1、在复平面内，复数对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）已知集合 Ax|x2x20，Bx|x|1，则 AB（ ） A （2，1） B （1，1） C （0，1） D （1，2） 3 （5 分）已知 x，yR，且 xy0，则（ ） Acosxcosy0 Bcosx+cosy0 Clnxlny0 Dlnx+lny0 4 （5 分）函数 f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与 yex关于 y 轴对称，则 f（x）（ ） Ae x+1 Be x1 Cex 1 Dex+1 5 （5 分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提
2、出，先作 一个正三角形，挖去一个“中心三角形” （即以原三角形各边的中点为顶点的三角形） ， 然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形” ，我们用白色代表挖去的面积，那么 黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形） 在如图第 3 个大正三角 形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（ ） A B C D 6 （5 分）已知等比数列an满足 a1a236，a1a324，则使得 a1a2an取得最大值的 n 为（ ） A3 B4 C5 D6 7 （5 分）已知 为锐角，cos，则 tan（+）（ ） A B C2 D3 第 2 页（共 24 页） 8 （5 分）已知双曲线 C：，O
3、为坐标原点，直线 xa 与双曲线 C 的两条渐近 线交于 A，B 两点，若OAB 是边长为 2 的等边三角形，则双曲线 C 的方程为（ ） Ay21 Bx21 C1 D1 9 （5 分）地球上的风能取之不尽，用之不竭风能是清洁能源，也是可再生能源世界各 国致力于发展风力发电，近 10 年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发 展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了 100GW，达到 114.6GW，中国的风力发电技 术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图根据以上信息，正确的统计结 论是（
4、） A截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值 B10 年来全球新增装机容量连年攀升 C10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW D截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过 10 （5 分） 已知函数 f （x） +2x+1， 且 f （a2） +f （2a） 3， 则 a 的取值范围是 （ ） A （，3）（1，+） B （，2）（0，+） C （2，0） D （1，3） 11 （5 分）已知函数 f（x）sinx+sin（x） ，现给出如下结论： f（x）是奇函数； f（x）是周期函数； f（x）在区间（0，）上有三个零点； f 第 3 页（共 24 页）
5、（x）的最大值为 2 其中正确结论的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 12 （5 分）已知正三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长为 4，底面边长为 2，用一个平面截此棱 柱，与侧棱 AA1，BB1，CC1分别交于点 M，N，Q，若MNQ 为直角三角形，则MNQ 面积的最大值为（ ） A3 B C D3 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 （5 分）从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖，2 名二等奖，3 名三等奖，则可能的 决赛结果共有 种 （用数字作答） 14（5 分） 在ABC 中， AB2， AC3， P
6、 是边 BC 的垂直平分线上一点， 则 15 （5 分）函数 f（x）lnx 和 g（x）ax2x 的图象有公共点 P，且在点 P 处的切线相同， 则这条切线方程为 16 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对曲线 C 上任意一点 P，P 到直线 x+10 的距离与 该点到点 O 的距离之和等于 2，则曲线 C 与 y 轴的交点坐标是 ；设点 A（， 0） ，则|PO|+|PA|的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤 17 （12 分）绿水青山就是金
7、山银山近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业， 旅游业正蓬勃发展景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理 念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道某景区有一个自愿消费的项目： 在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会 将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付 20 元， 没有被带走的照片会收集起来统一销毁该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成 的游客会选择带走照片为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作 了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价
8、 格每下调 1 元，游客选择带走照片的可能性平均增加 0.05，假设平均每天约有 5000 人参 观该特色景点，每张照片的综合成本为 5 元，假设每个游客是否购买照片相互独立 （1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？ 第 4 页（共 24 页） （2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？ 18 （12 分） 在ABC 中， 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 asinBbsin（A） （1）求 A； （2）D 是线段 BC 上的点，若 ADBD2，CD3，求ADC 的面积 19 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，点
9、 A（1，）在椭圆 C 上，直线 l1过椭圆 C 的右焦点与上顶点，动直线 l2：ykx 与椭圆 C 交于 M、N 两点， 交 l1于 P 点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知 O 为坐标原点，若点 P 满足|OP|MN|，求此时|MN|的长度 20 （12 分）如图，三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，PAPB，APBACB 90，点 E，F 分别是棱 AB，PB 的中点，点 G 是BCE 的重心 （1）证明：GF平面 PAC； （2）若 GF 与平面 ABC 所成的角为 60，求二面角 BAPC 的余弦值 21 （12 分）已知函数 f（x）1+x2sinx，x0 （1）
10、求 f（x）的最小值； （2）证明：f（x）e 2x 请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清 楚题号楚题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程选讲：坐标系与参数方程选讲 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（m 为参数） （1）写出曲线 C 的普通方程，并说明它表示什么曲线； （2）已知倾斜角互补的两条直线 l1，l2，其中 l1与曲线 C 交于 A，B 两点，l2与 C 交于 M，N 两点，l1与 l2交于点 P（x0，y0） ，求证：|PA|P
11、B|PM|PN| 第 5 页（共 24 页） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|+|x1| （1）若 f（a）2，求 a 的取值范围； （2）当 xa，a+k时，函数 f（x）的值域为1，3，求 k 的值 第 6 页（共 24 页） 2020 年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求
12、的 1 （5 分）在复平面内，复数对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案 【解答】解：， 在复平面内，复数对应的点的坐标为（2，1） ，位于第一象限 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 2 （5 分）已知集合 Ax|x2x20，Bx|x|1，则 AB（ ） A （2，1） B （1，1） C （0，1） D （1，2） 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|1x2，Bx|x1 或 x1， AB（1，2）
13、故选：D 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式和绝对值不等式的解法，交 集的运算，考查了计算能力，属于基础题 3 （5 分）已知 x，yR，且 xy0，则（ ） Acosxcosy0 Bcosx+cosy0 Clnxlny0 Dlnx+lny0 【分析】根据题意，结合函数的单调性分析选项 A、C，可得 A 错误，C 正确，对于 B、 D，利用特殊值分析可得其错误，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，ycosx 在（0，+）上不是单调函数，故 cosxcosy0 不一定成立，A 错误； 第 7 页（共 24 页） 对于 B，当 x，y时，cosx+co
14、sy10，B 不一定成立； 对于 C，ylnx 在（0，+）上为增函数，若 xy0，则 lnxlny，必有 lnxlny0， C 正确； 对于 D，当 x1，y时，lnx+lnyln0，D 不一定成立； 故选：C 【点评】本题考查函数单调性的应用，涉及实数大小的比较，属于基础题 4 （5 分）函数 f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与 yex关于 y 轴对称，则 f（x）（ ） Ae x+1 Be x1 Cex 1 Dex+1 【分析】根据函数图象变换关系，利用逆推法进行求解即可 【解答】解：yex关于 y 轴对称的函数为 ye x， 然后向右平移一个单位得到 f（x） ， 得 ye
15、 （x1） ，即 f（x）e x+1， 故选：A 【点评】本题主要考查函数图象变换，结合条件进行逆推法是解决本题的关键比较基 础 5 （5 分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作 一个正三角形，挖去一个“中心三角形” （即以原三角形各边的中点为顶点的三角形） ， 然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形” ，我们用白色代表挖去的面积，那么 黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形） 在如图第 3 个大正三角 形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（ ） A B C D 【分析】我们要根据已知条件，求出第 3 个大正三角形的面积，及黑色区
16、域的面积，代 入几何概型计算公式，即可求出答案 第 8 页（共 24 页） 【解答】解：由题意可知：每次挖去的面积为前一个三角形剩下面积的，不妨设第一 个三角形的面积为 1 第三个三角形的面积为 1； 则阴影部分的面积之为： 第 3 个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率：， 故选：B 【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量” ，可以为线段长度、面积、体积等， 而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求 出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N（A） ，再求出总的基本事件对应的“几 何度量”N，最后根据 P求解 6 （5 分）已知等比数列an满
17、足 a1a236，a1a324，则使得 a1a2an取得最大值的 n 为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】结合等比数列的通项公式可求通项，然后结合项的正负及增减性可求 【解答】解：等比数列an满足 a1a236，a1a324， ， 解可得，q，a127， an， 若使得 a1a2an取得最大值，则 n 应该是偶数， 且 n4 时，|an|1， 故当 n4 时，a1a2an取得最大值 故选：B 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，分析数列的项的特点是求解 问题的关键 7 （5 分）已知 为锐角，cos，则 tan（+）（ ） 第 9 页（共 24 页） A B C2 D3
18、【分析】求出 tan，从而 tan，由此能求出 tan（+）的 值 【解答】解： 为锐角，cos， sin，tan， 解得 tan，或 tan2（舍） ， tan（+）3 故选：D 【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、正切函数的二倍角公式、正切加 法定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 8 （5 分）已知双曲线 C：，O 为坐标原点，直线 xa 与双曲线 C 的两条渐近 线交于 A，B 两点，若OAB 是边长为 2 的等边三角形，则双曲线 C 的方程为（ ） Ay21 Bx21 C1 D1 【分析】求出双曲线的渐近线方程，令 xa，求得 A，B 的坐标，由等边三角形的性质 可
19、得 a，b 的值，进而得到双曲线的方程 【解答】解：双曲线 C：的渐近线方程为 bxay0 和 bx+ay0， 由 xa 与双曲线 C 的两条渐近线交于 A（a，b） ，B（a，b） ， OAB 是边长为 2 的等边三角形，即有 2b2，即 b1， 第 10 页（共 24 页） 且 a2， 可得双曲线的方程为y21 故选：A 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的应用，考查等边三角形的 性质，以及化简运算能力，属于基础题 9 （5 分）地球上的风能取之不尽，用之不竭风能是清洁能源，也是可再生能源世界各 国致力于发展风力发电，近 10 年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国
20、更是发 展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了 100GW，达到 114.6GW，中国的风力发电技 术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图根据以上信息，正确的统计结 论是（ ） A截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值 B10 年来全球新增装机容量连年攀升 C10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW D截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过 【分析】通过图结合选项分析 【解答】解：由图 1 知没有在截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值，A 错； 由图 2
21、知，10 年来全球新增装机容量起伏，B 错； 由图1知，10年中国新增装机总容量为 13.8+18.9+17.7+13+16.1+23.2+30.8+23.4+19.7+21.1197.7， 则 10 年来中国新增装机容量平均为 19.77GW，C 错； 故选：D 第 11 页（共 24 页） 【点评】本题考查频率直方图，属于基础题 10 （5 分） 已知函数 f （x） +2x+1， 且 f （a2） +f （2a） 3， 则 a 的取值范围是 （ ） A （，3）（1，+） B （，2）（0，+） C （2，0） D （1，3） 【分析】设 F（x）f（x）+2x+1+2x，分析函数 F（
22、 （x） 的奇偶性，单调性，f（a2）+f（2a）3，转化为 F（a2）F（2a） ，即可解出答案 【解答】解：根据题意，设 F（x）f（x）+2x+1+2x， 则 F（0）f（0）0， 又由 F（x）+2（x）（+2x）F（x） ，即函数 F（x） 为奇函数； 又由 F（x）0， 所以函数 F（x）单调递增， 若 f（a2）+f（2a）3， 则 f（a2）， f（a2）f（2a）， F（a2）F（2a） ， F（a2）F（2a） ， 所以 a22a， 解得，a2 或 a0， 故选：B 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及构造法的应用，属于基础题 11 （5 分）已知函数 f（
23、x）sinx+sin（x） ，现给出如下结论： f（x）是奇函数； f（x）是周期函数； f（x）在区间（0，）上有三个零点； f （x）的最大值为 2 第 12 页（共 24 页） 其中正确结论的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据函数奇偶性定义进行判断，用反证法推出函数的函数无周期，f（x） sinx+sin（x）2sincos，函数的零点为方程 sin0 或 cos0，x或 x，x（0，） ，进而得出结论，用反证 法推出函数的函数最大值不是 2 【解答】解：因为 f（x）sin（x）+sin（x）sinxsin（x）f（x） ， 所以 f（x）是奇函数，正确 假设存在周期
24、T， 则 sin（x+T）+sin（x+T） ）sinx+sinx， sin（x+T）sinxsin（x+T） ）sinx， 所以 sincossincos， 存在 x0R，使得 cos0，而 cos0， 将 x0R，sincos0， 由于， 故sin0， 所以 sin0，sin0， k，m，k，mZ， 所以 km，矛盾， 所以函数 f（x）sinx+sin（x） ，没有周期，错误 f（x）sinx+sin（x）2sincos， 函数的零点为方程 sin0 或 cos0， x或 x，x（0，） x，或， 所以 f（x）在区间（0，）上有三个零点；故正确 第 13 页（共 24 页） 假设存在这
25、样的 x0使得 f（x）最大值为 2， x0且 x0， （kZ） 即 x0且 x0+2k， 所以+2k，kZ，无解，故错误 故选：B 【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于难题 12 （5 分）已知正三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长为 4，底面边长为 2，用一个平面截此棱 柱，与侧棱 AA1，BB1，CC1分别交于点 M，N，Q，若MNQ 为直角三角形，则MNQ 面积的最大值为（ ） A3 B C D3 【分析】不妨设 N 在 B 处，AMh，CQm，则有 MB2h2+4，BQ2m2+4，MQ2（h m）2+4 由 MB2BQ2+MQ2m2hm+20h280h28，且 h4， 可得 S2
26、1+h2，就可求出 S 最大值 【解答】解：解：如图，不妨设 N 在 B 处，AMh，CQm， 则有 MB2h2+4，BQ2m2+4，MQ2（hm）2+4 由 MB2BQ2+MQ2m2hm+20得 hm+ h280h28，且 h4， 即 8h216， S， S2|MQ|2|BQ|2（hm）2+4（m2+4） 把代入得 S2（m+m）2+4（m2+4）+4（m2+4）5+ 5+（+m）241+（+m）21+h2， 所以 S21+h29，17， S2max17， Smax， 故选：C 第 14 页（共 24 页） 【点评】本题考查了空间线面位置关系，考查了转化思想，属于中档题 二、填空题：本大题共
27、二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 （5 分）从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖，2 名二等奖，3 名三等奖，则可能的 决赛结果共有 60 种 （用数字作答） 【分析】6 名选手中决出 1 名一等奖有种方法，2 名二等奖，种方法，利用分步计 数原理即可得答案 【解答】解：依题意，可分三步，第一步从 6 名选手中决出 1 名一等奖有种方法， 第二步，再决出 2 名二等奖，有种方法， 第三步，剩余三人为三等奖， 根据分步乘法计数原理得：共有60 种方法 故答案为：60 【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，掌握分步计数原理是解决
28、问题的关键， 属于中档题 14 （5 分）在ABC 中，AB2，AC3，P 是边 BC 的垂直平分线上一点，则 【分析】取 BC 的中点 D，（ +）（+）+） ，再利用 两个向量垂直的性质及向量的运算法则，可得结果 【解答】 解： 取 BC 的中点 D， 由条件得 （ +） （ ） （ （+） +） （ ） 第 15 页（共 24 页） +0， 故答案为： 【点评】此题是基础题本题考查两个向量的运算法则及其意义，两个向量垂直的性质 15 （5 分）函数 f（x）lnx 和 g（x）ax2x 的图象有公共点 P，且在点 P 处的切线相同， 则这条切线方程为 yx1 【分析】分别求得 f（x）
29、，g（x）的导数，设 P（x0，y0） ，则 lnx0ax02x0，结合 f （x0）g（x0） ，联立消掉 a 可得关于 x0的方程，构造函数，根据函数单调性可求得 唯一 x0值，进而可求 P 的坐标，以及切线的斜率和切线方程 【解答】解：f（x）lnx 的导数为 f（x），g（x）ax2x 的导数为 g（x） 2ax1， 设 P（x0，y0） ，则 lnx0ax02x0， f（x0）g（x0） ，即2ax01，化简得 12ax02x0， 联立消 a 得，lnx0， 令 （x）lnx，（x）+0， 易知 （x）在（0，+）上单调递增，又 （1）0， 所以 （x）lnx有唯一解 1，即 x01
30、， 则 y0f（1）0，a1 故 P（1，0） ，切线的斜率为 1，切线的方程为 yx1 故答案为：yx1 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，考查学生灵活运用所 学知识分析问题解决问题的能力，属于中档题 16 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对曲线 C 上任意一点 P，P 到直线 x+10 的距离与 该点到点 O 的距离之和等于 2，则曲线 C 与 y 轴的交点坐标是 （0，1） ；设点 A （，0） ，则|PO|+|PA|的最小值为 【分析】设 P（x，y） ，P 到直线 x+10 的距离与该点到点 O 的距离之和等于 2，分类讨 论，求出 P 的轨迹方程为抛
31、物线，根据抛物线的性质，求出曲线 C 与 y 轴的交点坐标和 第 16 页（共 24 页） |PO|+|PA|的最小值 【解答】解：设 P（x，y） ，P 到直线 x+10 的距离与该点到点 O 的距离之和等于 2， 则|x+1|+2， 令 x0，1+|y|2，y1，故曲线 C 与 y 轴的交点为（0，1） ， （0，1） ， 当 x1 时，由，其表示 P 到原点的距离与到直线 x1 的距离相等， 故轨迹方程是以原点 O 为焦点，x1 为准线的在 x1 的抛物线， 根据题意，当 O，P，A 三点共线时，则|PO|+|PA|的最小为|AB|1+， 当 x1 时，表示 P 到原点的距离与到直线 x
32、3 的距离相等， 故轨迹方程是以原点 O 为焦点，x3 为准线的在 x1 的抛物线， 根据题意，当 O，P，A 三点共线时，则|PO|+|PA|的最小为|AC|， 综上，|PO|+|PA|的最小值为， 故答案为： （0，1） ； 【点评】考查直线与抛物线的综合，求曲线的轨迹方程，中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步明、证明过程或演算步 骤骤 17 （12 分）绿水青山就是金山银山近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业， 旅游业正蓬勃发展景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、
33、保护自然的生态文明理 念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道某景区有一个自愿消费的项目： 在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会 第 17 页（共 24 页） 将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付 20 元， 没有被带走的照片会收集起来统一销毁该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成 的游客会选择带走照片为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作 了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价 格每下调 1 元，游客选择带走照片的可能性平均增加 0.05，假设平均每天约有
34、 5000 人参 观该特色景点，每张照片的综合成本为 5 元，假设每个游客是否购买照片相互独立 （1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？ （2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？ 【分析】 （1）当收费为 20 元时，照片被带走的可能性为 0.3，不被带走的概率为 0.7，设 每个游客的利润为 Y1元，则 Y1是随机变量，求出 5000 个游客的平均利润为 5000 元， 当收费为 10 元时，照片被带走的可能性为 0.3+0.05100.8，不被带走的概率为 0.2， 设每个游客的利润为 Y2，则 Y2是随机变量，求出 5000 个游客的平均利
35、润为 15000 元， 由此能求出该项目每天的平均利润比调整前多 10000 元 （2）设降价 x 元，则 0x15，照片被带走的可能性为 0.3+0.05x，不被带走的可能性 为 0.70.05x，设每个游客的利润为 Y 元，则 Y 是随机变量，求出其分布列，从而 E（Y） （15x）（0.3+0.05x）5（0.70.05x）0.0569（x7）2，由此求出当定 价为 13 元时，日平均利润取最大值为 17250 元 【解答】解： （1）当收费为 20 元时，照片被带走的可能性为 0.3，不被带走的概率为 0.7， 设每个游客的利润为 Y1元，则 Y1是随机变量，其分布列为： Y1 15
36、5 P 0.3 0.7 E（Y1）150.350.71（元） ， 则 5000 个游客的平均利润为 5000 元， 当收费为 10 元时，照片被带走的可能性为 0.3+0.05100.8，不被带走的概率为 0.2， 设每个游客的利润为 Y2，则 Y2是随机变量，其分布列为： Y2 5 5 P 0.8 0.2 E（Y2）50.850.23（元） ， 则 5000 个游客的平均利润为 5000315000（元） ， 第 18 页（共 24 页） 该项目每天的平均利润比调整前多 10000 元 （2）设降价 x 元，则 0x15，照片被带走的可能性为 0.3+0.05x， 不被带走的可能性为 0.7
37、0.05x， 设每个游客的利润为 Y 元，则 Y 是随机变量，其分布列为： Y 15x 5 P 0.3+0.05x 0.70.05x E（Y）（15x）（0.3+0.05x）5（0.70.05x）0.0569（x7）2， 当 x7 时，E（Y）有最大值 3.45 元， 当定价为 13 元时，日平均利润取最大值为 50003.4517250 元 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知 识，考查运算求解能力，是中档题 18 （12 分） 在ABC 中， 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 asinBbsin（A） （1）求 A； （2）D 是线
38、段 BC 上的点，若 ADBD2，CD3，求ADC 的面积 【分析】 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 tanA，结 合范围 A（0，） ，可求 A 的值 （2）设B，由题意可得BAD， ADC2，DAC ，ACD，在ADC 中，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求 sin cos，可求 sin，cos，利用二倍角的正弦函数公式可求 sin2，进而根据三角形的 面积公式可求 SADC的值 【解答】解： （1）由正弦定理可得 asinBbsinA， 则有 bsinAb（sinAcosA） ，化简可得sinAcosA， 可得 tanA， 因为 A（0，） ， 所以 A （
39、2）设B，由题意可得BAD， ADC2，DAC 第 19 页（共 24 页） ，ACD， 在ADC 中，则， 所以，可得 sincos， 又因为 sin2+cos21，可得 sin，cos， 则 sin22sincos， 所以 SADCsinADC 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解 三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 19 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，点 A（1，）在椭圆 C 上，直线 l1过椭圆 C 的右焦点与上顶点，动直线 l2：ykx 与椭圆 C 交于 M、N 两点， 交 l1于 P 点 （1）求椭
40、圆 C 的方程； （2）已知 O 为坐标原点，若点 P 满足|OP|MN|，求此时|MN|的长度 【分析】 （1）由离心率及过的点和 a，b，c 之间的关系求出椭圆的方程； （2）直线 l2的方程与椭圆联立求出点 M 的坐标，由|OP|MN|得 P 点坐标，P 的直线 l1上求出 k 值，进而求出 MN|的值 【解答】解： （1）由题意得：e，+1，b2a2c2，解得：a24，b2 3， 所以椭圆的方程：1； （2）由题意直线 l2的方程：ykx，代入椭圆中整理： （3+4k2）x212，解得 x， 第 20 页（共 24 页） 令 M 的坐标（，k） |OP|MN|，由对称性可知， 点 P
41、为 OM 的中点 故 P 的坐标（，） ， 由 P 在直线 l1：x+y0， 所以+0， 解得：k0 或 k，故 M 的坐标为（2，0） ，或（，） ， 所以|OM|2，或， 所以|MN|的长度为 4 或 【点评】考查直线与椭圆的综合，属于中难题 20 （12 分）如图，三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，PAPB，APBACB 90，点 E，F 分别是棱 AB，PB 的中点，点 G 是BCE 的重心 （1）证明：GF平面 PAC； （2）若 GF 与平面 ABC 所成的角为 60，求二面角 BAPC 的余弦值 【分析】 （1）连结 EF，连结 EG 并延长，交 BC 于点 D，由
42、点 D 是 BC 的中点，推导出 DEAC，EFAP，从而 DE平面 PAC，EF平面 PAC，进而平面 EFG平面 PAC， 由此能证明 GF平面 PAC （2）连结 PE，连结 CG 并延长交 BE 于点 O，则 O 为 BE 的中点，连结 OF，则 OF PE，以 O 为原点，OC 为 x 轴，OB 为 y 轴，OF 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出二面角 BAPC 的余弦值 第 21 页（共 24 页） 【解答】解： （1）证明：连结 EF，连结 EG 并延长，交 BC 于点 D 由点 D 是 BC 的中点， D，E，F 分别是棱 CB，AB，PB 的中点，DEAC，
43、EFAP， DE，EF平面 PAC，AC，AP平面 PAC， DE平面 PAC，EF平面 PAC， DE，EF平面 EFG，DEEFE，平面 EFG平面 PAC， GF平面 EFG，GF平面 PAC （2）解：连结 PE，PAPB，E 是 AB 的中点，PEAB， 平面 PAB平面 ABC，平面 PAB平面 ABCAB，PE平面 PAB， PE平面 ABC， 连结 CG 并延长交 BE 于点 O，则 O 为 BE 的中点，连结 OF，则 OFPE， OF平面 ABC，FGO 是 GF 与平面 ABC 所成角，FGO60， 在 RtFGO 中，设 GF2，则 OG1，OF，OC3，PE2， AB
44、4，CE2，OE， OE2+OC2CE2，OCAB， 以 O 为原点，OC 为 x 轴，OB 为 y 轴，OF 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0，3，0） ，C（3，0，0） ，P（0，2） ， （3，3，0） ，（0，2） ， 设平面 PAC 的一个法向量 （x，y，z） ， 则，取 z1，得 （） ， 平面 PAB 的法向量 （1，0，0） ， 设二面角 BAPC 的平面角为 ， 则 cos， 二面角 BAPC 的余弦值为 第 22 页（共 24 页） 【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力
45、，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）1+x2sinx，x0 （1）求 f（x）的最小值； （2）证明：f（x）e 2x 【分析】 （1）求导可知时 f（x）单减，时 f（x）单增，进 而求得最小值； （2）即证 x0 时，g（x）（1+x2sinx）e2x1，利用导数容易得证 【解答】解： （1）f（x）12cosx，令 f（x）0，得， 故在区间0，上，f（x）的唯一零点是， 当时，f（x）0，f（x）单调递减；当时，f（x）0， f（x）单调递增， 故 在 区 间 0 ， 上 ， f （ x ） 的 极 小 值 为， 当 x 时 ， ， f（x）的最小值为； （2）要证 x0 时，f（x）e 2x，即证 x0 时，g（x）（1+x2sinx）e2x1， g（x）2（1+x2sinx）e
