1、第 1 页（共 25 页）2019 年人教版九年级上学期24.3 正多边形和圆同步练习卷一选择题（共 7 小题）1已知O 是正六边形 ABCDEF 的外接圆，P 为O 上的任意一点，则CPD 的度数为（ ）A30 B30或 150 C60 D60或 1202如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为 2，则图中阴影部分的面积为（ ）A B3 C6 D43如图，O 是正六边形 ABCDEF 的外接圆，P 是弧 EF 上一点，则BPD 的度数是（ ）A30 B60 C55 D754如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么1 的大小是（ ）第 2 页（共
2、25 页）A8 B15 C18 D285 O 是一个正 n 边形的外接圆，若O 的半径与这个正 n 边形的边长相等，则 n 的值为（ ）A3 B4 C6 D86正六边形的半径与边心距之比为（ ）A B C D7一个圆的内接正六边形的边长为 4，则该圆的内接正方形的边长为（ ）A2 B4 C4 D8二填空题（共 5 小题）8以半径为 1 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是 9婷婷在发现一个门环的示意图如图所示图中以正六边形 ABCDEF 的对角线 AC 的中点 O 为圆心，OB 为半径作 O，AQ 切O 于点 P，并交 DE 于点 Q，若AQ12 cm
3、，则该圆的半径为 cm10正多边形的中心角与该正多边形的一个内角的关系是 11如图，正六边形 ABCDEF 外接圆的半径为 4，则其内切圆的半径是 12一个正六边形的周长是 18cm，则这个正六边形的边长是 三解答题（共 12 小题）13如图，已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的对称中心，G，H 分别是 AF，BC 上的点，且第 3 页（共 25 页）AGBH（1）求FAB 的度数；（2）求证：OGOH14如果边长相等的正五边形和正六边形的一边重合，求1 的度数15求半径为 3 的圆的内接正方形的边长16如图，已知五边形 ABCDE 是正五边形，连结 AC、AD证明：ACDADC17 （1
4、）已知：如图 1，ABC 是O 的内接正三角形，点 P 为劣弧 BC 上一动点求证：PA PB+PC；（2）已知：如图 2，四边形 ABCD 是O 的内接正方形，点 P 为劣弧 BC 上一动点求证：PAPC+ PB18如图，已知正三角形 ABC 内接于O，AD 是O 的内接正十二边形的一条边长，连接 CD，若 CD6 cm，求 O 的半径第 4 页（共 25 页）19如图，在O 的内接四边形 ABCD 中，ABAD，C120，点 E 在弧 AD 上，连接 OA、 OD、OE 、AE 、DE（1）求AED 的度数；（2）当DOE90时，AE 恰好为O 的内接正 n 边形的一边，求 n 的值20如
5、图，在正方形 ABCD 内有一折线段，其中 AEEF，EFFC，并且AE 3，EF4，FC5，求正方形 ABCD 的外接圆的半径21已知正六边形 ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是 a，求正六边形的周长和面积22已知，如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 6cm，求这个正六边形的外接圆半径 R，边心距 6，面积 S6第 5 页（共 25 页）23如图，O 的周长等于 8cm，正六边形 ABCDEF 内接于 O（1）求圆心 O 到 AF 的距离；（2）求正六边形 ABCDEF 的面积24如图正方形 ABCD 内接于O ，E 为 CD 任意一点，连接 DE、AE（1）求AED 的度数（2）
6、如图 2，过点 B 作 BFDE 交O 于点 F，连接 AF，AF1，AE4，求 DE 的长度第 6 页（共 25 页）参考答案与试题解析一选择题（共 7 小题）1已知O 是正六边形 ABCDEF 的外接圆，P 为O 上的任意一点，则CPD 的度数为（ ）A30 B30或 150 C60 D60或 120【分析】连接 OC、OD，如图，利用正六边形的性质得到COD 60，讨论：当 P点在弧 CAD 上时，根据圆周角定理得到CPD30，当 P 点在弧 CD 上时，利用圆内接四边形的性质得到CPD150【解答】解：连接 OC、OD，如图， O 是正六边形 ABCDEF 的外接圆，COD60，当 P
7、 点在弧 CAD 上时，CPD COD 30，当 P 点在弧 CD 上时，CPD18030150，综上所述，CPD 的度数为 30或 150故选：B【点评】本题考查了正多边形与圆：熟练掌握正多边形的有关概念和正多边的性质也考查了圆周角定理2如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为 2，则图中阴影部分的面积为（ ）第 7 页（共 25 页）A B3 C6 D4【分析】根据题意得到图中阴影部分的面积S ABC +3SADE ，代入数据即可得到结论【解答】解：如图，“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，ABC 与ADE 是等边三角形，圆的半径为 2，AH3，BCAB 2 ，A
8、E ，AF 1，图中阴影部分的面积S ABC +3SADE 2 3+ 134 ，故选：D【点评】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，熟记正多边形与圆的性质是解题的关键3如图，O 是正六边形 ABCDEF 的外接圆，P 是弧 EF 上一点，则BPD 的度数是（ ）A30 B60 C55 D75【分析】构造圆心角，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可【解答】解：连接 OB，OD，第 8 页（共 25 页）六边形 ABCDEF 是正六边形，BOD 120，BPD BOD 60，故选：B【点评】本题考查了正多边形和圆以及圆周角定理的知识，解题的关键是正确的构造圆心角，难度不大4如图，在
9、同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么1 的大小是（ ）A8 B15 C18 D28【分析】1 的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得角的度数即可得出结果【解答】解：正五边形的内角的度数是 （52）180108，又正方形的内角是 90，11089018；故选：C【点评】本题考查了多边形的内角和定理、正方形的性质，求得正五边形的内角的度数是关键5 O 是一个正 n 边形的外接圆，若O 的半径与这个正 n 边形的边长相等，则 n 的值为（ ）A3 B4 C6 D8【分析】因为O 的半径与这个正 n 边形的边长相等，推出这个多边形的中心角 60，
10、第 9 页（共 25 页）构建方程即可解决问题；【解答】解：O 的半径与这个正 n 边形的边长相等，这个多边形的中心角60， 60，n6，故选：C【点评】本题考查正多边形与圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型6正六边形的半径与边心距之比为（ ）A B C D【分析】求出正六边形的边心距（用 R 表示） ，根据“接近度”的定义即可解决问题【解答】解：正六边形的半径为 R，边心距 r R，R：r1： 2： ，故选：D【点评】本题考查正多边形与圆的知识，等边三角形高的计算，记住等边三角形的高h a（a 是等边三角形的边长） ，理解题意是解题的关键，属于中考常考
11、题型7一个圆的内接正六边形的边长为 4，则该圆的内接正方形的边长为（ ）A2 B4 C4 D8【分析】圆内接正六边形的边长是 4，即圆的半径是 4，则圆的内接正方形的对角线长是 8，进而就可求解【解答】解：圆内接正六边形的边长是 4，圆的半径为 4那么直径为 8圆的内接正方形的对角线长为圆的直径，等于 8圆的内接正方形的边长是 4 故选：B【点评】本题考查正多边形与圆，关键是利用知识点：圆内接正六边形的边长和圆的半第 10 页（共 25 页）径相等；圆的内接正方形的对角线长为圆的直径解答二填空题（共 5 小题）8以半径为 1 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角
12、形的面积是 【分析】分别画出对应的图形计算出三条边心距，利用勾股定理的逆定理可证明它们构建的三角形的直角三角形，然后根据三角形面积公式计算此三角形的面积【解答】解：如图 1，ABC 为O 的内接正三角形，作 OMBC 于 M，连接 OB，OBC ABC30，OM OB ；如图 2，四边形 ABCD 为O 的内接正方形形，作 ON DC 于 N，连接 OD，ODC ADC45，ONDN OD ；如图 3，六边形 ABCDEF 为O 的内接正六边形，作 OHDE 于 H，连接 OE，OED FED60，EH OE ，OH EH ，半径为 1 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为 ，
13、， ，（ ） 2+（ ） 2（ ） 2，以三条边心距所作的三角形为直角三角形，该三角形的面积 故答案为 【点评】本题考查了正多边形与圆：熟练掌握正多边形的有关概念和正多边的性质，会第 11 页（共 25 页）解直角三角形9婷婷在发现一个门环的示意图如图所示图中以正六边形 ABCDEF 的对角线 AC 的中点 O 为圆心，OB 为半径作 O，AQ 切O 于点 P，并交 DE 于点 Q，若AQ12 cm，则该圆的半径为 3+ cm【分析】连接 OB，OP，根据等腰三角形的性质得到 OBAC，根据切线的性质得到OPAQ，设该圆的半径为 r，得到 OBOP r，根据等边三角形的性质得到ABBCCD2r
14、，AO r，求得 AC2 r，根据三角函数的定义得到 sinPAO ，过 Q 作 QGAC 于 G，过 D 作 DHQG 于 H，根据矩形的性质得到 HGCD，DHCG，HDC90，根据勾股定理得到AG 12 ，根据三角函数的定义即可得到结论【解答】解：连接 OB，OP，ABBC，O 为 AC 的中点，OBAC，AQ 是 O 的切线，OPAQ ，设该圆的半径为 r，OBOP r ，ABC120，BAO30，ABBCCD2r，AO r，AC2 r，sinPAO ，过 Q 作 QGAC 于 G，过 D 作 DHQG 于 H，第 12 页（共 25 页）则四边形 DHGC 是矩形，HGCD，DHCG
15、，HDC90，sinPAO ，QDH1209030，QG12，AG 12 ，QH122r，DH2 r12 ，tanQDH tan30 ，解得 r3+ ，该圆的半径为 3+ cm，故答案为：3+ 【点评】本题考查了正多边形与圆，切线的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键10正多边形的中心角与该正多边形的一个内角的关系是 互补 【分析】根据正多边形的中心角的定义可得到正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，然后利用正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补得到正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补【解答】解：设正多边形的边数为 n，则正多边
16、形的中心角为 ，正多边形的一个外角等于 ，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补故答案为：互补第 13 页（共 25 页）【点评】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成 n（n 是大于 2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆掌握正多边形的有关概念11如图，正六边形 ABCDEF 外接圆的半径为 4，则其内切圆的半径是 2 【分析】作 OGAB 于 G，连接 OA、OB，则OAB 是等边三角形，由等边三角形的性质得出 AG2，由勾股定
17、理求出 OG 即可【解答】解：作 OGAB 于 G，连接 OA、OB，如图所示：则 OG 为正六边形内切圆的半径，则OAB 是等边三角形，OAAB4，AG AB2，OG 2 ，故答案为：2 【点评】本题考查了正多边形的计算等边三角形的判定与性质、勾股定理，理解正六边形被半径分成了六个全等的等边三角形是关键12一个正六边形的周长是 18cm，则这个正六边形的边长是 3cm 【分析】由正六边形的周长和性质即可得出结果【解答】解：一个正六边形的周长是 18cm，正六边形的边长1863（cm） ；故答案为：3cm第 14 页（共 25 页）【点评】本题考查了正六边形的性质、正六边形的周长；熟练掌握正六
18、边形的边长相等是解题的关键三解答题（共 12 小题）13如图，已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的对称中心，G，H 分别是 AF，BC 上的点，且AGBH（1）求FAB 的度数；（2）求证：OGOH【分析】 （1）根据多边形的内角和定理、正多边形的性质计算；（2）证明AOGBOH ，根据全等三角形的性质证明结论【解答】 （1）解：六边形 ABCDEF 是正六边形，FAB 120；（2）证明：连接 OA、OB，OAOB ，OABOBA，FAB CBA，OAG OBH，在AOG 和 BOH 中，AOG BOH（SAS）OGOH第 15 页（共 25 页）【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正
19、多边形的内角的计算公式、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键14如果边长相等的正五边形和正六边形的一边重合，求1 的度数【分析】根据正多边形的内角： ，可得正五边形的内角、正六边形的内角，根据角的和差，可得答案【解答】解：正五边形的内角 108，正六边形的内角120，故112010812【点评】本题考查了正多边形和圆，利用正多边形的内角公式得出相应正多边形的内角是解题关键15求半径为 3 的圆的内接正方形的边长【分析】根据题意首先求出 BE 的长，即可解决问题【解答】解：如图，四边形 ABCD 是O 的内接正方形，OBE45；而 OEBC，BECE；而 OB3，sin45 ，cos45
20、，OE ，BE ，BC3 ，故半径为 3 的圆内接正方形的边长为 3 第 16 页（共 25 页）【点评】该题主要考查了正多边形和圆，解直角三角形，正方形的性质，正确的理解题意是解题的关键16如图，已知五边形 ABCDE 是正五边形，连结 AC、AD证明：ACDADC【分析】直接利用正五边形的性质得出 ABAEBCED，BE，进而得出ABCAED（SAS） ，即可得出答案【解答】证明：正五边形 ABCDE 中，ABAEBCED，B E，在ABC 和AED 中，ABCAED（SAS） ，ACAD，ACDADC【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及等腰三角形的性质，正确把握正多边形的性质是解题关键
21、17 （1）已知：如图 1，ABC 是O 的内接正三角形，点 P 为劣弧 BC 上一动点求证：PA PB+PC；（2）已知：如图 2，四边形 ABCD 是O 的内接正方形，点 P 为劣弧 BC 上一动点求证：PAPC+ PB第 17 页（共 25 页）【分析】 （1）延长 BP 至 E，使 PEPC，连接 CE，证明PCE 是等边三角形利用CEPC，E360，EBCPAC ，得到BECAPC，所以PABEPB +PC；（2）过点 B 作 BEPB 交 PA 于 E，证明ABECBP，所以 PCAE，可得PAPC+ PB；【解答】证明：（1）延长 BP 至 E，使 PEPC，连接 CE，如图 1
22、，A、B、P、C 四点共圆，BAC+ BPC180，BPC+ EPC180，BACCPE60，PEPC，PCE 是等边三角形，CEPC，E60；又BCE60+BCP，ACP60+ BCP，BCEACP，ABC、ECP 为等边三角形，CEPC，ACBC，在BEC 和APC 中，第 18 页（共 25 页），BECAPC（SAS ） ，PABEPB+PC；（2）过点 B 作 BEPB 交 PA 于 E，连接 OA，OB如图 2，1+22+ 39013，APB AOB45，BPBE，PE PB，在ABE 和CBP 中，ABE CBP（SAS） ，PCAE，PAAE+PEPC+ PB；【点评】本题主要
23、考查三角形全等的性质和判定方法以及正多边形和圆的有关知识要熟悉这些基本性质和全等三角形的判定方法才能灵活运用解决综合性的习题18如图，已知正三角形 ABC 内接于O，AD 是O 的内接正十二边形的一条边长，连接 CD，若 CD6 cm，求 O 的半径第 19 页（共 25 页）【分析】首先连接 OA、OD、OC，由等边ABC 内接于 O，AD 为内接正十二边形的一边，可求得AOC，AOD 的度数，继而证得COD 是等腰直角三角形，继而求得答案【解答】解：连接 OA、OD、OC，如图所示：等边ABC 内接于O，AD 为内接正十二边形的一边，AOC 360120，AOD 36030 ，CODAOC
24、BAD 90，OCOD，OCD 是等腰直角三角形，OCOD CD 6 6，即 O 的半径为 6cm【点评】此题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键19如图，在O 的内接四边形 ABCD 中，ABAD，C120，点 E 在弧 AD 上，连接 OA、 OD、OE 、AE 、DE（1）求AED 的度数；（2）当DOE90时，AE 恰好为O 的内接正 n 边形的一边，求 n 的值第 20 页（共 25 页）【分析】 （1）首先连接 BD，由在 O 的内接四边形 ABCD 中，C 120，根据
25、圆的内接四边形的性质，BAD 的度数，又由 ABAD，可证得ABD 是等边三角形，则可求得ABD60，再利用圆的内接四边形的性质，即可求得E 的度数；（2）首先连接 OA，由ABD60，利用圆周角定理，即可求得 AOD 的度数，继而求得AOE 的度数，继而求得答案【解答】解：（1）连接 BD，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，BAD+C180，C120，BAD60，ABAD ，ABD 是等边三角形，ABD60，四边形 ABDE 是 O 的内接四边形，AED+ABD 180，AED120；（2）连接 OA，ABD60，AOD 2 ABD120，DOE 90 ，AOEAODDOE30，n 12
26、第 21 页（共 25 页）【点评】此题考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理以及等边三角形的判定与性质注意准确作出辅助线是解此题的关键20如图，在正方形 ABCD 内有一折线段，其中 AEEF，EFFC，并且AE 3，EF4，FC5，求正方形 ABCD 的外接圆的半径【分析】首先连接 AC，则可证得 AEM CFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得 EM 与 FM 的长，然后由勾股定理求得 AM 与 CM 的长，进而得到 AC 的长，在 Rt ABC 中，由 ABAC sin45，即可求出正方形的边长【解答】解：连接 AC，则 AC 是该圆的直径，延长 AE 交圆于 G，连接 CG，则
27、AGC90，AEEF，EFFC，四边形 EFCG 是矩形，EGFC5，GCEF4，AG8由勾股定理得，AC 4 ，正方形外接圆的半径为 2 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质以及勾股定理的应用此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用第 22 页（共 25 页）21已知正六边形 ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是 a，求正六边形的周长和面积【分析】根据正六边形的半径等于边长即可得出正六边形的周长，再由三角函数求出边心距，即可求出正六边形的面积【解答】解：正六边形的半径等于边长，正六边形的边长 ABOA a；正六边形的周长6AB6a；OM OAsin60 a，正六边
28、形的面积 S6 a a a2【点评】本题考查的是正六边形的性质、三角函数、三角形面积的计算，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径22已知，如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 6cm，求这个正六边形的外接圆半径 R，边心距 6，面积 S6【分析】连接 OA，OB，过点 O 作 OGAB 于 G，易得AOB 是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径 R，然后由勾股定理求得边心距，又由 S 正六边形 6S ABC 求得答案【解答】解：连接 OA，OB，过点 O 作 OGAB 于 G，AOB60，OA OB，AOB 是等边三角形，OAOB 6，即 R6，OAOB 6，OGAB ，第 23
29、页（共 25 页）AG AB 63，在 RtAOG 中，r 6OG cm，S 6 663 54 cm2【点评】此题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用23如图，O 的周长等于 8cm，正六边形 ABCDEF 内接于 O（1）求圆心 O 到 AF 的距离；（2）求正六边形 ABCDEF 的面积【分析】 （1）连接 OC、OD，作 OHCD 于 H，根据圆的周长公式求出半径，根据余弦的定义计算即可；（2）根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算【解答】解：（1）连接 OC、OD，作 OHCD 于 H， O 的周长等于 8cm，半径 OC4
30、cm ，六边形 ABCDE 是正六边形，COD60，COH30，圆心 O 到 CD 的距离4cos302 ，圆心 O 到 AF 的距离为 2 cm；（2）正六边形 ABCDEF 的面积 42 624 cm2第 24 页（共 25 页）【点评】本题考查的是正多边形与圆、垂径定理，掌握正六边形的性质、垂径定理是解题的关键24如图正方形 ABCD 内接于O ，E 为 CD 任意一点，连接 DE、AE（1）求AED 的度数（2）如图 2，过点 B 作 BFDE 交O 于点 F，连接 AF，AF1，AE4，求 DE 的长度【分析】 （1）如图 1 中，连接 OA、OD根据AED AOD，只要证明AOD
31、90即可解决问题；（2）如图 2 中，连接 CF、CE、CA，作 DHAE 于 H首先证明 CEAF1，求出AC、AD，设 DHEHx，在 RtADH 中，利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：（1）如图 1 中，连接 OA、OD四边形 ABCD 是正方形，AOD 90 ，AED AOD 45（2）如图 2 中，连接 CF，CE，CA，BD，作 DHAE 于 H第 25 页（共 25 页）BFDE ，ABCD，BDEDBF，BDCABD ，ABF CDE，CFAAEC90，DECAFB135，CDAB ，CDEABF，AFCE1，AC ，AD AC ，DHE 90 ，HDE HED45，DHHE ，设 DHEH x，在 Rt ADH 中，AD 2AH 2+DH2， （4x） 2+x2，解得 x 或 （舍弃） ，DE DH【点评】本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型
