1、第 1 页（共 34 页）2019 年人教版九年级上学期24.3 正多边形和圆同步练习卷一选择题（共 13 小题）1如图，O 是正六边形 ABCDEF 的外接圆，P 是弧 EF 上一点，则BPD 的度数是（ ）A30 B60 C55 D752 O 是一个正 n 边形的外接圆，若O 的半径与这个正 n 边形的边长相等，则 n 的值为（ ）A3 B4 C6 D83如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为 2，则图中阴影部分的面积为（ ）A B3 C6 D44正六边形的周长为 12，则它的外接圆的内接正三角形的周长为（ ）A2 B3 C6 D65如图，正六边形 ABCDEF 内
2、接于O ，若O 的半径为 6，则ADE 的周长是（ ）A9+3 B12+6 C18+3 D18+66如图，已知O 的周长等于 6cm，则它的内接正六边形 ABCDEF 的面积是（ ）第 2 页（共 34 页）A B C D277已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）A1：2： B2：3：4 C1： ：2 D1：2：38如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与三个正方形的面积和的比值为（ ）A B1 C D9如图，O 的外切正六边形 ABCDEF 的边长为 2，则图中阴影部分的面积为（ ）A B C D10如图，将正六边形 ABCDEF 放置在平面直角坐标系
3、内，A（2，0） ，点 B 在原点，把正六边形 ABCDEF 沿 x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转 60，经过 2018 次翻转之后，点 C 的坐标是（ ）A （4034，0） B （4034， ） C （4033， ） D （4033，0）11一个圆形餐桌直径为 2 米，高 1 米，铺在上面的一个正方形桌布的四个角恰好刚刚接第 3 页（共 34 页）触地面，则这块桌布的每边长度（米）为（ ）A2 B4 C4 D412如图，在半径为 R 的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第 n 个内切圆，它的半径是（ ）A B C D13如图，O
4、内切于正方形 ABCD，边 BC、DC 上两点 M、N，且 MN 是O 的切线，当AMN 的面积为 4 时，则O 的半径 r 是（ ）A B C2 D二填空题（共 9 小题）14如图，正五边形 ABCDE 内接于 O，则ABD 15有一个边长为 2cm 的正六边形，如果要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，那么这张圆形纸片的最小半径为 cm16如图，边 AB 是O 内接正六边形的一边，点 C 在 上，且 BC 是O 内接正八边形的一边，若 AC 是O 内接正 n 边形的一边，则 n 第 4 页（共 34 页）17如图，正方形 ABCD 内接于O ，其边长为 2，则O 的内接正三角形 EFG 的边长
5、为 18如图，正六边形 ABCDEF 中，P，Q 两点分别为ACF，CEF 的内心，若 AF1，则 PQ 的长度为 19若正六边形 ABCDEF 的面积是 6 平方厘米，连结 AC、CE 、E、BD 、DF、FB，则阴影部分小正六边形的面积为 平方厘米20正六边形 ABCDEF 内接于O ，O 的直径是 6，则正六边形的周长是 21如图，正六边形 ABCDEF 外接圆的半径为 4，则其内切圆的半径是 第 5 页（共 34 页）22如图，P、Q 分别是O 的内接正五边形的边 AB、BC 上的点，BPCQ，则POQ 三解答题（共 6 小题）23如图，O 是正方形 ABCD 与正六边形 AEFCGH
6、 的外接圆（1）正方形 ABCD 与正六边形 AEFCGH 的边长之比为 ；（2）连接 BE，BE 是否为O 的内接正 n 边形的一边？如果是，求出 n 的值；如果不是，请说明理由24如图，已知正三角形 ABC 内接于O，AD 是O 的内接正十二边形的一条边长，连接 CD，若 CD6 cm，求 O 的半径25如图，O 半径为 4cm，其内接正六边形 ABCDEF，点 P，Q 同时分别从 A，D 两点出发，以 1cm/s 速度沿 AF，DC 向终点 F，C 运动，连接 PB，QE，PE，BQ 设运动时间为 t（s） 第 6 页（共 34 页）（1）求证：四边形 PEQB 为平行四边形；（2）填空
7、：当 t s 时，四边形 PBQE 为菱形；当 t s 时，四边形 PBQE 为矩形26 （1）已知：如图 1，ABC 是O 的内接正三角形，点 P 为弧 BC 上一动点，求证：PA PB+PC；（2）如图 2，四边形 ABCD 是O 的内接正方形，点 P 为弧 BC 上一动点，求证：；（3）如图 3，六边形 ABCDEF 是O 的内接正六边形，点 P 为弧 BC 上一动点，请探究 PA、PB、PC 三者之间有何数量关系，并给予证明27如图，在O 的内接四边形 ABCD 中，ABAD，C120，点 E 在弧 AD 上，连接 OA、 OD、OE 、AE 、DE（1）求AED 的度数；（2）当DO
8、E90时，AE 恰好为O 的内接正 n 边形的一边，求 n 的值28 （1）已知：如图 1，ABC 是O 的内接正三角形，点 P 为劣弧 BC 上一动点求证：PA PB+PC；第 7 页（共 34 页）（2）已知：如图 2，四边形 ABCD 是O 的内接正方形，点 P 为劣弧 BC 上一动点求证：PAPC+ PB第 8 页（共 34 页）参考答案与试题解析一选择题（共 13 小题）1如图，O 是正六边形 ABCDEF 的外接圆，P 是弧 EF 上一点，则BPD 的度数是（ ）A30 B60 C55 D75【分析】构造圆心角，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可【解答】解：连接 OB，
9、OD，六边形 ABCDEF 是正六边形，BOD 120，BPD BOD 60，故选：B【点评】本题考查了正多边形和圆以及圆周角定理的知识，解题的关键是正确的构造圆心角，难度不大2 O 是一个正 n 边形的外接圆，若O 的半径与这个正 n 边形的边长相等，则 n 的值为（ ）A3 B4 C6 D8【分析】因为O 的半径与这个正 n 边形的边长相等，推出这个多边形的中心角 60，构建方程即可解决问题；【解答】解：O 的半径与这个正 n 边形的边长相等，这个多边形的中心角60，第 9 页（共 34 页） 60，n6，故选：C【点评】本题考查正多边形与圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识
10、解决问题，属于中考常考题型3如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为 2，则图中阴影部分的面积为（ ）A B3 C6 D4【分析】根据题意得到图中阴影部分的面积S ABC +3SADE ，代入数据即可得到结论【解答】解：如图，“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，ABC 与ADE 是等边三角形，圆的半径为 2，AH3，BCAB 2 ，AE ，AF 1，图中阴影部分的面积S ABC +3SADE 2 3+ 134 ，故选：D【点评】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，熟记正多边形与圆的性质是解题的关键4正六边形的周长为 12，则它的外接圆的内接正三角形的周长为（ ）
11、第 10 页（共 34 页）A2 B3 C6 D6【分析】根据题意画出图形，求出正六边形的边长，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可【解答】解：圆内接正六边形的周长为 12，圆内接正六边形的边长为 2，圆的半径为 2，如图，连接 OB，过 O 作 ODBC 于 D，则OBC30，BDOBcos302 ，BC2BD2 ；该圆的内接正三角形的周长为 6 ，故选：C【点评】本题考查了正多边形和圆，以及圆内接正三角形及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键5如图，正六边形 ABCDEF 内接于O ，若O 的半径为 6，则ADE 的周长是（ ）A9+3 B12+6
12、 C18+3 D18+6【分析】首先确定三角形的三个角的度数，从而判断该三角形是特殊的直角三角形，然后根据半径求得斜边的长，从而求得另外两条直角边的长，进而求得周长【解答】解：连接 OE，多边形 ABCDEF 是正多边形，DOE 60，第 11 页（共 34 页）DAE DOE 6030，AED90， O 的半径为 6，AD2OD 12，DE AD 126，AE DE6 ，ADE 的周长为 6+12+6 18+6 ，故选：D【点评】考查了正多边形和圆的知识，解答的关键是确定三角形的三个角的度数，然后确定其三边的长，难度不大6如图，已知O 的周长等于 6cm，则它的内接正六边形 ABCDEF 的
13、面积是（ ）A B C D27【分析】首先过点 O 作 OHAB 于点 H，连接 OA，OB ，由O 的周长等于 6cm，可得 O 的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案【解答】解：过点 O 作 OHAB 于点 H，连接 OA，OB ，AH AB， O 的周长等于 6cm， O 的半径为：3cm ，AOB 36060，OAOB ，OAB 是等边三角形，ABOA 3cm，AH cm，第 12 页（共 34 页）OH （cm） ，S 正六边形 ABCDEF6S OAB 6 3 （cm 2） 故选：C【点评】此题考查了正多边形与圆的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用7已知等边三角形
14、的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）A1：2： B2：3：4 C1： ：2 D1：2：3【分析】过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径，外接圆半径和高，中心角之间的计转化为解直角三角形【解答】解：图中内切圆半径是 OD，外接圆的半径是 OC，高是 AD，因而 ADOC+OD；在直角OCD 中，DOC60，则 OD：OC1：2，因而 OD：OC：AD1：2：3，所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是 1：2：3故选 D【点评】正多边形的计算，一般是过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径，外接圆半径和高，中心角之间的计转化为解直角三角形8如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边
15、三角形与三个正方形的面积和的比值为（ ）第 13 页（共 34 页）A B1 C D【分析】由题意知：三个正方形的共用顶点即为圆的圆心，也是等边三角形的重心；可设等边三角形的边长为 2x，作等边三角形的高，再根据三角形重心的性质即可得到正方形的对角线的长；进而可求得等边三角形和正方形的面积，即可得到它们的面积比【解答】解：如图，设圆的圆心为 O，由题意知：三角形的重心以及三个正方形的共用顶点即为点 O过 A 作 ADBC 于 D，则 AD 必过点 O，且 AO2OD；设ABC 的边长为 2x，则 BDx ，AD x，OD x；正方形的边长为： x，面积为 x2，三个正方形的面积和为 2x2；易
16、求得ABC 的面积为： 2x x x2，等边三角形与三个正方形的面积和的比值为 ，故选：A【点评】此题考查的知识点有：轴对称图形、等边三角形及正方形的性质、三角形重心的性质以及图形面积的求法，找到等边三角形和正方形边长的比例关系是解答此题的关键9如图，O 的外切正六边形 ABCDEF 的边长为 2，则图中阴影部分的面积为（ ）A B C D【分析】由于六边形 ABCDEF 是正六边形，所以AOB60，故OAB 是等边三角形，OAOB AB 2，设点 G 为 AB 与O 的切点，连接 OG，则第 14 页（共 34 页）OGAB，OGOA sin60，再根据 S 阴影 S OAB S 扇形 OM
17、N，进而可得出结论【解答】解：六边形 ABCDEF 是正六边形，AOB60，OAB 是等边三角形，OAOB AB 2，设点 G 为 AB 与 O 的切点，连接 OG，则 OGAB，OGOA sin602 ，S 阴影 S OAB S 扇形 OMN 2 故选：A【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出OAB 是等边三角形是解答此题的关键10如图，将正六边形 ABCDEF 放置在平面直角坐标系内，A（2，0） ，点 B 在原点，把正六边形 ABCDEF 沿 x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转 60，经过 2018 次翻转之后，点 C 的坐标是（ ）A （4034，0） B （4
18、034， ） C （4033， ） D （4033，0）【分析】根据正六边形的特点，每 6 次翻转为一个循环组循环，用 2018 除以 6，根据商和余数的情况确定出点 C 的位置，然后求出翻转前进的距离，过点 C 作 CGx 于 G，求出CBG60，然后求出 CG、BG，再求出 OG，然后写出点 C 的坐标，最后翻转两次得出坐标即可【解答】解：正六边形 ABCDEF 沿 x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转 60，第 15 页（共 34 页）每 6 次翻转为一个循环组循环，201863362，经过 2018 次翻转为第 336 循环，点 C 在开始时的位置，A（2，0） ，AB2，翻转前进
19、的距离220164032，如下图，过点 C 作 CGx 于 G，则CBG60，AG2 1，BG2 ，OG4032+14033，点 C 的坐标为（4033， ） ，再经过 2 次翻转，点 C 的坐标为（ 4034，0）故选：A【点评】本题考查的是点的坐标，涉及到坐标与图形变化旋转，正六边形的性质，根据每 6 次翻转为一个循环组，确定出翻转最后点 B 所在的位置是解题的关键11一个圆形餐桌直径为 2 米，高 1 米，铺在上面的一个正方形桌布的四个角恰好刚刚接触地面，则这块桌布的每边长度（米）为（ ）A2 B4 C4 D4【分析】根据题意，圆形餐桌的直径为 2 米，高为 1 米铺在桌面上的正方形桌布
20、的四角恰好刚刚接触地面，说明正方形对角线长度为圆形桌面的直径加上两个高，即2+1+1 4 米，所以正方形边长是 2 米【解答】解：正方形桌布对角线长度为圆形桌面的直径加上两个高，即 2+1+14（米） ，设正方形边长是 x 米，则x2+x24 2，第 16 页（共 34 页）解得：x2 ，所以正方形桌布的边长是 2 米故选：A【点评】本题考查了正方形和圆的有关知识，以及勾股定理，此题解答关键是求出正方形桌布的对角线的长度，进而求出边长12如图，在半径为 R 的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第 n 个内切圆，它的半径是（ ）A B C D【
21、分析】先求出第一个的半径，再求第二个，从中找出规律利用规律计算【解答】解：第一个的半径是 R，AOC 是等腰直角三角形，OC OA R，第二个的半径是 R，同理，第三个的半径是（ ） 2R，依此类推得到第 n 个圆，它的半径是 第 n 个内切圆恰好是第 n+1 个圆，第 n 个内切圆，它的半径是 故选：A【点评】注意到正方形的相似性，是解决本题的关键13如图，O 内切于正方形 ABCD，边 BC、DC 上两点 M、N，且 MN 是O 的切线，当AMN 的面积为 4 时，则O 的半径 r 是（ ）第 17 页（共 34 页）A B C2 D【分析】设O 与 MN 相切于点 K，设正方形的边长为
22、2a因为 BC、CD、MN 是切线，可得 BECE CFDF a，MKME，NKNF ，设 MKMEx ，NK NFy，在RtCMN 中，因为 MNx+y，CNay ，CMax，可得到（ x+y） 2（ay）2+（ax） 2，推出 ax+ay+xya 2，根据 SAMN S 正方形 ABCDS ABM S CMN S ADN，构建方程求出 a 即可解决问题【解答】解：设O 与 MN 相切于点 K，设正方形的边长为 2aBC、CD、MN 是切线，BECECFDF a，MKME，NKNF ，设 MK MEx ，NK NFy，在 Rt CMN 中， MNx+y，CNay ，CMax，（x+y） 2（
23、 ay ） 2+（ax ） 2，ax+ay+xya 2，S AMN S 正方形 ABCDS ABM S CMN S ADN 4，4a 2 2a（a+x） （ax） （ay ） 2a（a+y）4， a2 （ax+ay +xy）4，a 24，a2 或2（负值舍去） ，AB2a4， O 的半径为 2故选：C第 18 页（共 34 页）【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理切线长定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题二填空题（共 9 小题）14如图，正五边形 ABCDE 内接于 O，则ABD 72 【分析】连接 AO、DO，根据正五边形的性质求出AOD，再根据同弧所对的
24、圆周角等于圆心角的一半列式计算即可得解【解答】解：如图，连接 AO、DO，五边形 ABCDE 是正五边形，AOD 360144 ，ABD AOD 14472；故答案为：72【点评】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，熟记定理并作辅助线构造出弧 AD所对的圆心角是解题的关键15有一个边长为 2cm 的正六边形，如果要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，那么这张圆形纸片的最小半径为 2 cm【分析】要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，这个圆形纸片的边缘即为其外接圆，根据正六边形的边长与外接圆半径的关系即可求出【解答】解：正六边形的边长是 2cm，第 19 页（共 34 页）正六边形的半径是 2cm
25、，这个圆形纸片的最小半径是 2cm故答案为：2【点评】此题考查了正多边形与圆的知识注意正六边形的外接圆半径与边长相等，这是一个需要熟记的内容16如图，边 AB 是O 内接正六边形的一边，点 C 在 上，且 BC 是O 内接正八边形的一边，若 AC 是O 内接正 n 边形的一边，则 n 24 【分析】根据中心角的度数360边数，列式计算分别求出AOB，BOC 的度数，则AOC15，则边数 n360中心角【解答】解：连接 OC，AB 是O 内接正六边形的一边，AOB360660，BC 是O 内接正八边形的一边，BOC360845，AOCAOBBOC604515，n3601524；故答案为：24；【
26、点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键17如图，正方形 ABCD 内接于O ，其边长为 2，则O 的内接正三角形 EFG 的边长为 第 20 页（共 34 页）【分析】连接 AC、OE、OF，作 OMEF 于 M，先求出圆的半径，在 RtOEM 中利用30 度角的性质即可解决问题【解答】解；连接 AC、OE、OF，作 OMEF 于 M，四边形 ABCD 是正方形，ABBC2， ABC 90 ，AC 是直径，AC2 ，OEOF ，OM EF，EMMF，EFG 是等边三角形，GEF60，在 Rt OME 中，OE ，OEM
27、GEF 30，OM ， EM OM ，EF 故答案为 【点评】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型18如图，正六边形 ABCDEF 中，P，Q 两点分别为ACF，CEF 的内心，若 AF1，则 PQ 的长度为 1 第 21 页（共 34 页）【分析】连接 PF，QF ，作 QHEF 于 H，利用正六边形的性质得到BAF AFEFED120，ABBCDC DE，则可判断ACF 和ECF 为全等的直角三角形，可计算出 CE EF ，CF 2EF2，根据直角三角形内切圆的半径的计算方法得到 QH ，利用内心性质得到
28、 PFC30，QFC30，接着证明FPQ 为等边三角形，然后计算出 FQ 即可得到 PQ 的长【解答】解：连接 PF，QF ，作 QHEF 于 H，六边形 ABCDEF 正六边形，BAF AFEFED120，ABBCDC DE，BACDEC30，AFC EFC60，CAFCEF90，ACF 和ECF 为全等的直角三角形，CE EF ，CF2EF2，P，Q 两点分别为ACF，CEF 的内心，GH 为 RtCEF 的内切圆的半径，QH ，FQ 平分EFC，PF 平分AFC，PFC30，QFC30，PFQ60，FCAFCE，FPFQ ，FPQ 为等边三角形，在 Rt FQH 中，FQ2QH 1，PQ
29、 1故答案为 1第 22 页（共 34 页）【点评】本题考查了正多边形和圆：把一个圆分成 n（n 是大于 2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆熟练掌握正六边形的性质19若正六边形 ABCDEF 的面积是 6 平方厘米，连结 AC、CE 、E、BD 、DF、FB，则阴影部分小正六边形的面积为 2 平方厘米【分析】由正六边形的性质得出ACE 的面积 正六边形的面积，ALM 的面积+CHI 的面积+ EKJ 的面积 ACE 的面积，即可得出结果【解答】解：由正六边形的性质得：ACE 的面积 正六边形的面积 63 平方厘米，ALM 的面积
30、+CHI 的面积+EKJ 的面积 ACE 的面积1 平方厘米，正六边形 HUKML 的面积312 平方厘米；故答案为：2【点评】本题考查了正六边形的性质；利用正六边形可分成 6 个全等的等边三角形，由正六边形的性质得出三角形和正六边形的面积关系是解决问题的关键20正六边形 ABCDEF 内接于O ，O 的直径是 6，则正六边形的周长是 18 第 23 页（共 34 页）【分析】由正六边形 ABCDEF 内接于O ，由O 的直径得出O 的半径，再根据正六边形的半径等于边长即可得出结果【解答】解：正六边形 ABCDEF 内接于O ，O 的直径是 6， O 的半径为 3，正六边形 ABCDEF 的边
31、长为 3，正六边形 ABCDEF 的周长是：3618；故答案为：18【点评】本题考查了正多边形和圆的位置关系、正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径21如图，正六边形 ABCDEF 外接圆的半径为 4，则其内切圆的半径是 2 【分析】作 OGAB 于 G，连接 OA、OB，则OAB 是等边三角形，由等边三角形的性质得出 AG2，由勾股定理求出 OG 即可【解答】解：作 OGAB 于 G，连接 OA、OB，如图所示：则 OG 为正六边形内切圆的半径，则OAB 是等边三角形，OAAB4，AG AB2，OG 2 ，故答案为：2 第 24 页（共 34 页）【点评】本题考查了正多边
32、形的计算等边三角形的判定与性质、勾股定理，理解正六边形被半径分成了六个全等的等边三角形是关键22如图，P、Q 分别是O 的内接正五边形的边 AB、BC 上的点，BPCQ，则POQ 72 【分析】连接 OA、OB、OC，证明OBPOCQ ，根据全等三角形的性质得到BOPCOQ，结合图形计算即可【解答】解：连接 OA、OB、OC，五边形 ABCDE 是O 的内接正五边形，AOBBOC72，OAOB ，OBOC ，OBAOCB54，在OBP 和OCQ 中，OBPOCQ，BOPCOQ，AOBAOP+BOP ， BOCBOQ +QOC，BOPQOC，POQ BOP+ BOQ ， BOCBOQ+QOC，P
33、OQ BOC 72第 25 页（共 34 页）故答案为：72【点评】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解题的关键三解答题（共 6 小题）23如图，O 是正方形 ABCD 与正六边形 AEFCGH 的外接圆（1）正方形 ABCD 与正六边形 AEFCGH 的边长之比为 ：1 ；（2）连接 BE，BE 是否为O 的内接正 n 边形的一边？如果是，求出 n 的值；如果不是，请说明理由【分析】 （1）计算出在半径为 R 的圆中，内接正方形和内接正六边形的边长即可求出；（2）首先求得EOB 的度数，然后利用 360除以EOB 度数，若所得
34、的结果是整数的即可【解答】解：（1）设此圆的半径为 R，则它的内接正方形的边长为 R，它的内接正六边形的边长为 R，内接正方形和外切正六边形的边长比为 R：R ：1；故答案为： ：1；（2）BE 是O 的内接正十二边形的一边，理由：连接 OA，OB，OE ，在正方形 ABCD 中，AOB 90，第 26 页（共 34 页）在正六边形 AEFCGH 中，AOE60，BOE30，n 12，BE 是正十二边形的边【点评】考查了正多边形和圆，解决圆的相关问题一定要结合图形，掌握基本的图形变换找出内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键24如图，已知正三角形 ABC 内接于O，AD 是O 的
35、内接正十二边形的一条边长，连接 CD，若 CD6 cm，求 O 的半径【分析】首先连接 OA、OD、OC，由等边ABC 内接于 O，AD 为内接正十二边形的一边，可求得AOC，AOD 的度数，继而证得COD 是等腰直角三角形，继而求得答案【解答】解：连接 OA、OD、OC，如图所示：等边ABC 内接于O，AD 为内接正十二边形的一边，AOC 360120，AOD 36030 ，CODAOCBAD 90，OCOD，OCD 是等腰直角三角形，OCOD CD 6 6，即 O 的半径为 6cm第 27 页（共 34 页）【点评】此题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股
36、定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键25如图，O 半径为 4cm，其内接正六边形 ABCDEF，点 P，Q 同时分别从 A，D 两点出发，以 1cm/s 速度沿 AF，DC 向终点 F，C 运动，连接 PB，QE，PE，BQ 设运动时间为 t（s） （1）求证：四边形 PEQB 为平行四边形；（2）填空：当 t 2 s 时，四边形 PBQE 为菱形；当 t 0 或 4 s 时，四边形 PBQE 为矩形【分析】 （1）只要证明ABPDEQ （SAS ） ，可得 BPEQ ，同理 PEBQ，由此即可证明；（2） 当 PAPF，QCQD 时，四边形 PBEQ
37、 是菱形时，此时 t2s；当 t 0 时，EPFPEF30，推出BPE1203090，推出此时四边形 PBQE 是矩形当 t4 时，同法可知BPE90，此时四边形 PBQE 是矩形；【解答】 （1）证明：正六边形 ABCDEF 内接于O ，ABBCCDDEEF FA ，AABC C DDEFF，点 P，Q 同时分别从 A，D 两点出发，以 1cm/s 速度沿 AF，DC 向终点 F，C 运动，APDQt， PFQC4t，在ABP 和DEQ 中，第 28 页（共 34 页），ABP DEQ（SAS） ，BPEQ ，同理可证 PEQB，四边形 PEQB 是平行四边形（2）解： 当 PAPF，QCQ
38、D 时，四边形 PBEQ 是菱形时，此时 t2s当 t 0 时，EPFPEF30，BPE 1203090，此时四边形 PBQE 是矩形当 t4 时，同法可知BPE 90，此时四边形 PBQE 是矩形综上所述，t0s 或 4s 时，四边形 PBQE 是矩形故答案为 2s，0s 或 4s【点评】本题考查正多边形与圆平行四边形的判定和性质、菱形的判定、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型26 （1）已知：如图 1，ABC 是O 的内接正三角形，点 P 为弧 BC 上一动点，求证：PA PB+PC；（2）如图 2，四边形 ABCD 是O 的内接正方形，点 P 为弧
39、BC 上一动点，求证：；（3）如图 3，六边形 ABCDEF 是O 的内接正六边形，点 P 为弧 BC 上一动点，请探究 PA、PB、PC 三者之间有何数量关系，并给予证明第 29 页（共 34 页）【分析】 （1）延长 BP 至 E，使 PEPC，连接 CE，证明PCE 是等边三角形利用CEPC，E360，EBCPAC ，得到BECAPC，所以PABEPB +PC；（2）过点 B 作 BEPB 交 PA 于 E，证明ABECBP，所以 PCAE，可得PAPC+ PB（3）在 AP 上截取 AQPC，连接 BQ 可证ABQCBP，所以 BQBP又因为APB 30所以 PQ PB，PAPQ +A
40、Q PB+PC【解答】证明：（1）延长 BP 至 E，使 PEPC，连接 CEA、B、P 、C 四点共圆，BAC+ BPC180，BPC+ EPC180，BACCPE60，PEPC ，PCE 是等边三角形，CEPC，E60；又BCE60+BCP，ACP60+ BCP，BCEACP，ABC、ECP 为等边三角形，CEPC，ACBC，BECAPC（SAS ） ，PABEPB+PC （2 分）（2）过点 B 作 BEPB 交 PA 于 E1+22+ 39013，第 30 页（共 34 页）APB 45，BPBE， ；又ABBC，ABE CBP，PCAE （4 分）（3）答： ；证明：过点 B，作 BMAP，在 AP 上截取 AQPC ，连接 BQ，BAPBCP，ABBC，ABQCBP，BQBPMPQM，又APB 30，cos30 ，PM PB， （7 分）【点评】本题考查三角形全等的性质和判定方法以及正多边形和圆的有关知识要熟悉这些基本性质才能灵活运用解决综合性的习题27如图，在O 的内接四边形 ABCD 中，ABAD，C120，点 E 在弧 AD 上，连接 OA、 OD、OE 、AE 、DE（1）求AED 的度数；
