1、2019 年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| 1x6，集合 Bx|x 24，则 A（ RB）（ ）A x| 1x2 Bx|1x2 C x|2x6 D x|2x62 （5 分）设 i 为虚数单位，则复数 的共轭复数 （ ）A B C D3 （5 分）在样本的频率直方图中，共有 9 个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他 8 个小长方形面积的和的 ，且样本容量为 200，则中间一组的频数为（ ）A0.2 B0.25
2、C40 D504 （5 分）设向量 与向量 垂直，且 （2，k） ， （6，4） ，则下列下列与向量 + 共线的是（ ）A （1，8） B （16，2） C （1，8） D （16，2）5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面积为 ，则其体积为（ ）A B C D6 （5 分）阿基米德（公元前 287 年公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积若椭圆 C 的对称轴为坐标轴，焦点在 y 轴上，且椭圆的离心率为 ，面积为12，则椭圆 C 的方
3、程为（ ）A B第 2 页（共 24 页）C D7 （5 分）设 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，若 BC A，且 b2acos A，则 A（ ）A B C D8 （5 分） 的展开式的各项系数之和为 3，则该展开式中 x3 项的系数为（ ）A30 B80 C50 D1309 （5 分）函数 的部分图象不可能为（ ）A BC D10 （5 分）若函数 f（x ）x 3ke x 在（0，+ ）上单调递减，则 k 的取值范围为（ ）A0，+ ） B C D11 （5 分）已知高为 H 的正三棱锥 PABC 的每个顶
4、点都在半径为 R 的球 O 的球面上，若二面角 PAB C 的正切值为 4，则 （ ）A B C D12 （5 分）已知函数 ，若关于 x 的方程 f（f（x） ）m 有两个不同的实数根 x1，x 2，则 x1+x2 的取值范围为（ ）A2，3） B （2，3） C2 ln2，4） D （2ln2，4）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.第 3 页（共 24 页）13 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为 14 （5 分）若 tan（2 ）4，tan2，则 &
5、nbsp; 15 （5 分）已知函数 f（x ）3 x+9x（tx t+1） ，若 f（ x）的最大值为 12，则 f（x）的最小值为 16 （5 分）已知直线 x2a 与双曲线 C： 的一条渐近线交于点P，双曲线 C 的左、右焦点分别为 F1，F 2，且 ，则双曲线 C 的离心率为 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、怎么过程或演算步骤，第 17-21 题为必考题，每道题考生都必须作答，第 22、23 题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.17 （12 分）已知 Sn 为数列a n的前 n 项和，且 依次成等
6、比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）求数列 的前 n 项和 Tn18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，PD平面ABCD， PADDAB60 ，E 为 AB 中点（1）证明；PECD；（2）求二面角 APE C 的余弦值19 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：x 2 6y 与直线 l：y kx+3 交于 M，N两点（1）设 M，N 到 y 轴的距离分别为 d1，d 2，证明：d 1 和 d2 的乘积为定值；第 4 页（共 24 页）（2）y 轴上是否存在点 p，当 k 变化时，总有OPMOPN？若存在，求点 P 的坐标；
7、若不存在，请说明理由20 （12 分）2019 年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策” 某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午 9：2010：40 这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有 600 辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：209：40 记作区20，40 ） ，9：4010：00 记作40 ， 60） ，10：0010：20 记作60，80 ） ，10：2010：40 记作 80，100） ，例如 10 点 04 分，记作时刻 64（1）估计这 600 辆车在 9：
8、2010：40 时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） ；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这 600 辆车中抽取 10 辆，再从这10 辆车随机抽取 4 辆，设抽到的 4 辆车中，在 9：2010：00 之间通过的车辆数为 X，求 X 的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻 T 服从正态分布 N（ ， 2） ，其中 可用这 600 辆车在 9：2010：40 之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替， 2 可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） ，已知大年初五全天共有 1000 辆车通过该
9、收费点，估计在 9：4610：40 之间通过的车辆数（结果保留到整数） 若 TN（ ， 2）则 P（ T +）0.6827，P（2T+2）0.9545，P（3T +3）0.997321 （12 分）已知函数 （1）讨论函数 在（1，+）上的单调性；（2）若 a0，不等式 x2f（x）+a2e 对 x（0，+）恒成立，求 a 的取值范围选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计第 5 页（共 24 页）分.选项 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，已知曲线 C
10、的极坐标方程为 24cos6sin+120（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）过曲线 C 上一动点 P 分别作极轴、直线 cos 1 的垂线，垂足分别为 M，N，求|PM |+|PN|的最大值选项 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）|x +1|+|2x| k（1）当 k4 时，求不等式 f（x）0 的解集；（2）若不等式 对 xR 恒成立，求 k 的取值范围第 6 页（共 24 页）2019 年广东省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax
11、| 1x6，集合 Bx|x 24，则 A（ RB）（ ）A x| 1x2 Bx|1x2 C x|2x6 D x|2x6【分析】求出集合 B 的等价条件，结合补集交集的定义进行求解即可【解答】解：Bx| x24x|2x2，则 RBx| x2 或 x2，则 A（ RB）x |2x 6，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用交集补集的定义是解决本题的关键2 （5 分）设 i 为虚数单位，则复数 的共轭复数 （ ）A B C D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算得答案【解答】解： ， 故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的
12、基本概念，是基础题3 （5 分）在样本的频率直方图中，共有 9 个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他 8 个小长方形面积的和的 ，且样本容量为 200，则中间一组的频数为（ ）A0.2 B0.25 C40 D50【分析】设其他 8 组的频率数和为 m，则由题意得：m + m200，由此能求出中间一组的频数【解答】解：在样本的频率直方图中，共有 9 个小长方形，中间一个长方形的面积等于其他 8 个小长方形面积的和的 ，且样本容量为 200，第 7 页（共 24 页）设其他 8 组的频率数和为 m，则由题意得：m+ m200，解得 m150，中间一组的频数为 50故选：D【点评】
13、本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4 （5 分）设向量 与向量 垂直，且 （2，k） ， （6，4） ，则下列下列与向量 + 共线的是（ ）A （1，8） B （16，2） C （1，8） D （16，2）【分析】根据 即可得出 ，从而得出 k3，从而可求出 ，从而可找出与 共线的向量【解答】解： ； ；k3； ； ；（16，2）与 共线故选：B【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面积为 ，则其体积为（ &nbs
14、p;）第 8 页（共 24 页）A B C D【分析】首先把几何体的三视图进行转换，进一步利用表面积公式的应用求出结果【解答】解：将三视图还原可知该几何体为球体的 ，S3 + ，r ，几何体的体积为： 故选：A【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型6 （5 分）阿基米德（公元前 287 年公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积若椭圆 C 的对称轴为坐标轴，焦点在 y 轴上，且椭圆的离心率为 ，面积为12，则椭圆
15、C 的方程为（ ）A BC D【分析】利用已知条件列出方程组，求出 a，b，即可得到椭圆方程【解答】解：由题意可得： ，解得 a4，b3，因为椭圆的焦点坐标在 y 轴上，所以椭圆方程为： 第 9 页（共 24 页）故选：A【点评】本题考查椭圆飞简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力7 （5 分）设 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，若 BC A，且 b2acos A，则 A（ ）A B C D【分析】由正弦定理化简已知等式可得：sinBsin2 A，可求 B2A，或 B 2A，根据三角形的内角和定理即可得解 A 的值【解答】解：在ABC 中，b2
16、acos A，由正弦定理可得：sinB2sinAcosAsin2A，B2A ，或 B 2A ，BCA，当 B2A 时，由于 A+B+C5A ，可得：A ；当 B2A 时，由于 A+B+CB+2A，可得：BCA（舍去） 综上，A 故选：B【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和定理在解三角形中的综合应用，属于基础题8 （5 分） 的展开式的各项系数之和为 3，则该展开式中 x3 项的系数为（ ）A30 B80 C50 D130【分析】令 x1 得各项系数为 3，求出 n 的值，结合展开式项的系数进行求解即可【解答】解：令 x1 得各项系数和为（2n） （12） 53，即 n23
17、，得 n5，多项式为（2x 25） （x ） 5，二项式（x ） 5 的通项公式为 Tk+1C 5kx5k （ ） k（2） kC5kx52k ，若第一个因式是 2x2，则第二个因式为 x，即当 k2 时，因式为 4C52x40x，此时2x240x80x 3，第 10 页（共 24 页）若第一个因式是5，则第二个因式为 x3，即当 k1 时，因式为2C 51x310x 3，此时5（10）x 350x 3，则展开式中 x3 项的为 80x3+50x3130x 3，即 x3 的系数为 130故选：D【点评】本题主要考查二项式定理的应用，令 x1 求出各项系数和以及通过通项公式求出对应项的系数是解决
18、本题的关键9 （5 分）函数 的部分图象不可能为（ ）A BC D【分析】根据三角函数的图象判断周期性性以及对称轴是否对应即可得到结论【解答】解：A由图象知函数的周期 T2，则 2 得 1，此时 f（x）2sin（x ） 2cosx 为偶函数，对应图象为 A，故 A 图象可能B由图象知函数的周期 T （ ） ，即 ，得3 ，当 3 时，此时 f（x ）2sin（3x ） ，f（ ）2sin （3 ）2sin2，即 B 图象不可能，当 3 时，此时 f（x ）2sin （3x+ ） ，f（ ）2sin （3 + ）2sin 2，即 B 图象不可能，C由图象知函数的周期 T4 ，则 4
19、 得 ，当 时，此时 f（x ）2sin（ x）2sin x，f （）2sin 1，即此时 C 图象不可能，第 11 页（共 24 页）当 时，此时 f（x ）2sin （ x）2sin x，f （）2sin 1，即此时 C 图象可能，D由图象知函数的周期 ，即 t，则 得 2，此时 f（x）2sin（2x ） ，f （ ）2sin（2 ）2sin 2，即 D图象可能，综上不可能的图象是 B，故选：B【点评】本题主要考查三角函数图象的识别和判断，利用周期性求出 以及利用特殊值进行验证是解决本题的关键注意本题的 有可能是复数10 （5 分）若函数 f（x ）x 3ke x 在（0，+ ）上单调递
20、减，则 k 的取值范围为（ ）A0，+ ） B C D【分析】令 f（x ）0 在（0，+）上恒成立得 k 在（0，+）上恒成立，求出右侧函数的最大值即可得出 k 的范围【解答】解：函数 f（x ）x 3ke x 在（0，+ ）上单调递减，f（x）3 x2ke x0 在（ 0，+ ）上恒成立，k 在（0，+）上恒成立，令 g（x） ，x 0，则 ，当 0x2 时，g（x ）0，此时 g（x ）单调递增，x2 时，g（x ）0，g（x）单调递减故当 x2 时，g（x ）取得最大值 g（2） ，则 k ，故选：C【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题，属于中档题第 1
21、2 页（共 24 页）11 （5 分）已知高为 H 的正三棱锥 PABC 的每个顶点都在半径为 R 的球 O 的球面上，若二面角 PAB C 的正切值为 4，则 （ ）A B C D【分析】设棱锥底面边长为 a，由已知把 a 用含有 H 的代数式表示，再由球的性质利用勾股定理求得 【解答】解：设 P 在底面 ABC 的射影为 E，D 为 AB 的中点，连结 PD，设正三角形 ABC 的边长为 a，则 CD ，ED ，EC a，由二面角 PAB C 的正切值为 4，得 4，解得 a EC ，OP+OCR ，OEHR，OC 2OE 2+CE2，R 2（HR） 2+（ ） 2，解得 故选
22、：A【点评】本题考查正三棱柱的高与其外接球半径的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题第 13 页（共 24 页）12 （5 分）已知函数 ，若关于 x 的方程 f（f（x） ）m 有两个不同的实数根 x1，x 2，则 x1+x2 的取值范围为（ ）A2，3） B （2，3） C2 ln2，4） D （2ln2，4）【分析】画出函数 ，的图象，可求得当 0m1 时，f（t）m，有一个解 t，且 t1，2）f（x）t 两个不同的实数根 x1，x 2，符合题意可得 1x 1log 2xt，且 t1，2） ，x 1+x22 tt+1，令
23、g（t）2 tt+1，利用导数求解【解答】解：函数 ，的图象如下：当 m1 时，f（t）m，有两个解 t1，t 2，其中 t10，t 22，f（x）t 1 有一个解，f（x）t 2 有两个解，不符合题意当 m0 时，f（t）m，有一个解 t，且 t（0，1）f （x）t 有一个解，不符合题意当 0m1 时，f（t）m，有一个解 t，且 t1，2）f （ x）t 两个不同的实数根x1，x 2，符合题意可得 1x 1log 2xt，且 t1，2） ，x1+x22 tt+1，令 g（t）2 tt+1，g（t ）2 tlnt10，故 g（t）在（1，2）单调递增，g（t）2，3） 故选：A【点评】本题
24、考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题第 14 页（共 24 页）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为 【分析】设 z ，作出不等式组对应得平面区域，利用 z 得几何意义即可得到结论【解答】解：设 z ，则 k 得几何意义为过原点得直线得斜率，作出不等式组对应得平面区域如图：则由图象可知 OA 的斜率最大，由 ，解得 A（3，4） ，则 OA 得斜率 k ，则 的最大值为 故答案为： 【点评】本题主要考查直线斜率的计算，以及线性规划得应用，根据 z
25、的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键14 （5 分）若 tan（2 ）4，tan2，则 【分析】由已知求得 tan2，再由 tantan （2）+2 求出 tan，代入得答案【解答】解：由 tan2，得 tan2 ，又 tan（2）4，第 15 页（共 24 页）tan tan（2）+2 故答案为： 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角和的正切与二倍角的正切，是中档题15 （5 分）已知函数 f（x ）3 x+9x（tx t+1） ，若 f（ x）的最大值为 12，则 f（x）的最小值为 2 【分析】由二次型函数值域的求法得：设 m3 x，则 3tm3 t
26、+1，则 g（m）m 2+m，3 t m3 t+1，因为函数 g（m）在3 t，3 t+1为增函数，所以（3 t+1）2+3t+1 12，解得：3 t+13，即 t0，即 f（x） ming（3 0）2，得解【解答】解：设 m3 x，因为 txt+1，所以 3tm3 t+1，则 g（m）m 2+m，3 tm 3t+1，因为函数 g（m）在3 t，3 t+1为增函数，所以（3 t+1） 2+3t+112，解得：3 t+13，即 t0，即 f（x） min g（3 0）2，故答案为：2【点评】本题考查了二次型函数值域的求法，属中档题16 （5 分）已知直线 x2a 与双曲线 C： 的一条渐近线交于
27、点P，双曲线 C 的左、右焦点分别为 F1，F 2，且 ，则双曲线 C 的离心率为 【分析】设出双曲线的焦点，求得一条渐近线方程可得 P 的坐标，求得直线 PF2 的斜率，第 16 页（共 24 页）由两点的斜率公式和离心率公式，可得所求值【解答】解：双曲线 C 的左、右焦点分别为 F1（c ，0） ，F 2（c，0） ，且，可得 sinPF 2F1 ，即有直线 PF2 的斜率为 tanPF 2F1 ，由直线 x2a 与双曲线 C： 的一条渐近线 y x 交于点 P，可得 P（2a，2b） ，可得 ，即有 4b215（4a 24ac+c 2）4（c 2a 2） ，化为
28、 11c260ac+64 a20，由 e 可得 11e260e +64 0，解得 e 或 e4，由 2ac0，可得 c2a，即 e2，可得 e4 舍去故答案为： 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、怎么过程或演算步骤，第 17-21 题为必考题，每道题考生都必须作答，第 22、23 题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.17 （12 分）已知 Sn 为数列a n的前 n 项和，且 依次成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）求数列 的前 n 项和 Tn【分析】
29、 （1）运用等比数列的中项性质，令 n1，可得首项，再由数列的递推式：当n2 时，a nS nS n1 ，计算可得所求通项公式；第 17 页（共 24 页）（2）求得 （ ） ，再由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和【解答】解：（1） 依次成等比数列，可得（ ） 2S n（n+2） （a 12）n，当 n1 时，a 1S 13（a 12） ，解得 a13，当 n2 时，a nS nS n1 n（n+2）（n1） （n+1）2n+1，上式对 n1 也成立，则数列a n的通项公式为 an2n+1；（2） （ ） ，可得前 n 项和 Tn （ + + ） （ ） 【点评】本题考查等比数列中项性质
30、和数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，PD平面ABCD， PADDAB60 ，E 为 AB 中点（1）证明；PECD；（2）求二面角 APE C 的余弦值【分析】 （1）连结 DE，BD，推导出 DEAB，PDAB，从而 AB平面 PDE，进而ABPE，由此能证明 PECD（2）设 AC，BD 交点为 O，以 O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，过 O 作平面 ABCD的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 APEC 的余弦值【解答】证
31、明：（1）连结 DE，BD ，第 18 页（共 24 页）四边形 ABCD 是菱形，且DAB60，E 为 AB 的中点，DEAB，PD平面 ABCD，PD AB，又 DEPD D ，AB 平面 PDE，ABPE，ABCD，PE CD 解：（2）设 AC，BD 交点为 O，以 O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，过 O 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则 P（1，0，2 ） ，A（0， ，0） ，E（ ，0） ，C（0， ，0） ，（1， ，2 ） ， （ ，0） ， （1， ） ， （，0） ，设平面 APE 的法向量 （x，y，z） ，则 ，取 z1
32、，得 （ ） ，设平面 PCE 的法向量 （x，y，z） ，则 ，取 y1，得 （3 ，1，2） ，设二面角 APE C 的平面角为 ，由图知 为钝角，cos 二面角 APE C 的余弦值为 第 19 页（共 24 页）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：x 2 6y 与直线 l：y kx+3 交于 M，N两点（1）设 M，N 到 y 轴的距离分别为 d1，d 2，证明：d 1 和 d2 的乘积为定值；（2）y 轴上是否存在点 p，当 k
33、 变化时，总有OPMOPN？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）先将 ykx+3 代入 x26y，设 M（x 1，y 1） ， N（x 2，y 2） ，结合韦达定理，即可证明结论成立；（2）先设设 P（0，b）为符合题意的点，直线 PM，PN 的斜率分别为 k1，k 2，由OPMOPN，得当 k 变化时，k 1+k20 恒成立，进而可求出结果【解答】解（1）证明：将 ykx+3 代入 x26y，得 x26kx180设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则 x1x218，从而 d1d2|x 1|x2| x1x2|18 为定值（2）解：存在符合题意的点，证明
34、如下：设 P（0，b）为符合题意的点，直线 PM，PN 的斜率分别为 k1，k 2， 从而 k1+k2 + 当 b3 时，有 k1+k20 对任意 k 恒成立，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点 P（0，3）符合题意【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、以及抛物线中的定点问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理等求解，属于中档题20 （12 分）2019 年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策” 某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午 9：2010：40 这一时间段内通过的车辆数，
35、统计发现这一时间段内共有 600 辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：209：40 记作区20，40 ） ，9：4010：00 记作40 ， 60） ，10：0010：20 记作60，80 ） ，10：2010：40 记作 80，100） ，例如 10 点 04 分，记作时刻 64（1）估计这 600 辆车在 9：2010：40 时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） ；第 20 页（共 24 页）（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这 600 辆车中抽取 10 辆，再从这10 辆车随机抽取 4 辆，设
36、抽到的 4 辆车中，在 9：2010：00 之间通过的车辆数为 X，求 X 的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻 T 服从正态分布 N（ ， 2） ，其中 可用这 600 辆车在 9：2010：40 之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替， 2 可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） ，已知大年初五全天共有 1000 辆车通过该收费点，估计在 9：4610：40 之间通过的车辆数（结果保留到整数） 若 TN（ ， 2）则 P（ T +）0.6827，P（2T+2）0.9545，P（3T +3）0.9973【分析】 （1）将直方图中每个
37、小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可（2）抽样比为 ，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量 X 的所有可能的取值，计算出每个 X 对应的概率，列分布列，求期望即可（3）根据频率分布直方图估计出方差，再结合（1）求出的期望，得到 ， 2 再根据其对称性处理即可【解答】解：（1）这 600 辆车在 9：2010：40 时间段内通过该收费点的时刻的平均值为（300.05+500.015+700.025+90 0.010）2064，即 10：04（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的 10 辆车中，在 10：00 前通过的车辆数就是位于时间分组中在20，
38、60）这一区间内的车辆数，即（0.005+0.015）20104，所以 X 的可能的取值为 0，1，2，3，4所以 P（X 0） ，第 21 页（共 24 页）P（X1） ，P（X2） ，P（X3） ，P（X4） ，所以 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P 所以 E（X ）0 +1 +2 +3 +4 （3）由（1）得 64， 2（3064） 20.1+（5064） 20.3+（7064） 20.4+（9064） 20.2324，所以 18，估计在 9：4610：40 之间通过的车辆数也就是在46，100）通过的车辆数，由 TN（64，18 2） ，
39、得，P（6418T64+218） +0.8186，所以估计在在 9：4610：40 之间通过的车辆数为 10000.8186819 辆【点评】本题考查了离散型随机变量的概率分布列，超几何分布，正态分布等知识，阅读量大，审清题意是关键，属于中档题21 （12 分）已知函数 （1）讨论函数 在（1，+）上的单调性；（2）若 a0，不等式 x2f（x）+a2e 对 x（0，+）恒成立，求 a 的取值范围【分析】 （1）x0， 利用分类讨论思想结合导数性质能讨论函第 22 页（共 24 页）数 在（1，+）上的单调性（2）推导出 xlnxax +a+e 20 对 x（0，+）恒成立，设 h（x）xln
40、xax+a+a2，则 h（x ）lnx+1a，由此利用导数性质，结合分类讨论思想能求出 a 的取值范围【解答】解：（1）函数 x0，若 a ，x1，lnx 0，g（x ）0，g（x）在（1，+）上单调递减，若 a ，令 g（x）0，得 x ，当 1xe 时，g（x ） 0，当 x 时，g（x ）0，g（x）的单调递减区间是（ ，+） ，单调递增区间为（1， ） （2）a0，不等式 x2f（x）+a2e 对 x（0，+）恒成立，xlnxax+a+e 20 对 x（0，+）恒成立，设 h（x）xlnxax+ a+a2 ，则 h（x）lnx+1a，令 h（x）0，得 xe a1 ，当 x（0，e a
41、1 ）时，h（x）0，当 x（e a1 ，+）时，h（x）0，h（x）的最小值为 h（e a1 ）（a1）e a1 +a+e2ae a1 a+e2e a1 ，令 t（a）a+e2e a1 ，则 t（a）1e a1 ，令 t（a）0，得 a1，当 a0，1）时，t（a）0，t（a）在0，1）上单调递增，当 a（1，+ ）时，t（a）0，t（a）在（1，+）上单调递减，当 a0，1）时，h（x ）的最小值为 t（a）t（0） e2 ，当 a1，+ ）时，h（x）的最小值为 t（a）a+ e2e a1 0t（2） ，a 的取值范围是0，2【点评】本题考查函数单调性的讨论，考查实数的取值范围的求法，考
42、查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题第 23 页（共 24 页）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.选项 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 24cos6sin+120（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）过曲线 C 上一动点 P 分别作极轴、直线 cos 1 的垂线，垂足分别为 M，N，求|PM |+|PN|的最大值【分析】 （1）由 24 cos 6sin+120，
43、得 x2+y24x6y+120，即（x2）2+（y3） 21，此即为曲线 C 的直角坐标方程（2）由（1）可设 P 的坐标为（2+cos ，3+sin） ，02，求出| PM|和|PN |后相加，用三角函数的性质求得最大值【解答】解：（1）由 24cos 6 sin+120，得 x2+y24x6y+120，即（x2） 2+（y 3） 21，此即为曲线 C 的直角坐标方程（2）由（1）可设 P 的坐标为（2+cos ，3+sin） ，02，则|PM |3+sin ，又直线 cos 1 的直角坐标方程为 x1，所以|PN |2+cos+13+cos，所以|PM|+|PN|6+ sin（ + ） ，
44、故当 时，|PM|+|PN|取得最大值为 6+ 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选项 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）|x +1|+|2x| k（1）当 k4 时，求不等式 f（x）0 的解集；（2）若不等式 对 xR 恒成立，求 k 的取值范围【分析】 （1）k4 时，利用分类讨论思想求出不等式 f（x）0 的解集，再求它们的并集；（2）利用绝对值不等式的性质求出 f（x ）的最小值，再把不等式 化为3k ，求不等式的解集即可第 24 页（共 24 页）【解答】解：（1）k4 时，函数 f（x）|x +1|+|2x | 4，不等式 f（x）0 化为|x+1|+|2x |4，当 x1 时，不等式化为x1+2x 4，解得 x 1，当1x2 时，不等式化为 x+1+2x34 恒成立，则1x2，当 x2 时，不等式化为 x+1+x24，解得 2x ，综上所述，不等式 f（x ）0 的解集为（ ， ） ；（2）因为 f（x ）|x +1|+|2x| k|x+1+2 x|k3k，所以 f（x）的最小值为 3k；又不等式 对 xR 恒成立，所以 3k ，所以 ，解得3k1，所以 k 的取值范围是 3，1 【点评】本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题
