1、第 1 页 共 11 页 中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算巩固练习（巩固练习（提高提高） 【巩固练习巩固练习】 一、选择题一、选择题 1. 将一个底面半径为5 cm，母线长为12 cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的 圆心角是（ ）度 A.60 B.90 C.120 D.150 2 某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥， 它的高 AO8 米， 母线 AB 与底面半径 OB 的夹角为， 4 tan 3 ，则圆锥的底面积是（ ）平方米 A.9 B.16 C. 25 D.36 3某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环
2、境，现计划在五边形各顶点为圆心，2m 长为半 径的扇形区域内（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（ ） A6m 2 B5m2 C4m2 D3cm2 4如图所示，直径 AB 为 6 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60，此时点 B 到了点 B ，则图中阴影部分的 面积是（ ） A6 B5 C4 D3 5如图所示，从一个直径为 2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 60的扇形 ABC，将剪下的扇形围成一 个圆锥，则圆锥的底面圆半径为 （ ） 第 2 页 共 11 页 A 1 3 B 3 6 C 3 3 D 3 4 6 （2015威海）如图，正六边形 A1B1C1D1E1F1的边长为 2，
3、正六边形 A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形 A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形 A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形 A2B2C2D2E2F2的各边相切，按这样的 规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 7若一个圆锥的侧面积是 18，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是_ 8如图，已知O 是边长为 2 的等边ABC 的内切圆，则O 的面积为_ 9如图是一条水平铺设的直径为 2 米的通水管道横截面，其水面宽为 1.6 米，则这条管道中此时水最 深为_米 10将半径为 10cm，弧长为 12 的扇形围成圆
4、锥(接缝忽略不计)，那么圆锥的母线与圆锥高的夹角的 余弦值是_ 11如图所示是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径 EF 长为 10cm在母线 OF 上的点 A 处有一块爆米花残渣，且 FA2cm，一只蚂蚁从杯口的点 E 处沿圆锥表面爬行到 A 点，则此蚂蚁爬行的 最短距离为_cm 第 3 页 共 11 页 12 （2015深圳校级模拟）如图一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为 a，按此规 律，则第 n 个正多边形的面积为 三、解答题三、解答题 13如图所示，AB 是O 的直径，弦 DE 垂直平分半径 OA，C 为垂足，弦 DF 与半径 OB 相交于点 P，连结 EF
5、、EO，若 DE2 3，DPA45 (1)求O 的半径； (2)求图中阴影部分的面积 14. 如图 AB 是O 的直径，点 D 在O 上，DAB45，BCAD，CDAB (1)判断直线 CD 与O 的位置关系，并说明理由； (2)若O 的半径为 1，求图中阴影部分的面积(结果保留 ) 15已知：如图，ABC 内接于O，AB 为直径，弦 CEAB 于 F，C 是AD的中点，连结 BD 并延长交 EC 的延长线于点 G，连结 AD，分别交 CE、BC 于点 P、Q 第 4 页 共 11 页 (1)求证：P 是ACQ 的外心； (2)若 3 tan 4 ABC，CF8，求 CQ 的长； (3)求证：
6、(FP+PQ) 2FPFG 16. （2014碑林区校级模拟）如图，圆 O 的半径为 r （1）在图中，画出圆 O 的内接正ABC，简要写出画法；求出这个正三角形的周长 （2）在图中，画出圆 O 的内接矩形 ABCD，简要写出画法；若设 AB=x，则矩形的周长为 （3）如图，六边形 ABCDEF 内接于半径为 r（常数）的O，其中 AD 为直径，且 AB=CD=DE=FA设 AB=x， 求六边形 ABCDEF 的周长 L 关于 x 的函数关系式，并探究 L 是否有最大值，若有，请指出 x 为何值时，L 取得最大值；若没有，请说明理由 【答案与答案与解析解析】 一、选择题一、选择题 1.【答案】
7、D； 【解析】圆锥的底面周长为225 10r ，所以它的侧面展开图的圆心角 是 180 10 150 12 n 2.【答案】D； 【解析】因为 4 tan 3 AO BO ，AO8，所以 BO6，所以圆锥的底面积是 2 636 3.【答案】A； 【解析】五个扇形的半径都为 2cm，设其圆心角分别为 1 n ， 2 n ， 3 n ， 4 n ， 5 n ， 则无法直接利用扇形面积公式求解，可以整体考虑， 12345 5nnnnn边形形 第 5 页 共 11 页 内角和(5-2)180540， 2 2 5402 6 (m ) 360 S 阴影 4.【答案】A； 【解析】如果分别求 S和 S得阴影
8、面积则很复杂，由旋转前后图形全等，易得 SS， 2 606 6 360 ABB SSSSSS 阴影扇形 + 5.【答案】B； 【解析】要求围成的圆锥的底面圆半径，只要求出扇形 ABC 中 BC 的弧长，该弧长即为围成的圆锥的 底面圆的周长，再根据周长即可以求出半径 直径为 2，BAC60 AC3， BC 的弧长为 2 3 6 ，设底面圆的半径为 r，则由 2 3 2 6 r 解得 3 6 r 6.【答案】D； 【解析】连结 OE1，OD1，OD2，如图， 六边形 A1B1C1D1E1F1为正六边形， E1OD1=60， E1OD1为等边三角形， 正六边形 A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六
9、边形 A1B1C1D1E1F1的各边相切， OD2E1D1， OD2=E1D1=2， 正六边形 A2B2C2D2E2F2的边长=2， 同理可得正六边形 A3B3C3D3E3F3的边长=（）22， 则正六边形 A10B10C10D10E10F10的边长=（）92= 故选 D 二、填空题二、填空题 第 6 页 共 11 页 7 【答案】3； 【解析】设圆锥的母线长为 R，侧面展开图半圆弧长为l，圆锥底面积半径为 r， 则有： 2 180 18 360 R R 236，R6又1 18 2 Rl 2l， 2r6，r3 8 【答案】 3 ； 【解析】设O 与 BC 切于 D 点，连接 OD，OC 在 R
10、tODC 中， 11 21 22 DCBCOCD30 3 tan30 3 OD DC 3 3 OD ，则 2 2 O 3 33 Sr 9 【答案】0.4； 【解析】如图，过 O 作 OCAB 于 C，并延长并AB于 D 在 RtOBC 中， 2 1 2 OB ， 11 1.60.8 22 BCAB 22222 10.80.6OCOBBC CDOD-OC1-0.60.4(米) 10 【答案】 4 5 ； 【解析】如图，因为 2R12，所以 R6 第 7 页 共 11 页 由勾股定理，得 2222 1068hACR 所以 84 cos 105 AO CAO AC 11 【答案】2 41； 【解析】
11、底圆周长为 2r10， 设圆锥侧面展开图的扇形所对圆心角为 n， 有2 180 n R r ，即 10 10 180 n ， n180，如图所示，FA2，OA8， 在 RtOEA 中由勾股定理可得 EA 即为所求最短距离 2222 1081642 41EAOEOA 12 【答案】a； 【解析】第一个：正多边形的面积等于 a； 第二个：如图作 AEBD 于 E， 设正六边形的边长为 2， 正六边形的一个内角为 120， ABE=30， 则 AE=1，BE=， ABD 的面积为： 21=， a=22=4， 正六边形的面积为： a， 第三个：如图， 正八边形的一个内角为 135， 第 8 页 共 1
12、1 页 ABD=45， 设正八边形的边长为 2， 则 BD=AD=，ABD 的面积为 1， 四边形 ABEF 的面积为 1+2+1=2+2， a=2（2+2）=4+4， 正八边形的面积为 2a， 通过计算可以看出：第 n 个正多边形的面积为a 三、解答题三、解答题 13.【答案与解析】 （1） 直径 ABDE， 1 3 2 CEDE DE 平分半径 OA， 11 22 CEAOOE 在 RtOCE 中， CEO30 OE2 即O 的半径为 2 （2）连 OF，在 RtDCP 中， DPC45D90-4545 EOF2D90 2 90 2 360 S 扇形OEF 11 2 22 22 OEF S
13、OE OF 2 OEFOEF SSS 阴影扇形 14.【答案与解析】 解：(1)直线 CD 与O 相切 如图，连接 OD 第 9 页 共 11 页 OAOD，DAB45， ODA45 AOD90 CDAB， ODCAOD90， 即 ODCD 又 点 D 在O 上， 直线 CD 与O 相切 (2) BCAD，CDAB， 四边形 ABCD 是平行四边形 CDAB2 ()(12) 13 222 OBCD OBCDOD S 梯形 图中阴影部分的面积等于 2 313 1 2424 OBDOBCD SS 扇形梯形 15.【答案与解析】 (1)证明： C 是AD的中点， ACCD CADABC AB 是O
14、的直径， ACB90 CAD+AQC90 又 CEAB， ABC+PCQ90 AQCPCQ 在PCQ 中，有 PCPQ CE直径 AB， ACAE AECD CADACE 在APC 中，有 PAPC PAPCPQ P 是ACQ 的外心 第 10 页 共 11 页 (2)解： CE直径 AB 于 F， 在 RtBCF 中， 由 3 tan 4 CF ABC BF ，CF8， 得 432 33 BFCF 由勾股定理，得 22 40 3 BCCFBF AB 是O 直径， 在 RtACB 中，由 3 tan 4 AC ABC BC ， 40 3 BC ， 得 3 10 4 ACBC 易知 RtACBR
15、tQCA， AC 2CQBC 2 15 2 AC CQ BC (3)证明： AB 是O 直径， ACB90 DAB+ABD90 又 CFAB， ABG+G90 DABG RtAFPRtGFB AFFP FGBF ，即 AFBFFPFG 易知 RtACFRtCBF， FC 2AFBF(或由射影定理得) FC 2FPFG 由(1)，知 PCPQ， FP+PQFP+PCFC (FP+PQ) 2FPFG 16.【答案与解析】 解： （1）首先把圆六等份，然后连接三个不相邻的顶点即可作出 ABC 就是所求的三角形； （2）在直角ABD 中，AD=， 第 11 页 共 11 页 则 BC=AD=，CD=AB=x 则矩形的周长是：2x+2， 故答案是：2x+2； （3）连接 AC， AD 是直径， ACD=90， 又CGAD 于点 G CD2=DGAD， DG=， BC=EF=AD2DG=2r 则 L=4x+4r 当 x=r 时，L 取得最大值最大值是：6r
