1、第 1 页（共 24 页）2016 年重庆市中考数学模拟试卷（B 卷）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分1在1 ，0， 2，1 四个数中，最小的数是（ ）A1B0C2D12计算 8a3（2a）的结果是（ ）A4aB 4aC4a 2D 4a23在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A B C D4下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）A了解某班同学“立定跳远”的成绩B了解全国中学生的心理健康状况C了解外地游客对我市旅游景点“磁器口”的满意程度D了解端午节期间重庆市场上的粽子质量情况5如图所示，ABCD，AF 与 CD 交于点 E，BE
2、 AF，B=65，则DEF 的度数是（ ）A15B 25C30D356一个多边形内角和是 1080，则这个多边形是（ ）A六边形 B七边形 C八边形 D九边形7计算 sin245+tan60cos30值为（ ）A2B C 1D8若关于 x 的一元二次方程 x2xm=0 的一个根是 x=1，则 m 的值是（ ）A1B0C 1D29如图，PA、PB 是O 的切线，A、B 是切点，点 C 是劣弧 AB 上的一个动点，若ACB=110，则 P 的度数是（ ）第 2 页（共 24 页）A55B 30C35D4010某星期六上午，小明从家出发跑步去公园，在公园停留了一会儿打车回家图中折线表 示小明离开家的
3、路程 y（米）和所用时间 x（分）之间的函数关系，则下列说法中错误的是（ ）A小明在公园休息了 5 分钟B小明乘出租车用了 17 分C小明跑步的速度为 180 米 /分D出租车的平均速度是 900 米/分11将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第 1 个图形有 4 个小圆，第 2 个图形有 8 个小圆，第 3 个图形有 14 个小圆，依次规律，第 7 个图形的小圆个数是（ ）A56B58C 63D7212如图，在ABCD 中，ABC，BCD 的平分线 BE，CF 分别与 AD 相交于点E、F， BE 与 CF 相交于点 G，若 AB=3，BC=5 ，CF=2，则 BE 的长为（ ）A2
4、B4C4 D5二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分13化简：1|1 |= 14方程 的解是 第 3 页（共 24 页）15如果ABCDEF，且对应高之比为 2：3，那么 ABC 和DEF 的面积之比是 16如图，ABC 是边长为 4 个等边三角形，D 为 AB 边的中点，以 CD 为直径画圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留 ） 17把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同的两片，然后堆放到一起混合洗匀，从这堆图片中随机抽出两张，这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率是 18如图，四边形 OABC 是边长为 2 的正方形，函数 y= 的图象经
5、过点 B，将正方形 OABC 分别沿直线 AB、BC 翻折，得到正方形 MABC，NABC设线段 MC，NA 分别与函数 y= 的图象交于点 E、F，则直线 EF 与 x 轴的交点坐标为 三、解答题：本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分19解不等式组： 20为调查七年级某班学生每天完成家庭作业所需的时间，在该班随机抽查了 8 名学生，他们每天完成作业所需时间（单位：分）分别为：60，55，75，55，55，43，65，40（1）求这组数据的众数、中位数；（2）求这 8 名学生每天完成家庭作业的平均时间；如果按照学校要求，学生每天完成家庭作业时间不能超过 60 分钟，问该班学生每天完
6、成家庭作业的平均时间是否符合学校的要求？四、解答题：本大题共 4 个小题，每小题 10 分，共 40 分21化简：（1） （a+b） 2+（ab） （2a+b） 3a2；第 4 页（共 24 页）（2） （x+1 ） 22如图，在东西方向的海岸线 l 上有一长为 1 千米的码头 MN，在码头西端 M 的正西方向 30 千米处有一观察站 O某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 O 的北偏西 30方向，且与 O 相距 千米的 A 处；经过 40 分钟，又测得该轮船位于 O 的正北方向，且与 O相距 20 千米的 B 处（1）求该轮船航行的速度；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行
7、至码头 MN 靠岸？请说明理由 （参考数据： ， ）23某商场用 36000 元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利 6000 元其中甲种商品每件进价 120 元，售价 138 元；乙种商品每件进价 100 元，售价 120 元（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的 2 倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于 8160 元，乙种商品最低售价为每件多少元？24阅读材料，解答问题：我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如 的二元二次方程组，实
8、质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解其解法如下：解：由得：y=2x 5 将代入得：x 2+（2x 5） 2=10整理得：x 24x+3=0，解得 x1=1，x 2=3将 x1=1，x 2=3 代入得 y1=125=3，y 2=235=1原方程组的解为 ， （1）请你用代入消元法解二元二次方程组： ；第 5 页（共 24 页）（2）若关 x，y 的二元二次方程组 有两组不同的实数解，求实数 a的取信范围五、解答题：本大题共 2 个小题，每小题 12 分，共 24 分25如图 1，ABC 中，BEAC 于点 E，ADBC 于点 D，连接 DE（1）若 AB=BC，DE=1，B
9、E=3，求 ABC 的周长；（2）如图 2，若 AB=BC，AD=BD，ADB 的角平分线 DF 交 BE 于点 F，求证：BF= DE；（3）如图 3，若 ABBC，AD=BD，将ADC 沿着 AC 翻折得到 AGC，连接 DG、EG，请猜想线段 AE、BE、DG 之间的数量关系，并证明你的结论26如图，已知抛物线 y=ax2+bx3（a 0）与 x 轴交于 A，B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点 C，其中 A 点的坐标是（1，0） ，C 点坐标是（4， 3） （1）求抛物线解析式；（2）点 M 是（1）中抛物线上一个动点，且位于直线 AC 的上方，试求ACM 的最大面积以及此时
10、点 M 的坐标；（3）抛物线上是否存在点 P，使得PAC 是以 AC 为直角边的直角三角形？如果存在，求出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由第 6 页（共 24 页）2016 年重庆市中考数学模拟试卷（B 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分1在1 ，0， 2，1 四个数中，最小的数是（ ）A1B0C2D1【考点】有理数大小比较【分析】根据在有理数中：负数0正数；两个负数，绝对值大的反而小；据此可求得最小的数【解答】解：在1，0 2，1 四个数中，最小的数是2；故选 C2计算 8a3（2a）的结果是（ ）A4aB 4aC4a 2D 4a2【考
11、点】整式的除法【分析】原式利用单项式除以单项式法则计算即可得到结果【解答】解：原式= 4a2，故选 D3在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A B C D【考点】中心对称图形；轴对称图形【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，也是中心对称图形；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形故选 B4下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）A了解某班同学“立定跳远”的成绩B了解全国中学生的心理健康状况第 7 页（共 24 页）C了解外地游客对我市旅游景
12、点“磁器口”的满意程度D了解端午节期间重庆市场上的粽子质量情况【考点】全面调查与抽样调查【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似【解答】解：A、了解某班同学 “立定跳远”的成绩，适合普查，故 A 正确；B、了解全国中学生的心理健康状况，调查范围广，适合抽样调查，故 B 错误；C、了解外地游客对我市旅游景点“磁器口”的满意程度，无法普查，故 C 错误；D、了解端午节期间重庆市场上的粽子质量情况，调查具有破坏性，适合抽样调查，故 D错误；故选：A5如图所示，ABCD，AF 与 CD 交于点 E，BE AF，B=65，则DEF 的度数是（ ）
13、A15B 25C30D35【考点】平行线的性质【分析】直接利用平行线的性质得出BED=65 ，进而利用平角的定义得出答案【解答】解：AB CD，B=65，BED=65，BEAF，DEF=1806590=25故选：B6一个多边形内角和是 1080，则这个多边形是（ ）A六边形 B七边形 C八边形 D九边形【考点】多边形内角与外角【分析】设这个多边形是 n（n3）边形，则它的内角和是（n2）180，得到关于 n 的方程组，就可以求出边数 n【解答】解：设这个多边形是 n 边形，由题意知，（n2） 180=1080，n=8，所以该多边形的边数是八边形故选 C7计算 sin245+tan60cos30
14、值为（ ）第 8 页（共 24 页）A2B C 1D【考点】特殊角的三角函数值【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案【解答】解：原式=（ ） 2+ = + =2，故选：A8若关于 x 的一元二次方程 x2xm=0 的一个根是 x=1，则 m 的值是（ ）A1B0C 1D2【考点】一元二次方程的解【分析】根据一元二次方程的解的定义，把 x=1 代入一元二次方程可得到关于 m 的一元一次方程，然后解一次方程即可【解答】解：把 x=1 代入 x2xm=0 得 11m=0，解得 m=0故选 B9如图，PA、PB 是O 的切线，A、B 是切点，点 C 是劣弧 AB 上的一
15、个动点，若ACB=110，则 P 的度数是（ ）A55B 30C35D40【考点】切线的性质【分析】首先在优弧 AB 上取点 D，连接 BD，AD，OB， OA，由圆的内接四边形的性质与圆周角定理，可求得AOB 的度数，然后由 PA、PB 是O 的切线，求得 OAP 与OBP的度数，继而求得答案【解答】解：在优弧 AB 上取点 D，连接 BD，AD，OB， OA，ACB=110，D=180ACB=70，AOB=2D=140，PA、PB 是O 的切线，OAPA，OBPB，OAP=OBP=90，A=360OAPAOBOBP=40第 9 页（共 24 页）故选 D10某星期六上午，小明从家出发跑步去
16、公园，在公园停留了一会儿打车回家图中折线表 示小明离开家的路程 y（米）和所用时间 x（分）之间的函数关系，则下列说法中错误的是（ ）A小明在公园休息了 5 分钟B小明乘出租车用了 17 分C小明跑步的速度为 180 米 /分D出租车的平均速度是 900 米/分【考点】函数的图象【分析】根据情境的叙述，结合图象，逐一分析得出答案即可【解答】解：A、在公园停留的时间为 1510=5 分钟，也就是在公园休息了 5 分钟，此选项正确，不合题意；B、小明乘出租车的时间是 1715=2 分钟，此选项错误，符合题意；C、小明 1800 米用了 10 分钟，跑步的速度为 180 米/ 分，此选项正确，不合题
17、意；D、出租车 1800 米用了 2 分钟，速度为 900 米/分，此选项正确，不合题意故选：B11将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第 1 个图形有 4 个小圆，第 2 个图形有 8 个小圆，第 3 个图形有 14 个小圆，依次规律，第 7 个图形的小圆个数是（ ）A56B58C 63D72【考点】规律型：图形的变化类第 10 页（共 24 页）【分析】由题意可知：第一个图形有 2+12=4 个小圆，第二个图形有 2+23=8 个小圆，第三个图形有 2+34=14 个小圆，第四个图形有 2+45=22 个小圆由此得出，第 7 个图形的小圆个数为 2+78=58，由此得出答案即可【解答
18、】解：第一个图形有 2+12=4 个小圆，第二个图形有 2+23=8 个小圆，第三个图形有 2+34=14 个小圆，第四个图形有 2+45=22 个小圆，第七个图形的小圆个数为 2+78=58，故选 B12如图，在ABCD 中，ABC，BCD 的平分线 BE，CF 分别与 AD 相交于点E、F， BE 与 CF 相交于点 G，若 AB=3，BC=5 ，CF=2，则 BE 的长为（ ）A2 B4C4 D5【考点】平行四边形的性质【分析】根据平行四边形两组对边分别平行可得ABC+BCD=180，再根据角平分线的性质可得EBC+FCB=90 ，可得 BECF；过 A 作 AMFC， BC 于 M，证
19、明ABE 是等腰三角形，进而得到 BO=EO，再利用勾股定理计算出 EO 的长，进而可得答案【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ABC+BCD=180，ABC、BCD 的平分线 BE、CF 分别与 AD 相交于点 E、F，EBC+FCB= ABC+ DCB=90EBFC；过 A 作 AMFC，交 BC 于 M，如图所示：AMFC，AOB=FGB，EBFC，FGB=90，AOB=90，BE 平分ABC，ABE=EBC，ADBC，AEB=CBE，ABE=AEB，AB=AE=3，AOBE，BO=EO，在AOE 和 MOB 中，第 11 页（共 24 页），AOEMOB（ASA ）
20、，AO=MO，AFCM，AMFC，四边形 AMCF 是平行四边形，AM=FC=2，AO=1，EO= =2 ，BE=4 ；故选：C二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分13化简：1|1 |= 2sqrt2 【考点】实数的运算【分析】先根据绝对值性质去绝对值符号，再去括号，最后合并可得答案【解答】解：原式=1 （ 1）=1 +1=2 ，故答案为：2 14方程 的解是 x=1 【考点】解分式方程【分析】观察方程可得最简公分母是：2（x+1） ，两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答【解答】解：方程两边同乘以 2（x+1） ，得 2x=x+1，解得 x=1经检验：x=
21、1 是原方程的解故答案为：x=1第 12 页（共 24 页）15如果ABCDEF，且对应高之比为 2：3，那么 ABC 和DEF 的面积之比是 4：9 【考点】相似三角形的性质【分析】根据相似三角形的性质求出两个三角形的相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得到答案【解答】解：ABCDEF，对应高之比为 2：3，ABC 和DEF 的相似比为 2：3，ABC 和DEF 的面积之比是 4：9，故答案为：4：916如图，ABC 是边长为 4 个等边三角形，D 为 AB 边的中点，以 CD 为直径画圆，则图中阴影部分的面积为 2.5sqrt3 （结果保留 ） 【考点】扇形面积的计算【分析】根据
22、等边三角形的性质以及勾股定理得出COF ， COM，ABC 以及扇形 FOM的面积，进而得出答案【解答】解：过点 O 作 OEAC 于点 E，连接 FO，MO ，ABC 是边长为 4 的等边三角形，D 为 AB 边的中点，以 CD 为直径画圆，CDAB，ACD=BCD=30，AC=BC=AB=4，FOD=DOM=60，AD=BD=2，CD=2 ，则 CO=DO= ，EO= ，EC=EF= ，则 FC=3，SCOF=SCOM= 3= ，S 扇形 OFM= =，SABC= CD4=4 ，图中影阴部分的面积为：4 2 =2.5 故答案为：2.5 第 13 页（共 24 页）17把三张形状、大小相同但
23、画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同的两片，然后堆放到一起混合洗匀，从这堆图片中随机抽出两张，这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率是 frac15 【考点】列表法与树状图法【分析】把三张风景图片剪成相同的两片后用 A1，A 2， B1，B 2，C 1，C 2 来表示，根据题意画树形图，数出可能出现的结果利用概率公式即可得出答案【解答】解：设三张风景图片分别剪成相同的两片为：A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2；如图所示：，所有的情况有 30 种，符合题意的有 6 种，故这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率是： 故答案为： 18如图，四边形 OABC 是边长为 2 的正方
24、形，函数 y= 的图象经过点 B，将正方形 OABC 分别沿直线 AB、BC 翻折，得到正方形 MABC，NABC设线段 MC，NA 分别与函数 y= 的图象交于点 E、F，则直线 EF 与 x 轴的交点坐标为 （5，0） 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质【分析】根据正方形的性质可得出点 B 的坐标，由点 B 的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数的解析式，由翻折的性质可得出线段 MC所在的直线的解析式第 14 页（共 24 页）为 x=4，线段 NA所在的直线的解析式为 y=4，令反比例函数解析式中 x=4 或 y=4，即可求出点 E、F 的坐标，再由点 E
25、、F 的坐标利用待定系数法即可求出直线 EF 的解析式，令其中的 y=0 求出 x 值，即可得出结论【解答】解：补充完整图形，如下图所示四边形 OABC 是边长为 2 的正方形，点 B 的坐标为（2，2） ，函数 y= 的图象经过点 B，k=22=4，反比例函数解析式为 y= 将正方形 OABC 分别沿直线 AB、BC 翻折，得到正方形 MABC，NA BC，线段 MC所在的直线的解析式为 x=4，线段 NA所在的直线的解析式为 y=4，令 y= 中 x=4，则 y=1，点 E 的坐标为（4，1） ；令 y= 中 y=4，则 =4，解得： x=1，点 F 的坐标为（1，4） 设直线 EF 的解
26、析式为 y=ax+b， ，解得： ，直线 EF 的解析式为 y=x+5，令 y=x+5 中 y=0，则 x+5=0，解得：x=5，直线 EF 与 x 轴的交点坐标为（5，0） 故答案为：（5，0） 三、解答题：本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分19解不等式组： 【考点】解一元一次不等式组【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可第 15 页（共 24 页）【解答】解： ，由得，x1；由 得，x3，故此不等式组的解集为：x320为调查七年级某班学生每天完成家庭作业所需的时间，在该班随机抽查了 8 名学生，他们每天完成作业所需时间（单位：分）分别为：60，55，75，55，
27、55，43，65，40（1）求这组数据的众数、中位数；（2）求这 8 名学生每天完成家庭作业的平均时间；如果按照学校要求，学生每天完成家庭作业时间不能超过 60 分钟，问该班学生每天完成家庭作业的平均时间是否符合学校的要求？【考点】众数；算术平均数；中位数【分析】 （1）用众数、中位数、平均数的定义去解（2）求出这 8 名学生每天完成家庭作业的平均时间把这个样本的平均数与 60 分钟进行比较就可以【解答】解：（1）在这 8 个数据中，55 出现了 3 次，出现的次数最多，即这组数据的众数是 55；将这 8 个数据按从小到大的顺序排列，其中最中间的两个数据都是 55，即这组数据的中位数是 55（
28、2）这 8 个数据的平均数是 = （60+553+75+43+65+40）=56（分） 这 8 名学生完成家庭作业的平均时间为 56 分钟，因为 5660，因此估计该班学生每天完成家庭作业的平均时间符合学校的要求四、解答题：本大题共 4 个小题，每小题 10 分，共 40 分21化简：（1） （a+b） 2+（ab） （2a+b） 3a2；（2） （x+1 ） 【考点】分式的混合运算；多项式乘多项式；完全平方公式【分析】 （1）先利用乘法公式展开，然后合并即可；（2）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解后约分即可【解答】解：（1）原式=a 2+2ab+b2+2a2+ab
29、2abb23a2=ab；（2）原式= = 第 16 页（共 24 页）= 22如图，在东西方向的海岸线 l 上有一长为 1 千米的码头 MN，在码头西端 M 的正西方向 30 千米处有一观察站 O某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 O 的北偏西 30方向，且与 O 相距 千米的 A 处；经过 40 分钟，又测得该轮船位于 O 的正北方向，且与 O相距 20 千米的 B 处（1）求该轮船航行的速度；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头 MN 靠岸？请说明理由 （参考数据： ， ）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】 （1） ）过点 A 作 ACOB 于点 C可
30、知 ABC 为直角三角形根据勾股定理解答（2）延长 AB 交 l 于 D，比较 OD 与 AM、AN 的大小即可得出结论【解答】解（1）过点 A 作 ACOB 于点 C由题意，得OA= 千米， OB=20 千米，AOC=30 （千米） 在 RtAOC 中，OC=OA cosAOC= =30（千米） BC=OCOB=3020=10（千米） 在 RtABC 中， = =20（千米） 轮船航行的速度为： （千米/时） （2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头 MN 靠岸 理由：延长 AB 交 l 于点 DAB=OB=20（千米） ， AOC=30OAB=AOC=30，OBD=OAB+AOC=
31、60在 RtBOD 中，OD=OB tanOBD=20tan60= （千米） 30+1，该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头 MN 靠岸第 17 页（共 24 页）23某商场用 36000 元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利 6000 元其中甲种商品每件进价 120 元，售价 138 元；乙种商品每件进价 100 元，售价 120 元（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的 2 倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于 8160 元，乙种商品
32、最低售价为每件多少元？【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用【分析】 （1）题中有两个等量关系：购买 A 种商品进价+购买 B 种商品进价=36000，出售甲种商品利润+出售乙种商品利润=6000，由此可以列出二元一次方程组解决问题（2）根据不等关系：出售甲种商品利润+出售乙种商品利润8160，可以列出一元一次不等式解决问题【解答】解：（1）设商场购进甲种商品 x 件，乙种商品 y 件，根据题意得：，解得： 答：该商场购进甲种商品 200 件，乙种商品 120 件（2）设乙种商品每件售价 z 元，根据题意，得120（z100）+2 2008160，解得：z108答：乙种商品最低售价
33、为每件 108 元24阅读材料，解答问题：我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如 的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解其解法如下：解：由得：y=2x 5 将代入得：x 2+（2x 5） 2=10第 18 页（共 24 页）整理得：x 24x+3=0，解得 x1=1，x 2=3将 x1=1，x 2=3 代入得 y1=125=3，y 2=235=1原方程组的解为 ， （1）请你用代入消元法解二元二次方程组： ；（2）若关 x，y 的二元二次方程组 有两组不同的实数解，求实数 a的取信范围【考点】高次方程【分析】 （1）先消去一个未知数再解关于另一个
34、未知数的次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可；（2）先消去一个未知数，得到关于另一个未知数的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式解答即可【解答】解：（1）由得，y=2x 3，把代入得， （2x3） 24x2+6x3=0，整理的，6x=6，解得 x=1，把 x=1 代入 得，y= 1，故原方程组的解为 ；（2）由得，y=1 2x，把代入得，ax 2+（12x） 2+2x+1=0，整理得， （a+4）x 22x+2=0，由题意得，44 2（a+4）0，解得 a ，a+40，a4，第 19 页（共 24 页）a 且 a4五、解答题：本大题共 2 个小题，每小题 12 分，共 24 分25
35、如图 1，ABC 中，BEAC 于点 E，ADBC 于点 D，连接 DE（1）若 AB=BC，DE=1，BE=3，求 ABC 的周长；（2）如图 2，若 AB=BC，AD=BD，ADB 的角平分线 DF 交 BE 于点 F，求证：BF= DE；（3）如图 3，若 ABBC，AD=BD，将ADC 沿着 AC 翻折得到 AGC，连接 DG、EG，请猜想线段 AE、BE、DG 之间的数量关系，并证明你的结论【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质【分析】 （1）由直角三角形斜边上的中线性质得出 DE= AC=AE，AC=2DE=2，AE=1，由勾股定理求出 AB
36、，得出 BC，即可得出结果；（2）连接 AF，由等腰三角形的性质得出3= 4，证出ABD 是等腰直角三角形，得出DAB=DBA=45，3=22.5，由 ASA 证明ADFBDF ，得出 AF=BF，2= 3=22.5，证出AEF 是等腰直角三角形，得出 AF= AE，即可得出结论；（3）作 DHDE 交 BE 于 H，先证明ADEBDH ，得出 DH=DE，AE=BH，证出DHE是等腰直角三角形，得出DEH=45，3=45，由翻折的性质得出 DE=GE，3= 4=45，证出 DH=GE，DHGE ，证出四边形 DHEG 是平行四边形，得出 DG=EH，即可得出结论【解答】 （1）解：如图 1
37、所示：AB=BC，BE AC，AE=CE，AEB=90 ，ADBC，ADC=90，DE= AC=AE，AC=2DE=2，AE=1，AB= = ，BC= ，ABC 的周长=AB+BC+AC=2 +2；（2）证明：连接 AF，如图 2 所示：AB=BC，BE AC，3=4，第 20 页（共 24 页）ADC=90， AD=BD，ABD 是等腰直角三角形，DAB=DBA=45，3=22.5，1+C=3+C=90，1=3=22.5，DF 平分ABD，ADF=BDF，在ADF 和BDF 中，ADFBDF（SAS） ，AF=BF，2= 3=22.5，EAF=1+2=45，AEF 是等腰直角三角形，AF=
38、AE，DE=AE，BF= DE；（3）解：BE=DG+AE ；理由如下：作 DHDE 交 BE 于 H，如图 3 所示：BEAC，ADBC，1+ACD=2+ACD=90，1=2，ADE=90ADH=BDH，在ADE 和 BDH 中，ADEBDH（ASA） ，DH=DE，AE=BH，DHE 是等腰直角三角形，DEH=45，3=90DEH=45，ACD 翻折至 ACG，DE=GE， 3=4=45，DEG=EDH=90，DH=GE，DHGE，四边形 DHEG 是平行四边形，DG=EH，BE=EH+BH=DG+AE第 21 页（共 24 页）26如图，已知抛物线 y=ax2+bx3（a 0）与 x 轴
39、交于 A，B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点 C，其中 A 点的坐标是（1，0） ，C 点坐标是（4， 3） （1）求抛物线解析式；（2）点 M 是（1）中抛物线上一个动点，且位于直线 AC 的上方，试求ACM 的最大面积以及此时点 M 的坐标；（3）抛物线上是否存在点 P，使得PAC 是以 AC 为直角边的直角三角形？如果存在，求出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】 （1）代入 A，C 两点，列出方程，解得 a，b 即可；第 22 页（共 24 页）（2）设 M（a，a 2+4a3） ，求出直线直线 AC 的解析式为：y=1x，过 M 作 x 轴
40、的垂线交AC 于 N，则 N（a，1a ） ，即有三角形 ACM 的面积为AMN 和CMN 的面积之和，化简运用二次函数的最值，即可得到；（3）讨论当ACP=90，当CAP=90，运用直线方程和抛物线方程求交点即可【解答】解：（1）由于 A 点的坐标是（ 1，0） ，C 点坐标是（4，3） ，则 a+b3=0，且 16a+4b3=3，解得，a= 1，b=4，即抛物线的解析式为：y= x2+4x3；（2）设 M（a，a 2+4a3） ，设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，根据题意得： ，解得： ，直线 AC 的解析式为： y=1x，过 M 作 x 轴的垂线交 AC 于 N，如图所示：则 N（
41、a，1 a） ，即有三角形 ACM 的面积为AMN 与 CMN 的面积之和，即为（a1+4a） （a 2+4a31+a）= （a 2+5a4） ，当 a= 时，面积取得最大，且为 ，此时 M（ ， ） ；（3）存在，理由如下：当ACP=90 ，即有此时 CP：y=x7，由 CP 解析式和抛物线解析式得： ，第 23 页（共 24 页）解得： ，或 （不合题意舍去） ，P（ 1，8） ；当CAP=90 ，由 AC 的斜率为 1，即有 AP 的斜率为 1，此时 AP：y=x1，由 AP 解析式和抛物线解析式得： ，解得： ，或 ， （不合题意舍去） ，P（ 2，1） 故存在点 P，且为（ 1，8）或（2，1） ，使得 PAC 是以 AC 为直角边的直角三角形第 24 页（共 24 页）2016 年 7 月 13 日
