,AB2,AD5,E 在 CB 的延 长线上,且 AEBE,则( ) A1 B2 C D 【 分 析 】 先 由 余 弦 定 理 求 得, 再 根 据 题 设 条 件 求 得 BE 2 , 而 展开,利用数量积公式化简求解即可 【解答】解:在ABD 中,由余弦定理有,BD2AB2+AD22ABADcos30 , , 易知ABEA30,又 AEB

20、E,故, 故选:A 【点评】本题考查平面向量数量积的综合运用,涉及了余弦定理的运用,考查运算求解 能力,属于中档题 9 (5 分) (x+y+2)6的展开式中,xy3的系数为( ) A120 B480 C240 D320 【分析】把(x+y+2)6的展开式看成 6 个因式(x+y+2)的乘积形式,从中任意选 1 个因 式,这个因式取 x,再取 3 个因式,这 3 个因式都取 y,剩余 2 个因式取 2,相乘即得含 xy3的项,求出 xy3项的系数 第 11 页(共 28 页) 【解答】解:把(x+y+2)6的展开式看成 6 个因式(x+y+2)的乘积形式, 从中任意选 1 个因式,这个因式取

21、x,再取 3 个因式,这 3 个因式都取 y, 剩余 2 个因式取 2,相乘即得含 xy3的项; 故含 xy3项的系数为:22240 故选:C 【点评】本题考查了排列组合与二项式定理的应用问题,是综合性题目 10 (5 分)把函数 f(x)2sinx 的图象向右平移个单位长度,再把所得的函数图象上 所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数 g(x)的图象,关于 g(t)的 说法有:函数 g(x)的图象关于点对称;函数 g(x)的图象的一条对称 轴是 x;函数 g(x)在,上的最上的最小值为;函数 g(x)0, 上单调递增,则以上说法正确的个数是( ) A4 个 B3 个 C2 个 D1

22、 个 【分析】通过平移变换与伸缩变换求得函数 g(x)的解析式由 g()0 判断错 误;由 g()2 求得最小值判断正确;由 x 的范围求得函数值域判断正确; 由 x 的范围可知函数 g(x)在0,上不单调判断错误 【解答】解:把函数 f(x)2sinx 的图象向右平移个单位长度,得 y2sin(x) , 再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数 g(x) 的图象, 则 g(x)2sin(2x) g()2sin()0,函数 g(x)的图象不关于点对 称,故错误; g()2sin()2,函数 g(x)的图象的一条对称轴是 x ,故正确; 当 x,时,2x,则 2sin

23、(2x),2, 第 12 页(共 28 页) 即函数 g(x)在,上的最上的最小值为,故正确; 当 x0,时,2x,可知函数 g(x)在0,上不单调,故错 误 正确命题的个数为 2 故选:C 【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查 yAsin(x+)型函数的图象与性质, 是中档题 11 (5 分)如图,在矩形 ABCD 中,已知 AB2AD2a,E 是 AB 的中点,将ADE 沿直 线 DE 翻折成A1DE,连接 A1C若当三棱锥 A1CDE 的体积取得最大值时,三棱锥 A1CDE 外接球的体积为,则 a( ) A2 B C2 D4 【分析】要想体积最大,需高最大,当A1DE面 BCDE

24、时体积最大,根据对应球的体 积即可求解结论 【解答】解:在矩形 ABCD 中,已知 AB2AD2a,E 是 AB 的中点, 所以:A1DE 为等腰直角三角形; 斜边 DE 上的高为:AKDEa; 要想三棱锥 A1CDE 的体积最大;需高最大,则当A1DE面 BCDE 时体积最大, 此时三棱锥 A1CDE 的高等于:DEa; 取 DC 的中点 H,过 H 作下底面的垂线; 此时三棱锥 A1CDE 的外接球球心在 OH 上; 三棱锥 A1CDE 外接球的体积为; 所以球半径 R; 如图 OH2OC2CH2; AO2AG2+GO2; 第 13 页(共 28 页) 即:R2a2OH2; R2(aOH)

25、2+(a)2; 联立可得 a; 故选:B 【点评】本题考查的知识要点:几何体的体积公式的应用,主要考查学生的运算能力和 转换能力及思维能力及空间想象能力的应用,属于中档题型 12 (5 分)已知函数 f(x)+cosx1(aR) ,若函数 f(x)有唯一零点,则 a 的 取值范围为( ) A (,0) B (,01,+) C (,11,+) D (,0)1,+) 【分析】求导,构造辅助函数 g(x)f(x)sinx+ax,则 g(x)cosx+a, 当 a1 时,可知 g(x)在 R 上单调递增,g(0)0,即可判断 f(x)在0,+)上 为增函数,在(,0)上为减函数,由 f(x)0,即可证

26、明,当 a1 时,f(x)有 唯一的零点;然后验证 a0 时,函数的零点的个数,判断选项即可 【解答】解:因为 f(x)sinx+ax(xR) 令 g(x)sinx+ax,则 g(x)cosx+a, 所以当 a1 时,g(x)cosx+a0,即 g(x)在 R 上单调递增, 又 g(0)sin00, 所以 x0,+) ,f(x)0,当 x(,0) ,f(x)0, 所以 f(x)在0,+)上为增函数,在(,0)上为减函数, 又 f(0)0,所以当 x0,+) ,f(x)0, 当 x(,0) ,对 xR 恒成立,即当 a1 时,f(x)0, 且当且仅当 x0,f(x)0, 第 14 页(共 28

27、页) 故当 a1 时,f(x)有唯一的零点; 排除 A, 当 a0 时,f(x)cosx1,令 f(x)0,可得 cosx1,有无数解,所以 a0,不成 立,排除 BC, 故选:D 【点评】本题考查函数的导数的应用,函数的极值的求法,考查转化思想以及含量,分 类讨论思想的应用,是中档题 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13 (5 分)若 x,y 满足约束条件,则 zy2x 的最大值是 6 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优 解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数的答案 【解答】

28、解:由 x,y 满足约束条件,作出可行域如图, 联立,解得 A(1,4) , 化目标函数 zy2x 为直线方程的斜截式:y2x+Z 由图可知, 当直线 y2x+Z 过 A 时, 直线在 y 轴上的截距最大, Z 有最大值为 42 ( 1)6; 故答案为:6 【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是基础题 14 (5 分)已知 cos(+),则 sin(2+) 【分析】由已知结合诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解 第 15 页(共 28 页) 【解答】解:cos(+), 则 sin(2+)sin(2+)cos(2) 故答案为: 【点评】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式

29、在三角化简求值中的应用,属于基础试 题 15 (5 分)从正方体的 6 个面的对角线中,任取 2 条组成 1 对,则所成角是 60的有 48 对 【分析】根据题意,由正方体几何结构分析可得:每一条对角线和另外的 8 条构成 8 对 直线所成角为 60,进而可得共有 128 对对角线所成角为 60,并且容易看出有一半 是重复的,据此分析可得答案 【解答】解:根据题意,如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中, 与平面 A1B1C1D1中一条对角线 A1C1成 60的直线有 A1D,B1C,A1B,D1C,BC1,AD1, C1D,B1A,共 8 条直线, 则包含 A1C1在内的符合题意的对角线

30、有 8 对; 又由正方体 6 个面,每个面有 2 条对角线,共有 12 条对角线,则共有 12896 对面对 角线所成角为 60, 而其中有一半是重复的; 则从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60的共有 48 对 故答案为:48 第 16 页(共 28 页) 【点评】本题考查排列、组合的应用,涉及正方体的几何结构,属于基础题 16 (5 分)如图,直线 l 过抛物线 y24x 的焦点 F 且交抛物线于 A,B 两点,直线 l 与圆(x 1) 2+y21 交于 C, D 两点, 若 2|AC|BD|, 设直线 l 的斜率为 k, 则 k2 16+12 【分析】由题意设直线

31、 AB 的方程与抛物线联立求出两根之和,进而求出弦长|AB|的值, 再由圆的方程可得圆心为抛物线的焦点可得|CD|为圆的直径,求出|AC|+|BD|的值,再由 题意可得|AC|的值,由题意可得 A 的横坐标,代入直线的方程,可得 A 的纵坐标,代入 抛物线的方程中可得斜率的平方的值 【解答】解:由题意圆(x1)2+y21 的圆心为抛物线的焦点 F, 再由题意可得直线 AB 的斜率不为 0,设直线 AB 的方程为:xmy+1,m, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,联立直线与抛物线的方程:, 整理可得 y24my40,y1+y24m,所以 x1+x24m2+2, 由抛物线的性质可得:弦

32、长|AB|x1+x2+p4m2+2+24m2+4, 由题意可得|CD|为(x1)2+y21 的直径 2, 所以|AC|+|BD|AB|CD|4m2+424m2+2, 而 2|AC|BD|,所以可得:|AC|+, 第 17 页(共 28 页) 因为|AC|AF|r|AF|1(xA+1)1xA, 所以 xA+,代入直线 AB 中可得 yA, 即 A(+,) , 将 A 点坐标代入抛物线的方程()24 (+) ,整理可得32 0, 解得16, 因为0,所以 k216+12, 故答案为:16+12 【点评】本题考查抛物线的性质及求点的坐标,属于中档题 三、解答题:共三、解答题:共 70 分。解答应写出

33、文字说明、证明过程或演算步骤第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答。第题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题: 共共 60 分。分。 17 (12 分)已知数列an和bn满足 anbn+1an+1bn2anan+10,且 a11,b11,设 cn (1)求数列cn的通项公式; (2)若an是等比数列,且 a23,求数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】 (1)直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式 (2)利用乘公比错位相减法的应用求

34、出结果 【解答】解: (1)依题意,由 anbn+1an+1bn2anan+10,可得 anbn+1an+1bn2anan+1, 第 18 页(共 28 页) 两边同时乘以,可得 2,即 cn+1cn2, c11, 数列cn是以 1 为首项,2 为公差的等差数列, cn1+2(n1)2n1,nN* (2)由题意,设等比数列an的公比为 q,则 q3, 故 an13n 13n1,nN* 由(1)知,cn2n1,且 cn, 则 bncnan(2n1) 3n 1, 所以:, , 得:2, , 2(2n2)3n, 所以 【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,乘公比错位相减法的应 用,

35、主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题型 18 (12 分)为了提高生产效益,某企业引进了一批新的生产设备,为了解设备生产产品的 质量情况,分别从新、旧设备所生产的产品中,各随机抽取 100 件产品进行质量检测, 所有产品质量指标值均在(15,45以内,规定质量指标值大于 30 的产品为优质品,质 量指标值在(15,30的产品为合格品旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方 图所示,新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示 第 19 页(共 28 页) 质量指标 频数 (15,20 2 (20,25 8 (25,30 20 (30,35 30 (35,40 25 (40,

36、45 15 合计 100 (1)请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率 (2)优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标,优质品率越高说明设备的性能越 高根据已知图表数据填写下面列联表(单位:件) ,并判断是否有 95%的把握认为“产 品质量高与新设备有关” 非优质品 优质品 合计 新设备产品 旧设备产品 合计 附: P(K2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 K2其,中 na+b+c+d (3)用频率代替概率,从新设备所生产的产品中随机抽取 3 件产品,其中优质品数为 X 件

37、,求 X 的分布列及数学期望 第 20 页(共 28 页) 【分析】 (1)由频数分布表可知,将(30,45的频数相加,再除以 100,即为新设备的 优质品率;由频率分布直方图可知,将(30,45的频率/组距相加,再乘以组距即为旧设 备的优质品率; (2)先填写 22 列联表,再根据 K2的公式计算其观测值,并与附表中的数据进行对比 即可作出判断; (3)由(1)知,新设备所生产的优质品率为 0.7,而 X 的所有可能取值为 0,1,2,3, 然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个 X 的取值所对应的概率即可得分布列,进 而求得数学期望 【解答】解: (1)估计新设备所生产的产品的优质品率为

38、, 估计旧设备所生产的产品的优质品率为 5(0.06+0.03+0.02)100%55% (2)补充完整的 22 列联表如下所示, 非优质品 优质品 合计 新设备产品 30 70 100 旧设备产品 45 55 100 合计 75 125 200 , 有 95%的把握认为“产品质量高与新设备有关” (3)由(1)知,新设备所生产的优质品率为 0.7,而 X 的所有可能取值为 0,1,2,3, P(X0)0.027, P(X1)0.189, P(X2)0.441, 第 21 页(共 28 页) P(X3)0.343 X 的分布列为: X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0

39、.343 数学期望 E(X)00.027+10.189+20.441+30.3432.1 【点评】本题考查频率分布直方图、频数分布表、独立性检验、二项分布、离散型随机 变量的分布列和数学期望等知识点,考查学生对数据的分析与处理能力,属于基础题 19 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,四边形 ABCD 是菱形,PAPC,BDPA,E 是 BC 上一点,且 EC3BE,设 ACBDO (1)证明:PO平面 ABCD; (2)若BAD60,PAPE,求二面角 APEC 的余弦值 【分析】 (1)由已知可得 BDAC,BDPA,由直线与平面垂直的判定可得 BD平面 PAC,得到 BDPO再由

40、POAC进一步得到 PO平面 ABCD; (2)由(1)知,PO平面 ABCD,BDAC以 O 为坐标原点,分别以 OA,OB,OP 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系设四边形 ABCD 的边长为 4,POa由 PA PE 列式求解 a,可得所用点的坐标,再求出平面 PAE 与平面 PEC 的一个法向量,由 两法向量所成角的余弦值可得二面角 APEC 的余弦值 【解答】 (1)证明:四边形 ABCD 是菱形,O 是 AC 的中点,BDAC, BDPA,PAACA,BD平面 PAC, PO平面 PAC,BDPO PAPC,O 是 AC 的中点,POAC AC平面 ABCD,BD平面 A

41、BCD,ACBDO, PO平面 ABCD; (2)解:由(1)知,PO平面 ABCD,BDAC 以 O 为坐标原点,分别以 OA,OB,OP 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 第 22 页(共 28 页) 设四边形 ABCD 的边长为 4,POa 四边形 ABCD 是菱形,BAD60,ABD 与BCD 都是等边三角形 OAOC2 P(0,0,a) ,A(,0,0) ,C(2,0,0) ,E(,0) , , PAPE, 即3+a20,得 a , 设平面 PAE 的法向量为, 由,取 z12,得; 设平面 PEC 的一个法向量为, 由,取 x21,得 设二面角 APEC 的平面角为 ,

42、 则 cos 二面角 APEC 的余弦值为 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用 空间向量求解空间角,是中档题 第 23 页(共 28 页) 20 (12 分)已知椭圆 C:的焦点为 F1(c,0) ,F2(c,0) ,P 是 椭圆 C 上一点若椭圆 C 的离心率为,且 PF1F1F2,PF1F2的面积为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 O 是坐标原点,向量 (1,1)过点(2,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点若点 Q(x,y)满足 1,+OQ,求 的最小值 【分析】 (1)根据题意可得方程组联立,解得 b,a,进而得出椭圆 C 的

43、方 程 (2)设直线 l 的方程为:yk(x2) ,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,联立直线 l 与椭圆 的方程,得关于 x 的一元二次方程,结合韦达定理得 x1+x2,x1x2, 因为,得(x1+x2,y1+y2)(x,y) ,当 k0 时,0,当 0 时,x ,y,因为 ,所以 x+y1,代入化简得 化简,利用基本不等式可得出答案 【解答】解: (1)依据题意得, 所以,所以 a22b2, 因为 PF1F1F2,故设 P(c,y0) ,代入椭圆方程得 y0, 所以PF1F2的面积为:c 联立,解得 b1,a, 第 24 页(共 28 页) 所以椭圆 C 的方程为: (2)由题意

44、可知直线 l 的斜率显然存在,故设直线 l 的方程为:yk(x2) , 联立,消去 y 并整理得(1+2k2)x28k2x+8k220, 所以(8k2)24(1+2k2) (8k22)0, 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 所以 x1+x2,x1x2, 因为, 所以(x1+x2,y1+y2)(x,y) , 当 k0 时,0, 当 0 时,x,y , 因为,所以 x+y1,所以, 所以 4(1)4(1)4(1 )42, 当且仅当 k时取等号,且 k满足0,所以 2, 综上 min2 【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的相交问题,向量问题,属于中档题 21 (12 分)已知函数 f(x)aexexa(ae) ,其中 e 为自然对数的底数 (1)若函数 f(x)的极小值为1,求 a 的值; (2)若 a1,证明:当 x0 时,f(x)+2xxln(x+1)0 成立 【分析】 (1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间,得到 elna a+10,令 m(x)elnxx+1(0xe) ,根据函数的单调性求出 a 的值即可;(2)令 g(x)ex+(2e)x1x2(x0) ,求出 ex+(2e)x1x2(x0)