1、 4.4 函数函数 yAsin(x)的图象及应用的图象及应用 最新考纲 考情考向分析 1.了解函数 yAsin(x)的物理意义；能画出 y Asin(x)的图象 2.了解参数 A， 对函数图象变化的影响 3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三 角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 以考查函数 yAsin(x)的图象的 五点法画图、图象之间的平移伸缩变 换、 由图象求函数解析式以及利用正弦 型函数解决实际问题为主， 常与三角函 数的性质、 三角恒等变换结合起来进行 综合考查， 加强数形结合思想的应用意 识 题型为选择题和填空题， 中档难度. 1yAsin(x)的有关概念 yAsin(x
2、)(A0， 0)，xR 振幅 周期 频率 相位 初相 A T2 f1 T 2 x 2.用五点法画 yAsin(x)(A0，0，xR)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示： x 0 2 3 2 2 x 0 2 3 2 2 yAsin(x) 0 A 0 A 0 3.函数 ysin x 的图象经变换得到 yAsin(x)(A0，0)的图象的两种途径 知识拓展 1函数 yAsin(x)k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减” 2由 ysin x 到 ysin(x)(0，0)的变换：向左平移 个单位长度而非 个单位长 度 3 函数 yAsin(x)的对称轴由 xk 2， kZ 确定； 对称中
3、心由 xk， kZ 确定其横坐标 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)ysin x 4 的图象是由 ysin x 4 的图象向右平移 2个单位长度得到的( ) (2)将函数 ysin x 的图象向右平移 (0)个单位长度，得到函数 ysin(x)的图 象( ) (3)函数 yAcos(x)的最小正周期为 T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 T 2.( ) (4)由图象求函数解析式时， 振幅 A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确 定的( ) 题组二 教材改编 2P55T2为了得到函数 y2sin 2x 3 的图象，可以将函数 y
4、2sin 2x 的图象( ) A向右平移 6个单位长度 B向右平移 3个单位长度 C向左平移 6个单位长度 D向左平移 3个单位长度 答案 A 3P58A 组 T3函数 y2sin 1 2x 3 的振幅、频率和初相分别为( ) A2,4， 3 B2， 1 4， 3 C2， 1 4， 3 D2,4， 3 答案 C 解析 由题意知 A2，f1 T 2 1 4，初相为 3. 4P62 例 4如图，某地一天从 614 时的温度变化曲线近似满足函数 yAsin(x)b， 则这段曲线的函数解析式为_ 答案 y10sin 8x 3 4 20，x6,14 解析 从图中可以看出，从 614 时的是函数 yAsi
5、n(x)b 的半个周期， 所以 A1 2(3010)10， b1 2(3010)20， 又1 2 2 146， 所以 8. 又 81022k，kZ，取 3 4 ， 所以 y10sin 8x 3 4 20，x6,14 题组三 易错自纠 5要得到函数 ysin 4x 3 的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象( ) A向左平移 12个单位长度 B向右平移 12个单位长度 C向左平移 3个单位长度 D向右平移 3个单位长度 答案 B 解析 ysin 4x 3 sin 4 x 12 ， 要得到 ysin 4x 3 的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象向右平移 12个单位长度 6(2016 全
6、国)将函数 y2sin 2x 6 的图象向右平移1 4个周期后，所得图象对应的函数为 ( ) Ay2sin 2x 4 By2sin 2x 3 Cy2sin 2x 4 Dy2sin 2x 3 答案 D 解析 函数 y2sin 2x 6 的周期为 ，将函数 y2sin 2x 6 的图象向右平移1 4个周期即 4个 单位长度， 所得函数为 y2sin 2 x 4 6 2sin 2x 3 ， 故选 D. 7(2018 长春模拟)函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则函 数 f(x)的解析式为_ 答案 f(x) 2sin 2x 3 解析 由题图可知 A 2， T 4 7 12
7、 3 4， 所以 T，故 2， 因此 f(x) 2sin(2x)， 又 7 12， 2 为最小值点， 所以 27 122k 3 2 ，kZ， 所以 2k 3，kZ， 又|， 所以 3. 故 f(x) 2sin 2x 3 . 题型一题型一 函数函数 yAsin(x)的图象及变换的图象及变换 典例 已知函数 y2sin 2x 3 . (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明 y2sin 2x 3 的图象可由 ysin x 的图象经过怎样的变换而得到 解 (1)y2sin 2x 3 的振幅 A2， 周期 T2 2 ，初相 3. (2)令 X2x 3，则
8、 y2sin 2x 3 2sin X. 列表如下： x 6 12 3 7 12 5 6 X 0 2 3 2 2 ysin X 0 1 0 1 0 y2sin 2x 3 0 2 0 2 0 描点画出图象，如图所示： (3)方法一 把 ysin x 的图象上所有的点向左平移 3个单位长度，得到 ysin x 3 的图象； 再把 ysin x 3 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍(纵坐标不变)，得到 y sin 2x 3 的图象； 最后把 ysin 2x 3 上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y 2sin 2x 3 的图象 方法二 将 ysin x 的图象上所有
9、点的横坐标缩短为原来的1 2倍(纵坐标不变)，得到 ysin 2x 的图象； 再将 ysin 2x 的图象向左平移 6个单位长度，得到 ysin 2 x 6 sin 2x 3 的图象； 再将 ysin 2x 3 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍(横坐标不变)，即得到 y 2sin 2x 3 的图象 思维升华 (1)yAsin(x)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换 zx 计算五点坐标 (2)由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)图象有两条途径：“先平移后伸缩” 与“先伸缩后平移” 跟踪训练 (1)(2018 石家庄调研)若把函数 ysin x 6 的图
10、象向左平移 3个单位长度，所得 到的图象与函数 ycos x 的图象重合，则 的一个可能取值是( ) A2 B.3 2 C. 2 3 D. 1 2 答案 A 解析 ysin x 3 6 和函数 ycos x 的图象重合，可得 3 6 22k，kZ，则 6k2，kZ.2 是 的一个可能值 (2)把函数 ysin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得 函数图象向左平移 4个单位长度，得到的函数图象的解析式是_ 答案 ycos 2x 解析 由 ysin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的 解析式为 ysin 2x，再向左平移 4个单位
11、长度得 ysin 2 x 4 ，即 ycos 2x. 题型二题型二 由图象确定由图象确定 yAsin(x)的解析式的解析式 典例 (1)函数 yAsin(x)的部分图象如图所示，则 y_. 答案 2sin 2x 6 解析 由题图可知，A2，T2 3 6 ，所以 2，由五点作图法可知 2 3 2， 所以 6，所以函数的解析式为 y2sin 2x 6 . (2)已知函数 f(x)sin(x) 0，|0，|0)个单位长度后，得到函数 g(x)的图象关于点 3， 3 2 对称，则 m 的值可能为( ) A. 6 B. 2 C.7 6 D.7 12 答案 D 解析 依题意得 AB3 3 2 ， AB 3
12、 2 ， 解得 A 3， B 3 2 ， T 2 2 3 6 2， 故 2，则 f(x) 3sin(2x) 3 2 . 又 f 6 3sin 3 3 2 3 3 2 ， 故 3 22k(kZ)，即 62k(kZ) 因为|0)个单位长度得到函数 g(x)的图象恰好经过点 3，0 ，求 当 m 取得最小值时，g(x)在 6， 7 12 上的单调递增区间 解 (1)函数 f(x)的图象与 x轴相邻两个交点的距离为 2， 得函数 f(x)的最小正周期为 T2 2 2 2，得 1， 故函数 f(x)的解析式为 f(x) 3sin 2x 3 . (2)将 f(x)的图象向左平移 m(m0)个单位长度得到函
13、数 g(x)3sin 2xm 3 3 sin 2x2m 3 的图象，根据 g(x)的图象恰好经过点 3，0 ， 可得 3sin 2 3 2m 3 0，即 sin 2m 3 0， 所以 2m 3k(kZ)，m k 2 6(kZ)， 因为 m0， 所以当 k0 时，m 取得最小值，且最小值为 6. 此时，g(x) 3sin 2x2 3 . 因为 x 6， 7 12 ，所以 2x2 3 3， 11 6 . 当 2x2 3 3， 2 ，即 x 6， 12 时，g(x)单调递增， 当 2x2 3 3 2 ，11 6 ，即 x 5 12， 7 12 时，g(x)单调递增 综上，g(x)在区间 6， 7 1
14、2 上的单调递增区间是 6， 12 和 5 12， 7 12 . 思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把 实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题 (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数 (3)研究 yAsin(x)的性质时可将 x 视为一个整体， 利用换元法和数形结合思想进行 解题 跟踪训练 (1)(2018 兰州模拟)已知函数 f(x)sin(x) 0， 2 2 的图象上的两个 相邻的最高点和最低点的距离为 2 2，且过点 2，1 2 ，则函数 f(x)的解析式为_ 答案 f(x)sin x 2 6 解析 据已知两个
15、相邻最高点和最低点的距离为 2 2，可得 T 2 21122 2，解得 T 4， 故 2 T 2，即 f(x)sin x 2 . 又函数图象过点 2，1 2 ， 故 f(2)sin 22 sin 1 2， 又 2 2，解得 6，故 f(x)sin x 2 6 . (2)若函数 f(x)sin x 6 (0)满足 f(0)f 3 ， 且函数在 0， 2 上有且只有一个零点， 则 f(x) 的最小正周期为_ 答案 解析 f(0)f 3 ， x 6是 f(x)图象的一条对称轴， f 6 1， 6 6 2k， kZ， 6k2，kZ，T 3k1(kZ) 又 f(x)在 0， 2 上有且只有一个零点， 6
16、 T 4 2 6， 2 3 T4 3 ， 2 3 3k1 4 3 (kZ)， 1 12k 1 6， 又kZ，k0，T. 三角函数图象与性质的综合问题 典例 (12 分)已知函数 f(x)2 3sin x 2 4 cos x 2 4 sin(x) (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若将 f(x)的图象向右平移 6个单位长度，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间0， 上的最大值和最小值 思维点拨 (1)先将 f(x)化成 yAsin(x)的形式再求周期； (2)将 f(x)解析式中的 x 换成 x 6，得 g(x)，然后利用整体思想求最值 规范解答 解 (1)f(x)2 3sin
17、 x 2 4 cos x 2 4 sin(x) 3cos xsin x3 分 2sin x 3 ，5 分 于是 T2 1 2.6 分 (2)由已知得 g(x)f x 6 2sin x 6 ，8 分 x0，x 6 6， 7 6 ， sin x 6 1 2，1 ，10 分 g(x)2sin x 6 1,211 分 故函数 g(x)在区间0，上的最大值为 2，最小值为1.12 分 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步：(化简)将 f(x)化为 asin xbcos x 的形式； 第二步：(用辅助角公式)构造 f(x) a2b2 sin x a a2b2cos x b a2b2 ； 第三步：(求性质)利用 f(x) a2b2sin(x)研究三角函数的性质； 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.