1、设集合 Mx|0x1，xR，Nx|x|2，xR，则（ ） AMNM BMNN CMNM DMNR 2 （5 分）若复数 z 满足方程 z2+20，则 z3（ ） A B C D 3（5分） 若直线kxy+10与圆x2+y2+2x4y+10有公共点， 则实数k的取值范围是 （ ） A3，+） B （，3 C （0，+） D （，+） 4 （5 分）已知 p：|x+1|2，q：2x3，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）设函数 f（x）2cos（x） ，若对于任意的 xR 都有 f（x1）f（x）f（x2） 成立，则|x1
2、x2|的最小值为（ ） A B C2 D4 6 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V，若 P，Q 分别在 AA1，CC1上，且 AP AA1，CQCC1，则四棱锥 BAPQC 的体积是（ ） AV BV CV DV 7 （5 分）为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心某 市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾某班按此四类由 10 位 同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有 2 位同学，有害垃圾与 其他垃圾宣传小组各有 3 位同学现从这 10 位同学中选派 5 人到某小区进行宣传活动， 则每个宣传小组至少选派 1
3、人的概率为（ ） A B C D 8 （5 分）已知直线 l：yx2 与 x 轴的交点为抛物线 C：y22px 的焦点，直线 l 与抛物 线 C 交于 A，B 两点，则 AB 中点到抛物线准线的距离为（ ） A8 B6 C5 D4 第 2 页（共 22 页） 9 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a1，a2+a54，若 Sn4an+8（nN*） ， 则 n 的最小值为（ ） A8 B9 C10 D11 10 （5 分）已知点 P（x0，y0）是曲线 C：yx3x2+1 上的点，曲线 C 在点 P 处的切线与 y8x11 平行，则（ ） Ax02 Bx0 Cx02 或 x0 D
4、x02 或 x0 11 （5 分）已知 O 为坐标原点，设双曲线 C：1（a0，b0）的左，右焦点分 别为 F1，F2，点 P 是双曲线 C 上位于第一象限内的点过点 F2作F1PF2的平分线的垂 线，垂足为 A，若 b|F1F2|2|OA|，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D2 12 （5 分）已知函数 f，若 F（x）f（x）sin（2020x）1 在 区间1，1上有 m 个零点 x1，x2，x3，xm，则 f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（xm） （ ） A4042 B4041 C4040 D4039 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题
5、5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为 一个半径为 1 的圆及其圆心，则这个几何体的体积为 ，表面积为 14 （5 分）在（ax+） （x21）5的展开式中，x3的系数为 15，则实数 a 15 （5 分） 已知单位向量与的夹角为， 若向量+2与 2+k的夹角为， 则实数 k 的值为 第 3 页（共 22 页） 16 （5 分）记数列an的前 n 项和为 Sn，已知cossin（nN*） ，且 m+S20191009，a1m0，则+的最小值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程与演算
6、步骤，第分，解答题应写出文字说明、证明过程与演算步骤，第 1721 题为必题为必 考题，每个试题考生都必须作答，第考题，每个试题考生都必须作答，第 2223 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c，且满足 （1）求角 C 的大小； （2）求 b+2a 的最大值 18 （12 分）随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增 加为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与 马拉松运动的人中随机抽取 100 人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统
7、计，得 到以下统计表； 平均每月进行训练的天数 x x5 5x20 x20 人数 15 60 25 （1） 以这 100 人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的 人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率从该市所有参与马拉松训练的人中随机 抽取 4 个人，求恰好有 2 个人是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的概率； （2）依据统计表，用分层抽样的方法从这 100 个人中抽取 12 个，再从抽取的 12 个人中 随机抽取 3 个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的人数，求 Y 的分布列及数学期望 E（Y） 19 （12 分）如图 1，在
8、边长为 2 的等边ABC 中，D，E 分别为边 AC，AB 的中点，将 AED 沿 ED 折起，使得 ABAD，ACAE，得到如图 2 的四棱锥 ABCDE，连结 BD， CE，且 BD 与 CE 交于点 H （1）求证：AH平面 BCDE； （2）求二面角 BAED 的余弦值 第 4 页（共 22 页） 20 （12 分）已知M 过点 A（，0） ，且与N： （x+）2+y216 内切，设M 的圆心 M 的估轨迹为 C， （1）求轨迹 C 的方程； （2）设直线 l 不经过点 B（2，0）且与曲线 C 交于点 P，Q 两点，若直线 PB 与直线 QB 的斜率之积为， 判断直线 l 是否过定点
9、， 若过定点， 求出此定点的坐标， 若不过定点， 请说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）（x4）ex 3+x26x，g（x）（a ）x1lnx （1）求函数 f（x）在（0，+）上的单调区间； （2）用 maxm，n表示 m，n 中的最大值，f（x）为 f（x）的导函数，设函数 h（x） maxf（x） ，g（x），若 h（x）0 在（0，+）上恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）证明：+ln3（nN*） 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数） ，曲线 C2的参数方
10、程为（ 为参数，且 （，） ） （1）求 C1与 C2的普通方程， （2）若 A，B 分别为 C1与 C2上的动点，求|AB|的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|3x6|+|xa| （1）当 a1 时，解不等式 f（x）3； （2）若不等式 f（x）114x 对任意 x4，成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 22 页） 2020 年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）年广东省广州市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择題：本题共一、选择題：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共
11、 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合題目要求的项是符合題目要求的. 1 （5 分）设集合 Mx|0x1，xR，Nx|x|2，xR，则（ ） AMNM BMNN CMNM DMNR 【分析】求出集合 M，N，进而求出 MN，MN，由此能求出结果 【解答】解：集合 Mx|0x1，xR， Nx|x|2，xRx|2x2，xR， MNx|0x1，xRM， MNx|2x2，xRN 故选：A 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （5 分）若复数 z 满足方程 z2+20，则 z3（ ） A B C D 【分
12、析】先求复数 z，再求 z3即可 【解答】解：由， 故选：D 【点评】复数代数形式的运算，是基础题 3（5分） 若直线kxy+10与圆x2+y2+2x4y+10有公共点， 则实数k的取值范围是 （ ） A3，+） B （，3 C （0，+） D （，+） 【分析】整理圆的方程得到其圆心与半径，直线与圆有交点等价于圆心到直线的距离 d 2，解不等式即可 【解答】解：圆方程可整理为（x+1）2+（y2）24，则圆心（1，2） ，半径 r2， 则圆心到直线的距离 d2，整理得 3k22k+30， 第 6 页（共 22 页） 因为4360，故不等式恒成立， 所以 k（，+） ， 故选：D 【点评】本题
13、考查直线与圆的位置关系、根的判别式，不等式解集等，属于基础题 4 （5 分）已知 p：|x+1|2，q：2x3，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】解出不等式 p，即可判断出关系 【解答】解：p：|x+1|2，解得：x1，或 x3 q：2x3， 则 qp，但是 p 无法推出 q p 是 q 的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 5 （5 分）设函数 f（x）2cos（x） ，若对于任意的 xR 都有 f（x1）f（x）f（x2） 成立，则|x1
14、x2|的最小值为（ ） A B C2 D4 【分析】由题意可知 f（x1）f（x）f（x2） ，f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数 的最大值，|x1x2|的最小值就是半个周期 【解答】解：函数 f（x）2cos（x） ，若对于任意的 xR，都有 f（x1）f（x） f（x2） ， f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1x2|的最小值就是函数的半周期， 2； 故选：C 【点评】本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，题意的正确理解，考查分析问题 解决问题的能力 6 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V，若 P，Q 分别在 AA1，CC1上，且 AP
15、第 7 页（共 22 页） AA1，CQCC1，则四棱锥 BAPQC 的体积是（ ） AV BV CV DV 【分析】由题意画出图形，过 P 作 PGAB 交 BB1于 G，连接 GQ，由等体积法可得 VB APQC，再由已知得到，即可得出 【解答】解：如图， 过 P 作 PGAB 交 BB1于 G，连接 GQ， 在三棱柱 ABCPQG 中，由等积法可得 VBAPQC， APAA1，CQCC1， ， 故选：B 【点评】本题考查多面体体积的求法，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题 7 （5 分）为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心某 市将垃圾分为四类：可回收
16、物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾某班按此四类由 10 位 同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有 2 位同学，有害垃圾与 其他垃圾宣传小组各有 3 位同学现从这 10 位同学中选派 5 人到某小区进行宣传活动， 则每个宣传小组至少选派 1 人的概率为（ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n252，每个宣传小组至少选派 1 人包含的基本事件个数 m+， 由此能求出每个宣传小组至少 第 8 页（共 22 页） 选派 1 人的概率 【解答】解：某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾 某班按此四类由 10 位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传
17、小组各有 2 位同学， 有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有 3 位同学 现从这 10 位同学中选派 5 人到某小区进行宣传活动， 基本事件总数 n252， 每个宣传小组至少选派 1 人包含的基本事件个数： m+108， 则每个宣传小组至少选派 1 人的概率为 P 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 8 （5 分）已知直线 l：yx2 与 x 轴的交点为抛物线 C：y22px 的焦点，直线 l 与抛物 线 C 交于 A，B 两点，则 AB 中点到抛物线准线的距离为（ ） A8 B6 C5 D4 【分析】求出抛物线的准线方程，然后求解准
18、线方程，求出线段 AB 的中点的横坐标，然 后求解即可 【解答】解：抛物线 C：y22px，可得准线方程为：x，直线 l：yx2，经过抛 物线的焦点坐标，可得 P4，抛物线方程为：y28x 由题意可得：，可得 x212x+40， 直线 l 与抛物线 C 相交于 A、B 两点，则线段 AB 的中点的横坐标为：6， 则线段 AB 的中点到抛物线 C 的准线的距离为：6+28 故选：A 【点评】本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力 9 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a1，a2+a54，若 Sn4an+8（nN*） ， 则 n 的最小值为（ ） 第
19、 9 页（共 22 页） A8 B9 C10 D11 【分析】利用等差数列通项公式求出数列的首项与公差，然后求解通项公式以及数列的 和，结合不等式求解即可 【解答】解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a1，a2+a54， 可得：+4d4，解得 d，所以 Sn， an， Sn4an+8（nN*） ，可得：， 可得：n28n200，解得 n10 或 n2（舍去） ， 所以 n 的最小值为 10 故选：C 【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和，数列与不等式相结合，考查转化 首项以及计算能力，是中档题 10 （5 分）已知点 P（x0，y0）是曲线 C：yx3x2+1 上的点，
20、曲线 C 在点 P 处的切线与 y8x11 平行，则（ ） Ax02 Bx0 Cx02 或 x0 Dx02 或 x0 【分析】先求出 yx3x2+1 的导数，得到曲线 C 在点 P（x0，y0）处的切线斜率 k，然 后根据曲线C 在点 P处的切线与 y8x11平行得到关于 x0的方程， 解方程得到 x0的值， 再检验得到符合条件的 x0 【解答】解：由 yx3x2+1，得 y3x22x， 则曲线 C 在点 P（x0，y0）处的切线的斜率为， 曲线 C 在点 P 处的切线与 y8x11 平行， 8，x02 或， 当 x02 时，切线和 y8x11 重合， 故选：B 【点评】本题考查了利用导数研究
21、曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题 第 10 页（共 22 页） 11 （5 分）已知 O 为坐标原点，设双曲线 C：1（a0，b0）的左，右焦点分 别为 F1，F2，点 P 是双曲线 C 上位于第一象限内的点过点 F2作F1PF2的平分线的垂 线，垂足为 A，若 b|F1F2|2|OA|，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D2 【分析】 由角平分线的性质可得延长 F2A 交 PF1与 B， 由 PA 为F1PF2的角平分线， F2A PA， 所以 A 为 F2B 的中点， |PF2|PB|， 可得 OA 为BF1F2的中位线， b|F1F2|2|OA| 2c2a 再由 a
22、，b，c 的关系求出离心率 【解答】解：延长 F2A 交 PF1与 B，由 PA 为F1PF2的角平分线，F2APA，所以 A 为 F2B 的中点，|PF2|PB|， 连接 OA，则 OA 为BF1F2的中位线，所以|BF1|2|OA|，而|BF1|PF1|PB|PF1| |PF2|2a 因为 b|F1F2|2|OA|2c2a，而 b2c2a2 所以 c2a24（ca）2整理可得 3c28ac+5c20，即 3e28e+50，解得 e或 1， 再由双曲线的离心率大于 1，可得 e， 故选：C 【点评】本题考查双曲线的性质及角平分线的性质，属于中档题 12 （5 分）已知函数 f，若 F（x）f
23、（x）sin（2020x）1 在 区间1，1上有 m 个零点 x1，x2，x3，xm，则 f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（xm） （ ） A4042 B4041 C4040 D4039 【分析】本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的 第 11 页（共 22 页） 和 【解答】解：F（x）f（x）sin（2020x）1 在区间1，1上有 m 个零点， f（x）1sin（2020x）在区间1，1上有 m 个零点， 即 g（x）f（x）1与 h（x）sin（2020x）在区间1，1上有 m 个交点， T且 h（x）关于原点对称， 在区间1，1上 h（x）max1
24、，h（x）min1 又g（x）f（x）1 在区间1，1上 g（x）maxg（），g（x）ming（） 且 g（x）关于原点对称 根据 g（x）和 h（x）函数图象特点易知在 h（x）一个周期内， g（x）和 h（x）图象有两个交点 T在（0，1内共有 1010 个周期， g（x）和 h（x）图象共有 2020 个交点， g（x）和 h（x）图象都关于原点对称， g（x）和 h（x）图象在1，0）U（0，1共有 4040 个交点， 再加上（0，0）这个交点 g（x）关于原点对称，设 x1，x2为关于原点对称的两个交点横坐标， g（x1）+g（x2）0，即 f（x1）1+f（x2）10， 即 f（
25、x1）+f（x2）2， f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（xm）2+f（0）4040+14041 故选：B 【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，分段函数的图象，以及中心对称的函数的性 质需要较强的综合分析能力 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为 第 12 页（共 22 页） 一个半径为 1 的圆及其圆心，则这个几何体的体积为 ，表面积为 3 【分析】 由三视图还原原几何体， 可知该几何体为圆锥， 圆锥的底面半径为 1， 高为 再 由圆锥的体
26、积公式及表面积公式求解 【解答】解：由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥， 该几何体的体积 V； 表面积 S 故答案为：；3 【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题 14 （5 分）在（ax+） （x21）5的展开式中，x3的系数为 15，则实数 a 5 【分析】先求得（x21）5的展开式的通项公式，再列出含 x3的系数的关于 a 的方程， 最后求出 a 【解答】解：（x21）5的展开式的通项公式为 Tr+1C （x2）5 r （1）r（1） rC x102r，r0，1，5， （ax+） （x21）5的展开式中含 x3的系数为 a（1）4C +C （1）
27、35a 10 又5a1015，a5 故答案为：5 【点评】本题主要考查二项式定理中的通项公式，属于基础题 第 13 页（共 22 页） 15 （5 分） 已知单位向量与的夹角为， 若向量+2与 2+k的夹角为， 则实数 k 的值为 10 【分析】根据单位向量的定义与平面向量数量积的运算法则，求解即可 【解答】解：单位向量与的夹角为， 即|1，11cos； 又向量+2与 2+k的夹角为， 所以（+2） （2+k）|+2|2+k|cos， 即 212+ （4+k） +2k12 （ ） ； 8+5k； ， 解得 k10， 所以实数 k 的值为10 【点评】本题考查了单位向量的定义与平面向量数量积的运
28、算问题，是中档题 16 （5 分）记数列an的前 n 项和为 Sn，已知cossin（nN*） ，且 m+S20191009，a1m0，则+的最小值为 16 【分析】通过递推式，可求得 S2019与 a1的关系，结合已知等式 m+S20191009，即可 求出结论 【解答】解：由已知，a2+a32； a4+a54； a6+a76； a2018+a20192018； 将上述等式左右分别相加，得 S2019a12018+10081010； 将 S2019a11010 代入等式 m+S20191009， 第 14 页（共 22 页） 得 m+a11； a1m0，故都为正数； +（+） （m+a1）1
29、0+10+216；当且仅当 m 3a1 即 m，a1时等号成立； 故答案为：16 【点评】本题考查了利用递推式求数列前 n 项的和，并探究数列的某些性质，属中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程与演算步骤，第分，解答题应写出文字说明、证明过程与演算步骤，第 1721 题为必题为必 考题，每个试题考生都必须作答，第考题，每个试题考生都必须作答，第 2223 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c，且满足 （1）求角 C 的大小； （2）求 b+2a 的最大值
30、 【分析】 （1）根据已知条件，结合正余弦定理可得，由此即可求得 C； （2）易知，再由三角恒等变换可得，结 合，可知 sin（A+）max1，由此求得 b+2a 的最大值 【解答】解： （1）由题意及正弦定理可得：， 由余弦定理得：a2+b2c22abcosC， 所以， 又 C 为ABC 内角， ； （2）由正弦定理可得：， 所以 a2sinA，b2sinB， 又因为 A+B+C， 所以， 所以 第 15 页（共 22 页） ，且， 又因为， 所以 sin（A+）max1， 所以，即 b+2a 的最大值为 【点评】本题涉及了正余弦定理，三角恒等变换，三角函数的图象及性质等基础知识点， 考查计
31、算能力，属于中档题 18 （12 分）随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增 加为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与 马拉松运动的人中随机抽取 100 人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得 到以下统计表； 平均每月进行训练的天数 x x5 5x20 x20 人数 15 60 25 （1） 以这 100 人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的 人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率从该市所有参与马拉松训练的人中随机 抽取 4 个人，求恰好有 2 个人是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”
32、的概率； （2）依据统计表，用分层抽样的方法从这 100 个人中抽取 12 个，再从抽取的 12 个人中 随机抽取 3 个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的人数，求 Y 的分布列及数学期望 E（Y） 【分析】 （1） 记 “平均每月进行训练的天数不少于 20 天” 为事件 A 求出 ，利用独立重复实验的概率求解即可 （2）由题意得：x20 的人：；x20 的人有从抽取的 12 个人中随 机抽取 3 个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的人数，Y 的可 能取值为 0，1，2，3，且 YH（3，3，12） ，求出概率，得到分布列，然后求解期望即
33、 可 【解答】解：记“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”为事件 A 由表可知， 第 16 页（共 22 页） 所以 （2）由题意得：x20 的人：；x20 的人有从抽取的 12 个人中随 机抽取 3 个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的人数，Y 的可 能取值为 0，1， 2，3，且 YH（3， 3，12）， ，所以 Y 的分布列为： Y 0 1 2 3 P Y 的分布列及数学期望 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立重复实验的概率的求 法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题 19 （12 分）如图 1，在边长为 2 的等边ABC 中，D
34、，E 分别为边 AC，AB 的中点，将 AED 沿 ED 折起，使得 ABAD，ACAE，得到如图 2 的四棱锥 ABCDE，连结 BD， CE，且 BD 与 CE 交于点 H （1）求证：AH平面 BCDE； （2）求二面角 BAED 的余弦值 【分析】 （1）证明 ADCD，CDBD，即可证明 CD平面 ABD推出 CDAH，同理 AHBE，即可证明 AH平面 BCDE （2）过 D 作 Dz平面 BCDE，DB 为 x 轴，DC 为 y 轴，Dz 为 z 轴，建立空间直角坐标 系，求出平面 AED 的法向量，平面 AEB 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角 B AED 的余弦值即可
35、 【解答】 （1）证明：由题意，ADCD1， 第 17 页（共 22 页） 又因为 ABAD，所以， 所以 AC2AD2+CD2，即 ADCD 又因为 CDBD，且 BDADD， 所以 CD平面 ABD所以 CDAH，同理 AHBE，CD 与 BE 是相交直线， 所以 AH平面 BCDE （2）解： 如图，过 D 作 Dz平面 BCDE，DB 为 x 轴，DC 为 y 轴，Dz 为 z 轴，建立空间直角坐 标系 所以 D（0，0，0） ， 设点 A（a，0，b）由得，解得：， 所以， 所以， 设平面 AED 的法向量为， 所以，取 z11，得， 同理可得平面 AEB 的法向量， 所以， 由图可
36、知，所求二面角为钝角，所以二面角 BAED 的余弦值为 【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空 间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题 第 18 页（共 22 页） 20 （12 分）已知M 过点 A（，0） ，且与N： （x+）2+y216 内切，设M 的圆心 M 的估轨迹为 C， （1）求轨迹 C 的方程； （2）设直线 l 不经过点 B（2，0）且与曲线 C 交于点 P，Q 两点，若直线 PB 与直线 QB 的斜率之积为， 判断直线 l 是否过定点， 若过定点， 求出此定点的坐标， 若不过定点， 请说明理由 【分析】 （1）由题意M 过点，且与
37、内切，推出 M 的轨迹为椭圆，结合椭圆定义求轨迹 C 的方程 （2）当 l 的斜率不存在的时，设 P（x0，y0） ，所以 Q（x0，y0） ，利用斜率乘积以及点 在椭圆上，转化求解 l 与 x 轴的交点为，当 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y kx+b 联立，通过判别式推出 4k2b21，结合韦达定理，利用斜率的乘积推 出，然后得到直线系方程说明结果距离 【解答】解： （1）由题意M 过点，且与内切， 设两圆切点为 D 所以|MD|+|MN|ND|4，在M 中，|MD|MA|所以|MA|+|MN|4， 所以 M 的轨迹为椭圆，由定义可知， 所以求轨迹 C 的方程为 （2）当 l 的斜率
38、不存在的时，设 P（x0，y0） ，所以 Q（x0，y0） ， 所以， 解得或， 所以 l 与 x 轴的交点为， 当 l 的斜率存在时， 第 19 页（共 22 页） 设 l 的方程为 ykx+b 联立消元可得（1+4k2）x2+8kbx+4b240， （8kb）24（1+4k2） （4b24）64k216b2+160， 所以 4k2b21， 由韦达定理， ， 又因为 2k+b0，所以，即， 所以，所以成立， 所以， 当时，y0，所以 l 过综上所述 l 过定点，且点坐标为 【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线系方程的 应用，考查分析问题解决问题的能力是难题 2
39、1 （12 分）已知函数 f（x）（x4）ex 3+x26x，g（x）（a ）x1lnx （1）求函数 f（x）在（0，+）上的单调区间； （2）用 maxm，n表示 m，n 中的最大值，f（x）为 f（x）的导函数，设函数 h（x） maxf（x） ，g（x），若 h（x）0 在（0，+）上恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）证明：+ln3（nN*） 【分析】 （1）求出导函数，通过 f（x）0 得 x3 然后判断函数的单调性求解函数的 单调区间即可 第 20 页（共 22 页） （2） 通过 h （x） maxf（x） ， g （x） 0 恒成立， 令， 推出， 结合函数的导数求解函数
40、的最大值，求解即可 （3）设 m（x）exx1（x0） ，利用函数的导数推出 exx+1，然后结合不等式转化 求解证明即可 【解答】解： （1）因为 f（x）（x4）ex 3+x26x， 所以 f（x）（x3）ex 3+2x6（x3） （ex3+2） ， 令 f（x）0 得 x3 当 x3 时，f（x）0，f（x）单调递增 当 0x3 时，f（x）0，f（x）单调递减 所以 f（x）单调递增区间为（3，+） ；f（x）单调递减区间为（0，3） （2）由（1）知 f（x）（x3） （ex 3+2） ，当 x3 时 f （x）0 恒成立，故 h（x） 0 恒成立 当 x3 时，f （x）0，又因为
41、 h（x）maxf （x） ，g（x）0 恒成立， 所以 g（x）0 在（0，3）上恒成立 所以，即在（0，3）上恒成立 令，则， ， 令 F （x）0 得 x1，易得 F（x）在（0，1）上单增，在1，3）上单减，所以 F（x） maxF（1）1， 所以，即综上可得， （3）设 m（x）exx1（x0） ，则 m（x）ex10， 所以 m（x）在（0，+）上单增，所以 m（x）m（0）0，即 exx+1 所以 ， 所以 第 21 页（共 22 页） 【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题化为最值问题的处理方法，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：
42、坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数） ，曲线 C2的参数方程为（ 为参数，且 （，） ） （1）求 C1与 C2的普通方程， （2）若 A，B 分别为 C1与 C2上的动点，求|AB|的最小值 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果 【解答】解： （1）由题可得：C1的普通方程为 2xy50 又因为 C2的参数方程为 ，两边平方可得， 所以 C2的普通方程为，且 （2）由题意，设 C1的平行直线 2xy+c0 联立消元可得：
43、3x2+4cx+c2+3 0 所以4c2360， 解得 c3 又因为， 经检验可知 c3 时与 C2相切， 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线 和曲线的位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础 题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|3x6|+|xa| 第 22 页（共 22 页） （1）当 a1 时，解不等式 f（x）3； （2）若不等式 f（x）114x 对任意 x4，成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）a1 时，f（x）|3x6|+|x1|，讨论 x 的取
44、值范围，去掉绝对值求不等式 f（x）3 的解集即可； （2）f（x）|3x6|+|xa|114x 对任意成立， 等价于|xa|5x 恒成立，去绝对值，从而求出 a 的取值范围 【解答】解： （1）a1 时，f（x）|3x6|+|x1|； 当 x1 时，由 f（x）3 得4x+73，解得 x1（不合题意，舍去） ； 当 1x2 时，由 f（x）3 得2x+53，解得 1x2； 当 x2 时，由 f（x）3 得 4x73，解得 2x； 综上知，不等式 f（x）3 的解集为x|1x （2）由 f（x）|3x6|+|xa|114x 对任意成立， 得（3x6）+|xa|114x，即|xa|5x， 所以， 所以，得 a5 且 a2x5 对任意成立； 即8a5， 所以 a 的取值范围是（8，5） 【点评】本题考查了不等式恒成立的应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法问题， 是中档题
