2020浙江中考数学精准大二轮复习核心母题一:最值问题

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1、核心母题一最值问题(2019台州模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线yx4与坐标轴交于A,B两点,OCAB于点C,P是线段OC上的一个动点,连结AP,将线段AP绕点A逆时针旋转45,得到线段AP,连结CP,则线段CP的最小值为( )A22 B1C21 D2【母题分析】由点P的运动确定P的运动轨迹是与x轴垂直的一段线段MN,当线段CP与MN垂直时,线段CP的值最小【母题解答】【思想方法】(1)最值(或最短路径)问题的背景来源主要有:角、等腰(边)三角形、菱形、正方形以及圆等从内容上看,还会引申到“两线段差最大”问题、三角形(四边形)的周长最小问题、面积最大等除此之外,解决最值问题常常借助极

2、端点(2)一般地,解决线段和差最值问题的目标是“化曲为直”,手段通常是遇“和”转化为异侧,遇“差”转化为“同侧”,根据是轴对称和全等三角形,常用方法是利用轴对称图形中的“已知”的对称点涉及的知识点有“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形三边关系”“轴对称”“平移”等【母题多变】变化1:几何与最值点A,B是线段l异侧的两点,点P为l上的一点,则点P使得|PAPB|最大点E在等腰三角形的腰AB上,则点P使得PBPE最小E是AB上的定点,点P在正方形对角线BD上,则点P使得PAPE最小A,B是圆上的两点,点P在直径CD上,则点P使得PAPB最小直线l上的点M,N(M在左,AAl,MNa),使得A

3、MMNNB的值最小mn,直线m,n上的点M,N(MNm,MNAA,MNAA)使得AMMNBN的值最小直线l1,l2上的点M,N,使得四边形PQMN的周长最小点P是角平分线上的动点,M是定点,Q是动点且Q与Q1关于角平分线对称当点P运动到P1时,PMPQ最小点A是l1上的动点,B,P是定点PAAB的值最小A为l1上定点,B为l2上定点点M在l2上,点N在l1上AMMNNB的值最小.变化2:坐标系中的最值点P为x轴上的一点,PAPB最小已知点A,B.点P,Q分别为x轴、y轴上的两点,则四边形ABQP的周长最小PQ与BD平行且点P是直线PQ与抛物线唯一的交点,则以BD为边,另一顶点在BD上方的BDP

4、面积最大点P为抛物线对称轴上的一点,PAPC最小或PAC的周长最小变化3:特殊图形的最值点P是圆O外的定点,A,B是圆O上的动点当点A,O,B,P共线时,PA最小,PB最大AB是过圆O内定点P的弦当OPAB时,AB最小在直线l上,动点P使形如“CPkAP”的值最小(其中sin Bk1).1(2019西藏)如图,在矩形ABCD中,AB6,AD3,动点P满足SPABS矩形ABCD,则点P到A,B两点距离之和PAPB的最小值为( )A2 B2C3 D.2(2019南岸区)如图,AOB20,点M,N分别是边OA,OB上的定点,点P,Q分别是边OB,OA上的动点,记MPQ,PQN,当MPPQQN最小时,

5、则的值为( )A10 B20C40 D603(2019开州区)如图,点E是菱形ABCD对角线BD上任一点,点F是CD上任一点,连结CE,EF.当ABC45,BC10时,CEEF的最小值是( )A10 B10C5 D54(2019陕西)如图,在正方形ABCD中,AB8,AC与BD交于点O,N是AO的中点,点M在BC边上,且BM6.P为对角线BD上一点,则PMPN的最大值为_5如图,在ABC中,AC9,AB12,BC15,P为BC边上一动点,PGAC于点G,PHAB于点H.(1)求证:四边形AGPH是矩形;(2)在点P的运动过程中,GH的长度是否存在最小值;若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理

6、由参考答案【核心母题】由已知可得A(0,4),B(4,0),三角形OAB是等腰直角三角形OCAB,C(2,2) 又P是线段OC上的动点,将线段AP绕点A逆时针旋转45得到线段AP,P的运动轨迹是与x轴垂直的一段线段MN,当线段CP与MN垂直时,线段CP的值最小 在AOB中,AOAN4,AB4,NB44, 又RtHBN是等腰直角三角形,HB42,CP4(42)222.故选A.【深度练习】1A2.C3.C4.25(1)证明:AC9,AB12,BC15,AC281,AB2144,BC2225,AC2AB2BC2,A90.PGAC,PHAB,AGPAHP90,四边形AGPH是矩形(2)解:存在如图,连结AP.四边形AGPH是矩形,GHAP.当APBC时,AP最短91215AP,AP,GH的长度存在最小值为.

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