1、已知复数 z 满足（1+i）z2i，则|z|（ ） A B1 C D 2 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，Bx|xn21，nA，PAB，则 P 的子集共 有（ ） A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 3 （5 分）sin80cos50+cos140sin10（ ） A B C D 4 （5 分）已知命题 p：xR，x2x+10；命题 q：xR，x2x3，则下列命题中为真命 题的是（ ） Apq Bpq Cpq Dpq 5 （5 分）已知函数 f（x）满足 f（1x）f（1+x） ，当 x1 时，f（x）x，则x|f（x+2） 1（ ） Ax|x3 或 x0 Bx|x0 或 x2 Cx
2、|x2 或 x 0 Dx|x2 或 x4 6 （5 分）如图，圆 O 的半径为 1，A，B 是圆上的定点，OBOA，P 是圆上的动点，点 P 关于直线 OB 的对称点为 P，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，将|表 示为 x 的函数 f（x） ，则 yf（x）在0，上的图象大致为（ ） 第 2 页（共 24 页） A B C D 7 （5 分）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ） A （7+2） B （10+2） C （10+4） D （11+4） 8 （5 分）某人造地球卫星的运行轨道是以
3、地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为 e， 设地球半径为R， 该卫星近地点离地面的距离为r， 则该卫星远地点离地面的距离为 （ ） Ar+R Br+R Cr+R Dr+R 9 （5 分）羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成某班级从 3 名男生 A1， A2，A3和 3 名女生 B1，B2，B3中各随机选出两名，把选出的 4 人随机分成两队进行羽毛 球混合双打比赛，则 A1和 B1两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A B C D 10 （5 分）已知 F1，F2是双曲线 C：y21（a0）的两个焦点，过点 F1且垂直于 x 轴的直线与 C 相交于 A，B 两点，若|AB|，则ABF
4、2的内切圆的半径为（ ） 第 3 页（共 24 页） A B C D 11 （5 分）已知函数 f（x）的导函数为 f（x） ，记 f1（x）f（x） ，f2（x）f1（x） ， fn+1（x）fn（x） （nN*） 若 f（x）xsinx，则 f2019（x）+f2021（x）（ ） A2cosx B2sinx C2cosx D2sinx 12 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E，F，G 分别是棱 AD，CC1，C1D1 的中点，给出下列四个命题： EFB1C； 直线 FG 与直线 A1D 所成角为 60； 过 E，F，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；
5、 三棱锥 BEFG 的体积为 其中，正确命题的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）设向量 （m，1） ， （2，1） ，且 （ 2+2） ，则 m 14 （5 分）某种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N（，2） ，且 P（3Z+3） 0.9974 某用户购买了 10000 件这种产品， 则这 10000 件产品中质量指标值位于区间 （ 3，+3）之外的产品件数为 15 （5 分） （3x22x1）5的展开式中，x2的系数是 （用数字填写答案） 16（5 分） 已知ABC 的三
6、个内角为 A， B， C， 且 sinA， sinB， sinC 成等差数列， 则 sin2B+2cosB 的最小值为 ，最大值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）（一）必考题：必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）记 Sn为数列an的前 n 项和，2Snan（nN*） （1）求 an+an+1； （2）令 bnan+2an，证明数列b
7、n是等比数列，并求其前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图，三棱锥 PABC 中，PAPC，ABBC，APC120，ABC90， ACPB 第 4 页（共 24 页） （1）求证：ACPB； （2）求直线 AC 与平面 PAB 所成角的正弦值 19 （12 分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了 80 个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm） ，得到如图的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，求这 80 个零件尺寸的中位数（结果精确到 0.01） ； （2）若从这 80 个零件中尺寸位于62.5，64.5）之外的零件中随机抽取 4 个，设
8、X 表示 尺寸在64.5，65上的零件个数，求 X 的分布列及数学期望 EX； （3）已知尺寸在63.0，64.5）上的零件为一等品，否则为二等品，将这 80 个零件尺寸 的样本频率视为概率现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱 100 个企业 在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为 99 元若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家 手中，企业要向买家对每个二等品支付 500 元的赔偿费用现对一箱零件随机抽检了 11 个，结果有 1 个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企 业是否对该箱余下的所有
9、零件进行检验？请说明理由 20 （12 分）已知函数 f（x）alnx，曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程 为 2xy2e0 （1）求 a，b 的值； （2）证明函数 f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 f（x0）2ln22 第 5 页（共 24 页） 21 （12 分）已知点 P 是抛物线 C：y3 的顶点，A，B 是 C 上的两个动点，且 4 （1）判断点 D（0，1）是否在直线 AB 上？说明理由； （2）设点 M 是PAB 的外接圆的圆心，点 M 到 x 轴的距离为 d，点 N（1，0） ，求|MN| d 的最大值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生
10、在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知曲线 C1的参数方程为（t 为参数） ，曲线 C2的参数方程为 （ 为参数） （1）求 C1与 C2的普通方程； （2）若 C1与 C2相交于 A，B 两点，且|AB|，求 sin 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知 a0，b0，且 a+b1 （1）求+的最小值； （2）证明： 第 6 页（共 24 页） 2020 年广东省广州市高考数学模拟试卷（理科） （
11、年广东省广州市高考数学模拟试卷（理科） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知复数 z 满足（1+i）z2i，则|z|（ ） A B1 C D 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式 得答案 【解答】解：（1+i）z2i， ， 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 2 （5 分）
12、已知集合 A0，1，2，3，Bx|xn21，nA，PAB，则 P 的子集共 有（ ） A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 【分析】求出集合 A，B，从而求出 PAB，由此能求出 P 的子集的个数 【解答】解：集合 A0，1，2，3，Bx|xn21，nA1，0，3，8， PAB0，3， P 的子集共有 224 个 故选：B 【点评】本题考查交集的子集的个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 3 （5 分）sin80cos50+cos140sin10（ ） A B C D 【分析】直接利用三角函数关系式的变换的应用求出结果 【解答】解：sin80cos50+cos14
13、0sin10cos10cos50sin50sin10cos 第 7 页（共 24 页） （50+10）cos60 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 4 （5 分）已知命题 p：xR，x2x+10；命题 q：xR，x2x3，则下列命题中为真命 题的是（ ） Apq Bpq Cpq Dpq 【分析】根据条件判断命题 p，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可 【解答】解：x2x+1（x）2+0 恒成立，故命题 p：xR，x2x+10 为假命 题， 当 x1 时，x2x3，成立，即命题 q
14、：xR，x2x3，为真命题， 则pq 为真，其余为假命题， 故选：B 【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，结合条件判断命题的真假是解决本题 的关键比较基础 5 （5 分）已知函数 f（x）满足 f（1x）f（1+x） ，当 x1 时，f（x）x，则x|f（x+2） 1（ ） Ax|x3 或 x0 Bx|x0 或 x2 Cx|x2 或 x 0 Dx|x2 或 x4 【分析】根据条件判断函数的对称性和单调性，结合不等式先求出 f（x）1 的解，然后 求出 f（x+2）1 的解即可 【解答】解：由 f（1x）f（1+x） ，得函数关于 x1 对称， 当 x1 时，f（x）x，则 f（x）为增
15、函数，且 f（2）211， 由 f（x）1 得 x2， 由对称性知当 x1 时，由 f（x）1 得 x0， 综上 f（x）1 得 x2 或 x0， 由 f（x+2）1 得 x+22 或 x+20，得 x0 或 x2， 即不等式的解集为x|x2 或 x0， 第 8 页（共 24 页） 故选：C 【点评】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的对称性和单调性以及求出 f （x）1 的解集是解决本题的关键难度不大 6 （5 分）如图，圆 O 的半径为 1，A，B 是圆上的定点，OBOA，P 是圆上的动点，点 P 关于直线 OB 的对称点为 P，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，将|表
16、 示为 x 的函数 f（x） ，则 yf（x）在0，上的图象大致为（ ） A B C D 【分析】设 PP的中点为 M，则|，当 x0，时，在 RtOMP 中，利用三角函数可知，|PM|cosx，所以 f（x）2cosx，从而得解 【解答】解：设 PP的中点为 M，则|， 当 x0，时，在 RtOMP 中，|OP|1，OPMPOAx，所以 cosx， 所以|PM|cosx，|2cosx，即 f（x）2cosx，x0， 从四个选项可知，只有选项 A 正确， 故选：A 【点评】本题考查平面向量与三角函数的综合运用，考查学生灵活运用知识的能力和运 算能力，属于基础题 第 9 页（共 24 页） 7
17、（5 分）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ） A （7+2） B （10+2） C （10+4） D （11+4） 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可 【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱，下部是圆锥， 几何体的表面积为：（10+4） 故选：C 【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键 8 （5 分）某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为 e， 设地球半径为R， 该卫星近地点离地面的距离为r， 则
18、该卫星远地点离地面的距离为 （ ） Ar+R Br+R Cr+R Dr+R 【分析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率，求出椭圆的长半轴 a， 半焦距 c，即可确定该卫星远地点离地面的距离 【解答】解：椭圆的离心率：e（0，1） ， （c 为半焦距；a 为长半轴） ， 只要求出椭圆的 c 和 a，即可确定卫星远地点离地面的距离， 设卫星近地点，远地点离地面距离分别为 m，n， 由题意，结合图形可知，acr+R，远地点离地面的距离为：na+cR，macR， 第 10 页（共 24 页） a， c， 所以远地点离地面的距离为：na+cR 故选：A 【点评】本题是基础题，考查椭圆的离心
19、率的求法，注意半焦距与长半轴的求法，是解 题的关键，考查学生的作图视图能力 9 （5 分）羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成某班级从 3 名男生 A1， A2，A3和 3 名女生 B1，B2，B3中各随机选出两名，把选出的 4 人随机分成两队进行羽毛 球混合双打比赛，则 A1和 B1两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A B C D 【分析】分别计算出选出的 4 人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛的基本事件总数 和满足 A1和 B1两人组成一队的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案 【解答】解：从 3 名男生 A1，A2，A3和 3 名女生 B1，B2，B3中各随机选
20、出两名，共有 C32C329，选出的 4 人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛有 C212， 故总的事件个数为 9218 种， 其中 A1和 B1两人组成一队有 C21C214 种， 故则 A1和 B1两人组成一队参加比赛的概率为， 故选：B 【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率 计算公式求概率的步骤，是解答的关键 10 （5 分）已知 F1，F2是双曲线 C：y21（a0）的两个焦点，过点 F1且垂直于 x 轴的直线与 C 相交于 A，B 两点，若|AB|，则ABF2的内切圆的半径为（ ） 第 11 页（共 24 页） A B C D 【分析】设左焦点
21、 F1的坐标，由过 F1垂直于 x 轴的直线与椭圆联立可得弦长 AB，再由 椭圆可得 a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形 ABF2 的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割 3 个三角形的面积之和可得内切圆的半径 【解答】解：由双曲线的方程可设左焦点 F1（c，0） ，由题意可得 AB， 再由 b1，可得 a，所以双曲线的方程为：y21， 所以 F1（，0） ，F2（，0） ，所以 SF1F2， 三角形ABF2的周长为CAB+AF2+BF2AB+ （2a+AF1） + （2a+BF1） 4a+2AB4+2 6， 设内切圆的半径为 r，所以三角形的面积 S3， 所以 3
22、，解得：r， 故选：B 【点评】本题考查求椭圆的方程和椭圆的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与 三角形周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题 11 （5 分）已知函数 f（x）的导函数为 f（x） ，记 f1（x）f（x） ，f2（x）f1（x） ， fn+1（x）fn（x） （nN*） 若 f（x）xsinx，则 f2019（x）+f2021（x）（ ） A2cosx B2sinx C2cosx D2sinx 【分析】求出函数的导数，结合函数的导数寻找规律进行计算即可 【解答】解：f（x）xsinx， 则 f1（x）f（x）sinx+xcosx， f2（x）f1（x）
23、cosx+cosxxsinx2cosxxsinx， f3（x）f2（x）2sinxsinxxcosx3sinxxcosx f4（x）f3（x）3cosxcosx+xsinx4cosx+xsinx f5（x）f4（x）4sinx+sinx+xcosx5sinx+xcosx f6（x）f5（x）5cos+cosxxsinx6cosxxsinx， f7（x）f6（x）6sinxsinxxcosx7sinxxcosx ， 则 f1（x）+f3（x）sinx+xcosx3sinxxcosx2sinx， 第 12 页（共 24 页） f3（x）+f5（x）3sinxxcosx+5sinx+xcosx2si
24、nx， f5（x）+f7（x）5sinx+xcosx7sinxxcosx2sinx， 即 f4n+1（x）+f4n+3（x）2sinx， f4n+3（x）+f4n+5（x）2sinx 则 f2019（x）+f2021（x）2sinx， 故选：D 【点评】本题主要考查函数的导数计算，结合条件求出函数的导数，通过条件寻找规律 是解决本题的关键难度中等 12 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E，F，G 分别是棱 AD，CC1，C1D1 的中点，给出下列四个命题： EFB1C； 直线 FG 与直线 A1D 所成角为 60； 过 E，F，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六
25、边形； 三棱锥 BEFG 的体积为 其中，正确命题的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可 【解答】解：如图；连接相关点的线段，O 为 BC 的中点，连接 EFO，因为 F 是中点， 可知 B1COF，EOB1C，可知 B1C平面 EFO，即可证明 B1CEF，所以正确； 直线 FG 与直线 A1D 所成角就是直线 A1B 与直线 A1D 所成角为 60；正确； 过 E，F，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形 EHFGI所以 不正确； 三棱锥 BEFG 的体积为：VGEBM 第 13 页（共 24 页） VFEBM
26、所以三棱锥 BEFG 的体积 为 正确； 故选：C 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位 置关系的应用，平面的基本性质，是中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）设向量 （m，1） ， （2，1） ，且 （ 2+2） ，则 m 2 【分析】根据 （ 2+2） ，整理得 0；进而求得结论 【解答】解：因为向量 （m，1） ， （2，1） ，且 （ 2+2） ， 2 +00； ； m2； 故答案为：2 【点评】本题主要考查向量的数量积以及向量相等，属于基础题 14 （5 分）某
27、种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N（，2） ，且 P（3Z+3） 0.9974 某用户购买了 10000 件这种产品， 则这 10000 件产品中质量指标值位于区间 （ 第 14 页（共 24 页） 3，+3）之外的产品件数为 26 【分析】直接利用 P（3Z+3）0.9974 以及其对立面即可求解 【解答】解：因为某种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N（，2） ，且 P（3 Z+3）0.9974 所以 10000 件产品中质量指标值位于区间（3，+3）之外的产品件数为：10000 （10.9974）26； 故答案为：26 【点评】本题考查正态分布，考查 3原则，考查学生的计算能力，
28、比较基础 15 （5 分） （3x22x1）5的展开式中，x2的系数是 25 （用数字填写答案） 【分析】把原式化简成二项式结构，利用通项公式可得答案 【解答】解：因为： （3x22x1）53x2（2x+1）5； 其展开式的通项公式为：Tr+1（3x2）5 r（2x+1）r； 要求 x2的系数； 所以：当 5r0，即 r5 时，需求（2x+1）5（2x+1）5的展开式的 x2项，故 此时 x2的系数是：221340； 当 5r1，即 r4 时，需求（2x+1）5（2x+1）5的展开式的常数项，故此时 x2的系数是：31515； 综上可得：x2的系数是：40（15）25 故答案为：25 【点评】
29、本题主要考查二项式定理对三项式的处理能力的应用，考查了二项式系数的性 质，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于中档题 16（5 分） 已知ABC 的三个内角为 A， B， C， 且 sinA， sinB， sinC 成等差数列， 则 sin2B+2cosB 的最小值为 ，最大值为 【分析】利用等差中项以及正弦定理得到 2ba+c，再结合余弦定理及基本不等式，余 弦函数的性质可得，构造函数，利 用导数得到函数 f（B）的单调性情况，进而求得最值 【解答】解：sinA，sinB，sinC 成等差数列， 2sinBsinA+sinC， 第 15 页（共 24 页） 由正弦定理可得，2b
30、a+c， 由余弦定理有，（当且 仅当 abc 时取等号） ， 又 B 为三角形 ABC 内角，故， 设，则 f（B）2cos2B2sinB4sin2B 2sinB+2， 令 f（B）0，解得，令 f（B）0，解得， 故函数 f（B）在单调递增，在单调递减， ， 故答案为： 【点评】本题涉及了等差中项的性质，正余弦定理，基本不等式，三角函数的恒等变换， 三角函数的性质以及利用导数研究函数的单调性，最值等知识点，考查了函数思想，转 化思想以及运算能力，综合性较强，属于中档偏上题目 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤
31、第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）记 Sn为数列an的前 n 项和，2Snan（nN*） （1）求 an+an+1； （2）令 bnan+2an，证明数列bn是等比数列，并求其前 n 项和 Tn 【分析】 （1）运用数列的递推式：n1 时，a1S1，n2 时，anSnSn1，化简变形 可得 an+an1，进而得到所求； （2）由（1）的结论，将 n 换为 n+1，两式相减，结合等比数列的定义和求和公式，
32、即 可得到所求 【解答】解： （1）由 2Snan，可得 n1 时，a1S1，又 2S1a11，即 a11； n2 时，anSnSn1， 第 16 页（共 24 页） 2Sn1an1，又 2Snan， 两式相减可得 an+an1， 即有 an+an+1； （2）证明：由（1）可得 an+an+1， 即有 an+1+an+2， 两式相减可得 bnan+2an， 则，可得数列bn是首项为，公比为的等比数列， 前 n 项和 Tn 【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的 运用，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题 18 （12 分）如图，三棱锥 PABC 中，P
33、APC，ABBC，APC120，ABC90， ACPB （1）求证：ACPB； （2）求直线 AC 与平面 PAB 所成角的正弦值 【分析】 （1）取 AC 中点 O，连结 PO，BO，推导出 POAC，BOAC，从而 AC平面 PBO，由此能证明 ACPB （2）推导出 POBO，以 O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直 角坐标系，利用向量法能求出直线 AC 与平面 PAB 所成角的正弦值 【解答】解： （1）证明：取 AC 中点 O，连结 PO，BO， PAPC，ABBC，POAC，BOAC， POBOO，AC平面 PBO， 第 17 页（共 24
34、页） PB平面 PBO，ACPB （2）解：设 AC2，则 PO1，PAPCPB2，BO， PO2+BO2PB2，POBO， 以 O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0，0） ，C（0，0） ，P（0，0，1） ，B（，0，0） ， （0，2，0） ，（0，1） ，（，0，1） ， 设平面 PAB 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，1，） ， 设直线 AC 与平面 PAB 所成角为 ， 则直线 AC 与平面 PAB 所成角的正弦值为： sin 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线
35、、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了 80 个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm） ，得到如图的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，求这 80 个零件尺寸的中位数（结果精确到 0.01） ； （2）若从这 80 个零件中尺寸位于62.5，64.5）之外的零件中随机抽取 4 个，设 X 表示 尺寸在64.5，65上的零件个数，求 X 的分布列及数学期望 EX； （3）已知尺寸在63.0，64.5）上的零件为一等品，否则为二等品，将这 80 个零件尺寸 的样本频率
36、视为概率现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱 100 个企业 第 18 页（共 24 页） 在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为 99 元若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家 手中，企业要向买家对每个二等品支付 500 元的赔偿费用现对一箱零件随机抽检了 11 个，结果有 1 个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企 业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由 【分析】 （1）求出中位数即可； （2）这 80 个零件中尺寸位于62.5，64.5）之外的零件共有 7 个，其中尺寸位于62
37、.0， 62.5）内的有 3 个，位于64.5，65）共有 4 个，随机抽取 4 个，则 X1，2，3，4，求出 分布列求出期望； （3）根据题意，设余下的 89 个零件中二等品的个数为 YB（89，0.2） ，求出 EY，若不 对余下的零件作检验，设检验费用与赔偿费用的和为 S， 以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，则 ES1199+500EY9989， 若对余下的零件作检验，则这一箱检验费用为 9900 元，比较判断即可 【解答】解： （1）由于62.0，63.0）内的频率为（0.075+0.225）0.50.15， 63.0，63.5）内的频率为 0.750.50.375，
38、 设中位数为 x63.0，63.5） ， 由 0.15+（x63）0.750.5，得 x63.47， 故中位数为 63.47； （2）这 80 个零件中尺寸位于62.5，64.5）之外的零件共有 7 个，其中尺寸位于62.0， 62.5）内的有 3 个， 位于64.5，65）共有 4 个，随机抽取 4 个， 则 X1，2，3，4， 第 19 页（共 24 页） P（X1）， P（X2）， P（X3）， P（X4）， X 1 2 3 4 P EX； （3）根据图象，每个零件是二等品的概率为 P（0.075+0.225+0.100）0.50.2， 设余下的 89 个零件中二等品的个数为 YB（89
39、，0.2） ， 由二项分布公式，EY890.217.8， 若不对余下的零件作检验，设检验费用与赔偿费用的和为 S， S1199+500Y1089+500Y， 若对余下的零件作检验，则这一箱检验费用为 9900 元， 以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据， 则 ES1199+500EY9989， 因为 ES9900，所以应该对余下的零件作检验 （或者 ES9989 与 9900 相差不大，可以不做检验都行 ） 【点评】本题考查离散型随机变量分布列，数学期望，求中位数，考查运算能力和解决 问题的能力，中档题 20 （12 分）已知函数 f（x）alnx，曲线 yf（x）在点（1，f（1
40、） ）处的切线方程 为 2xy2e0 （1）求 a，b 的值； （2）证明函数 f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 f（x0）2ln22 【分析】 （1）求导，可得 f（1）a，f（1）be，结合已知切线方程即可求得 a，b 第 20 页（共 24 页） 的值； （2）利用导数可得，x0（1，2） ，再构造新函数 ，利用导数求其最值即可得证 【解答】解： （1）函数的定义域为（0，+） ， 则 f（1）a，f（1）be， 故曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 axyabe0， 又曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 2xy2e0， a2，b1； （2）证明：
41、由（1）知，则， 令 g（x）2xxex+ex，则 g（x）2xex，易知 g（x）在（0，+）单调递减， 又 g（0）20，g（1）2e0， 故存在 x1（0，1） ，使得 g（x1）0， 且当 x（0，x1）时，g（x）0，g（x）单调递增，当 x（x1，+）时，g（x） 0，g（x）单调递减， 由于 g（0）10，g（1）20，g（2）4e20， 故存在 x0（1，2） ，使得 g（x0）0， 且当 x（0，x0）时，g（x）0，f（x）0，f（x）单调递增，当 x（x0，+）时， g（x）0，f（x）0，f（x）单调递减， 故 函 数 存 在 唯 一 的 极 大 值 点x0， 且， 即
42、 ， 则， 令，则， 故 h（x）在（1，2）上单调递增， 第 21 页（共 24 页） 由于 x0（1，2） ，故 h（x0）h（2）2ln22，即， f（x0）2ln22 【点评】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查 推理论证能力，属于中档题 21 （12 分）已知点 P 是抛物线 C：y3 的顶点，A，B 是 C 上的两个动点，且 4 （1）判断点 D（0，1）是否在直线 AB 上？说明理由； （2）设点 M 是PAB 的外接圆的圆心，点 M 到 x 轴的距离为 d，点 N（1，0） ，求|MN| d 的最大值 【分析】 （1）抛物线的方程可得顶点 P 的
43、坐标，设直线 AB 的方程与抛物线联立，求出 两根之和及两根之积，求出数量积，再由题意可得参数 b 的值，即可得直线恒过 定点，进而判断出 D 不在直线上； （2）设 A，B 的坐标，可得线段 PA，PB 的中点的坐标，进而可得线段 PA，PB 的中垂 线的方程，两个方程联立可得交点 M 的坐标，消参数可得 M 的轨迹方程为抛物线，再由 抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，可得|MN|d 的最大值 【解答】解： （1）由抛物线的方程可得顶点 P（0，3） ，由题意可得直线 AB 的斜率存 在，设直线 AB 的方程为：ykx+b，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立直线与抛物
44、线的方程：整理可得：x24kx4（b+3）0，16k2+16 （3+b）0，即 k2+3+b0， x1+x24k，x1x24（b+3） ，y1y2k2x1x2+kb（x1+x2）+b24k2（b+3）+4k2b+b2b2 12k2，y1+y2k（x1+x2）+2b4k2+2b， 因为（x1，y1+3） （x2，y2+3）x1x2+y1y2+3（y1+y2）+94（b+3）+b212k2+3 （4k2+2b）+9b2+2b3， 而4，所以 b2+2b34，解得 b1，m 满足判别式大于 0， 即直线方程为 ykx1，所以恒过（0，1） 可得点 D（0，1）不在直线 AB 上 （2）因为点 M 是PAB 的外接圆的圆心，所以点 M 是三角形 PAB 三条边的中垂线的交 第 22 页（共 24 页） 点， 设线段 PA 的中点为 F，线段 PB 的中点为为 E， 因为 P（0，3） ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 所以 F（，） ，E（，） ，kPA，kPB， 所以线段 PA 的中垂线的方程为：y（x） ， 而 A 在抛物线上，所以 y1x123， 所以线段 PA 的中垂线的方程为：yx+1， 同理可得线段 PB 的中垂线的方程为：yx+1， 联立方程解得 x，y， 由（1）得 x1+x24k，x1x24（b+3）8， 所以 xMk，yM2k2， 即点 M 的轨迹方程为：x
