1、 4.4 函数函数 yAsin(x)的图象及应用的图象及应用 最新考纲 考情考向分析 1.了解函数 yAsin(x)的物理意义;能画出 y Asin(x)的图象 2.了解参数 A, 对函数图象变化的影响 3.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三 角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 以考查函数 yAsin(x)的图象的 五点法画图、图象之间的平移伸缩变 换、 由图象求函数解析式以及利用正弦 型函数解决实际问题为主, 常与三角函 数的性质、 三角恒等变换结合起来进行 综合考查, 加强数形结合思想的应用意 识 题型为选择题和填空题, 中档难度. 1yAsin(x)的有关概念 yAsin(x
2、)(A0, 0),xR 振幅 周期 频率 相位 初相 A T2 f1 T 2 x 2.用五点法画 yAsin(x)(A0,0,xR)一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示: x 0 2 3 2 2 x 0 2 3 2 2 yAsin(x) 0 A 0 A 0 3.函数 ysin x 的图象经变换得到 yAsin(x)(A0,0)的图象的两种途径 知识拓展 1函数 yAsin(x)k 图象平移的规律:“左加右减,上加下减” 2由 ysin x 到 ysin(x)(0,0)的变换:向左平移 个单位长度而非 个单位长 度 3 函数 yAsin(x)的对称轴由 xk 2, kZ 确定; 对称中
3、心由 xk, kZ 确定其横坐标 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)ysin x 4 的图象是由 ysin x 4 的图象向右平移 2个单位长度得到的( ) (2)将函数 ysin x 的图象向右平移 (0)个单位长度,得到函数 ysin(x)的图 象( ) (3)函数 yAcos(x)的最小正周期为 T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 T 2.( ) (4)由图象求函数解析式时, 振幅 A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确 定的( ) 题组二 教材改编 2P55T2为了得到函数 y2sin 2x 3 的图象,可以将函数 y
4、2sin 2x 的图象( ) A向右平移 6个单位长度 B向右平移 3个单位长度 C向左平移 6个单位长度 D向左平移 3个单位长度 答案 A 3P58A 组 T3函数 y2sin 1 2x 3 的振幅、频率和初相分别为( ) A2,4, 3 B2, 1 4, 3 C2, 1 4, 3 D2,4, 3 答案 C 解析 由题意知 A2,f1 T 2 1 4,初相为 3. 4P62 例 4如图,某地一天从 614 时的温度变化曲线近似满足函数 yAsin(x)b, 则这段曲线的函数解析式为_ 答案 y10sin 8x 3 4 20,x6,14 解析 从图中可以看出,从 614 时的是函数 yAsi
5、n(x)b 的半个周期, 所以 A1 2(3010)10, b1 2(3010)20, 又1 2 2 146, 所以 8. 又 81022k,kZ,取 3 4 , 所以 y10sin 8x 3 4 20,x6,14 题组三 易错自纠 5要得到函数 ysin 4x 3 的图象,只需将函数 ysin 4x 的图象( ) A向左平移 12个单位长度 B向右平移 12个单位长度 C向左平移 3个单位长度 D向右平移 3个单位长度 答案 B 解析 ysin 4x 3 sin 4 x 12 , 要得到 ysin 4x 3 的图象,只需将函数 ysin 4x 的图象向右平移 12个单位长度 6(2016 全
6、国)将函数 y2sin 2x 6 的图象向右平移1 4个周期后,所得图象对应的函数为 ( ) Ay2sin 2x 4 By2sin 2x 3 Cy2sin 2x 4 Dy2sin 2x 3 答案 D 解析 函数 y2sin 2x 6 的周期为 ,将函数 y2sin 2x 6 的图象向右平移1 4个周期即 4个 单位长度, 所得函数为 y2sin 2 x 4 6 2sin 2x 3 , 故选 D. 7(2018 长春模拟)函数 f(x)Asin(x)(A0,0,|)的部分图象如图所示,则函 数 f(x)的解析式为_ 答案 f(x) 2sin 2x 3 解析 由题图可知 A 2, T 4 7 12
7、 3 4, 所以 T,故 2, 因此 f(x) 2sin(2x), 又 7 12, 2 为最小值点, 所以 27 122k 3 2 ,kZ, 所以 2k 3,kZ, 又|, 所以 3. 故 f(x) 2sin 2x 3 . 题型一题型一 函数函数 yAsin(x)的图象及变换的图象及变换 典例 已知函数 y2sin 2x 3 . (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; (3)说明 y2sin 2x 3 的图象可由 ysin x 的图象经过怎样的变换而得到 解 (1)y2sin 2x 3 的振幅 A2, 周期 T2 2 ,初相 3. (2)令 X2x 3,则
8、 y2sin 2x 3 2sin X. 列表如下: x 6 12 3 7 12 5 6 X 0 2 3 2 2 ysin X 0 1 0 1 0 y2sin 2x 3 0 2 0 2 0 描点画出图象,如图所示: (3)方法一 把 ysin x 的图象上所有的点向左平移 3个单位长度,得到 ysin x 3 的图象; 再把 ysin x 3 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍(纵坐标不变),得到 y sin 2x 3 的图象; 最后把 ysin 2x 3 上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),即可得到 y 2sin 2x 3 的图象 方法二 将 ysin x 的图象上所有
9、点的横坐标缩短为原来的1 2倍(纵坐标不变),得到 ysin 2x 的图象; 再将 ysin 2x 的图象向左平移 6个单位长度,得到 ysin 2 x 6 sin 2x 3 的图象; 再将 ysin 2x 3 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍(横坐标不变),即得到 y 2sin 2x 3 的图象 思维升华 (1)yAsin(x)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换 zx 计算五点坐标 (2)由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)图象有两条途径:“先平移后伸缩” 与“先伸缩后平移” 跟踪训练 (1)(2018 石家庄调研)若把函数 ysin x 6 的图
10、象向左平移 3个单位长度,所得 到的图象与函数 ycos x 的图象重合,则 的一个可能取值是( ) A2 B.3 2 C. 2 3 D. 1 2 答案 A 解析 ysin x 3 6 和函数 ycos x 的图象重合,可得 3 6 22k,kZ,则 6k2,kZ.2 是 的一个可能值 (2)把函数 ysin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把所得 函数图象向左平移 4个单位长度,得到的函数图象的解析式是_ 答案 ycos 2x 解析 由 ysin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,所得图象的 解析式为 ysin 2x,再向左平移 4个单位
11、长度得 ysin 2 x 4 ,即 ycos 2x. 题型二题型二 由图象确定由图象确定 yAsin(x)的解析式的解析式 典例 (1)函数 yAsin(x)的部分图象如图所示,则 y_. 答案 2sin 2x 6 解析 由题图可知,A2,T2 3 6 ,所以 2,由五点作图法可知 2 3 2, 所以 6,所以函数的解析式为 y2sin 2x 6 . (2)已知函数 f(x)sin(x) 0,|0,|0)个单位长度后,得到函数 g(x)的图象关于点 3, 3 2 对称,则 m 的值可能为( ) A. 6 B. 2 C.7 6 D.7 12 答案 D 解析 依题意得 AB3 3 2 , AB 3
12、 2 , 解得 A 3, B 3 2 , T 2 2 3 6 2, 故 2,则 f(x) 3sin(2x) 3 2 . 又 f 6 3sin 3 3 2 3 3 2 , 故 3 22k(kZ),即 62k(kZ) 因为|0)个单位长度得到函数 g(x)的图象恰好经过点 3,0 ,求 当 m 取得最小值时,g(x)在 6, 7 12 上的单调递增区间 解 (1)函数 f(x)的图象与 x轴相邻两个交点的距离为 2, 得函数 f(x)的最小正周期为 T2 2 2 2,得 1, 故函数 f(x)的解析式为 f(x) 3sin 2x 3 . (2)将 f(x)的图象向左平移 m(m0)个单位长度得到函
13、数 g(x)3sin 2xm 3 3 sin 2x2m 3 的图象,根据 g(x)的图象恰好经过点 3,0 , 可得 3sin 2 3 2m 3 0,即 sin 2m 3 0, 所以 2m 3k(kZ),m k 2 6(kZ), 因为 m0, 所以当 k0 时,m 取得最小值,且最小值为 6. 此时,g(x) 3sin 2x2 3 . 因为 x 6, 7 12 ,所以 2x2 3 3, 11 6 . 当 2x2 3 3, 2 ,即 x 6, 12 时,g(x)单调递增, 当 2x2 3 3 2 ,11 6 ,即 x 5 12, 7 12 时,g(x)单调递增 综上,g(x)在区间 6, 7 1
14、2 上的单调递增区间是 6, 12 和 5 12, 7 12 . 思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把 实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题 (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数 (3)研究 yAsin(x)的性质时可将 x 视为一个整体, 利用换元法和数形结合思想进行 解题 跟踪训练 (1)(2018 兰州模拟)已知函数 f(x)sin(x) 0, 2 2 的图象上的两个 相邻的最高点和最低点的距离为 2 2,且过点 2,1 2 ,则函数 f(x)的解析式为_ 答案 f(x)sin x 2 6 解析 据已知两个
15、相邻最高点和最低点的距离为 2 2,可得 T 2 21122 2,解得 T 4, 故 2 T 2,即 f(x)sin x 2 . 又函数图象过点 2,1 2 , 故 f(2)sin 22 sin 1 2, 又 2 2,解得 6,故 f(x)sin x 2 6 . (2)若函数 f(x)sin x 6 (0)满足 f(0)f 3 , 且函数在 0, 2 上有且只有一个零点, 则 f(x) 的最小正周期为_ 答案 解析 f(0)f 3 , x 6是 f(x)图象的一条对称轴, f 6 1, 6 6 2k, kZ, 6k2,kZ,T 3k1(kZ) 又 f(x)在 0, 2 上有且只有一个零点, 6
16、 T 4 2 6, 2 3 T4 3 , 2 3 3k1 4 3 (kZ), 1 12k 1 6, 又kZ,k0,T. 三角函数图象与性质的综合问题 典例 (12 分)已知函数 f(x)2 3sin x 2 4 cos x 2 4 sin(x) (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若将 f(x)的图象向右平移 6个单位长度,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间0, 上的最大值和最小值 思维点拨 (1)先将 f(x)化成 yAsin(x)的形式再求周期; (2)将 f(x)解析式中的 x 换成 x 6,得 g(x),然后利用整体思想求最值 规范解答 解 (1)f(x)2 3sin
17、 x 2 4 cos x 2 4 sin(x) 3cos xsin x3 分 2sin x 3 ,5 分 于是 T2 1 2.6 分 (2)由已知得 g(x)f x 6 2sin x 6 ,8 分 x0,x 6 6, 7 6 , sin x 6 1 2,1 ,10 分 g(x)2sin x 6 1,211 分 故函数 g(x)在区间0,上的最大值为 2,最小值为1.12 分 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步:(化简)将 f(x)化为 asin xbcos x 的形式; 第二步:(用辅助角公式)构造 f(x) a2b2 sin x a a2b2cos x b a2b2 ; 第三步:(求性质)利用 f(x) a2b2sin(x)研究三角函数的性质; 第四步:(反思)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.