导引 最值问题

1、真题为纬，由浅入深 探讨此类题目的求解技巧及方法. 一、基础知识点综述一、基础知识点综述 1. 两点之间，线段最短； 2. 垂线段最短； 3. 若 A、 B 是平面直角坐标系内两定点， P 是某直线上一动点， 当 P、 A、 B 在一条直线上时，PAPB 最大，最大值为线段 AB 的长（如下图所示） ； 4. 最短路径模型 （1）单动点模型 作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位 置. 如下图所示，P 是 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值的作图. （2）双动点模型 x y A B l P P O x y A B P A P P 是AOB 内一点，M、N 分别是边 OA、OB 上动点，求作PMN 周长最小值. 作图方法：作已知点 P 关于动点所在直线 OA、OB 的对称点 P、P，连接 PP与动点所在直线的交 点 M、N 即为所求. 5. 二次函数的最大（小）值 2 ya xhk，当 a0 时，y 有最小值 。

2、长为 4 的菱形 ABCD 的对角线，ABC60.点 M 和 N 分别从点 B、C 同时出发，以相同的速度沿 BC、CA 方向向终点 C 和 A 运动，连接AM 和 BN，交于点 P，求点 P 到直线 CD 的最短距离第 1 题图解：(1) 如解图 ，连接 OC 交O 于点 P，点 P 即为所求；第 1 题解图 (2)由题知 BMCN ，在ABM 和BCN 中，CNBMAABMBCN(SAS)，AMBBNC ，又PBM CBN，PBMCBN，BPMBCN 90，APB90，如解图 ，连接 AC、BD 交于点 O，取 AB 中点 E，则以点 E 为圆心，BE 为半径的 即为点 P 的运动路径，连接 EC 交BO BO 于点 F，则点 P 与点 F 重合时，点 P 到点 C 距离最近第 1 题解图 在 RtBCE 中，CE ，BC2 BE2BE AB2，BC4，12CE2 ，5EF BE AB2，12CFCEEF2 2，5。

3、 1 题图(3)如图 ，点 Q 是四边形 ABCD 外一动点，将点 Q 和与点 Q 相邻的两个点连起来，组成一个五边形，且Q2(021，7当点 Q 与点 A、D 构成以Q 为顶角的等腰三角形时，以点 A、B、C 、D 、Q为顶点的五边形的面积最大S 四边形 ABCD S BCD SABD 22 112 12 72 ，72SADQ 最大值 ，（7）24tan 74tan以点 A、B、C 、D、Q 为顶点的五边形的最大面积为 2 .72 74tan2. 问题探究(1)如图 ，过五边形 EBCDF 的边 EF 上的点 P 作矩形 PGCH，使点 G、H 分别在边 BC、CD 上；(2)请在图 的五边形 EBCDF 的边 EF 上取一点 P，过点 P 作正方形 PGCH，使点 G、H 分别在边 BC、CD 上，并说明理由；第 2 题图问题解决(3) 某体育馆拟用如图中的空地紧靠 BC 边及 CD 边建一个矩形的室内场馆，四边形 ABCD 的边 BC60 米，宽 。

4、 1 专题专题 33 最值问题最值问题 在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要 为以下几种： 1.二次函数的最值公式 二次函数yaxbxc 2 （a、b、c 为常数且a 0）其性质中有 若a 0当x b a 2 时，y 有最小值。
y acb a min 4 4 2 ； 若a 0当x b a 2 时，y 有最大值。
y acb a max 4。

5、 专题 05 面积的最值问题 2021 届中考数学压轴大题专项训练（解析版） 1如图三角形 ABC，BC12，AD是 BC边上的高 AD10P，N分别是 AB，AC 边上的点，Q，M 是 BC 上的点，连接 PQ，MN，PN交 AD于 E求 （1）若四边形 PQMN 是矩形，且 PQ：PN1：2求 PQ、PN 的长； （2）若四边形 PQMN 是矩形，求当矩形 PQMN面积最大时，求最大面积和 P。

6、的运动轨迹是与x轴垂直的一段线段MN，当线段CP与MN垂直时，线段CP的值最小【母题解答】【思想方法】(1)最值(或最短路径)问题的背景来源主要有：角、等腰(边)三角形、菱形、正方形以及圆等从内容上看，还会引申到“两线段差最大”问题、三角形(四边形)的周长最小问题、面积最大等除此之外，解决最值问题常常借助极端点(2)一般地，解决线段和差最值问题的目标是“化曲为直”，手段通常是遇“和”转化为异侧，遇“差”转化为“同侧”，根据是轴对称和全等三角形，常用方法是利用轴对称图形中的“已知”的对称点涉及的知识点有“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形三边关系”“轴对称”“平移”等【母题多变】变化1：几何与最值点A，B是线段l异侧的两点，点P为l上的一点，则点P使得|PAPB|最大点E在等腰三角形的腰AB上，则点P使得PBPE最小E是AB上的定点，点P在正方形对角线BD上，则点P使得PAPE最小A，B是圆上的两点，点P在直径CD上，则点P使得PAPB最小直线l上的点M，。

7、 专题十四专题十四 最值及其范围的物理问题最值及其范围的物理问题 一、最值及其范围的物理问题常见类型最值及其范围的物理问题常见类型 1.滑动变阻器接人电路的阻值范围问题 这类问题考查串并联电路的特点和欧姆定律、电功公式、电功率公式的灵活应用，正确的判断滑动变 阻器消耗的最大电功率是关键。
同时要正确分析在什么情况下，滑动变阻器接入电路的电阻最小，在什么 情况下，滑动变阻器接入电路的电阻最大，是需要集。

8、 1 【类型综述】 线段和差的最值问题，常见的有两类： 第一类问题是“两点之间，线段最短” 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”第二类问题是 “两点之间，线段最短”结合“垂线段最短” 【方法揭秘】 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图 1） 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球。

9、示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域关 键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错 【方法揭秘】 由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用 类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边如图 1，已知点 A 的坐标为(3, 4)，点 B 是 x 轴 正半轴上的一个动点，设 OBx，ABy，那么我们在直角三角形 ABH 中用勾股定理，就可以得到 y 关于 x 的函数关系式 类型二，图形的翻折已知矩形 OABC 在坐标平面内如图 2 所示，AB5，点 O 沿直线 EF 翻折后，点 O 的对应点 D 落在 AB 边上，设 ADx，OEy，那么在直角三角形 AED 中用勾股定理就可以得到 y 关于 x 的函数关系式 图 1 图 2 【典例分析】 例 1 如图 1，在 RtABC 中，BAC90 ，B60 ，BC16cm，AD 是斜边 BC 上的高，垂足为 D，BE 1cm，点 M 从点 B 出发沿 BC 方向以 1cm/s 的速度运动，点 N 从点 E 出发，与点 。

10、点M，N，则说明点P在MN上运动，再作A点关于点M的对称点A1，就可得出PAPBPA1PBA1B，则只需求出A1B即可【自主解答】 【方法点拨】对于几何图形最值问题，常用的策略是转化，就是把握点运动的全过程，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，抓住其中的等量关系和变量关系，其次，画出图形，随着点的移动，与之相关的图形也会发生改变，而且点移动到不同的位置，我们要研究的图形可能会改变当一个问题是确定图形的变量之间关系时，通常建立函数模型求解，当确定图形之间的特殊位置关系或一些特殊值时，通常建立方程模型求解在解题时，常常需要作辅助线帮助理清思路，然后利用直角三角形或圆的有关知识解题如本题，作辅助线，利用轴对称的性质将问题转化为三角形中两边之和大于第三边，当P点在A1B上时，PAPB取得最小值【难点突破】本题的突破口是根据SPABS矩形ABCD推出P点的运动轨迹是在平行于AB的线段上，从而想到利用轴对称将问题转化1如图，在RtAOB中，OAOB3，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作圆O的一条切线PQ(点。

11、或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面” （如图 2） 两条线段差的最大 值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长如图 3，PA 与 PB 的差的最大值就是 AB，此时点 P 在 AB 的延长线上，即 P解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题图 1 图 2 图 3如图 4，正方形 ABCD 的边长为 4，AE 平分BAC 交 BC 于 E点 P 在 AE 上，点 Q 在 AB 上，那么BPQ周长的最小值是多少呢？如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE 是河流，但是点 Q 不确定啊第一步，应用“两点之间，线段最短”如图 5，设点 B 关于“河流 AE”的对称点为 F，那么此刻 PFPQ 的最小值是线段 FQ第二步，应用“垂线段最短” 如图 6，在点 Q 运动过程中，FQ 的最小值是垂线段 FH这样，因为点 B 和河流是确定的，所以点 F 是确定的，于是垂线段 FH 也是确定的图 4 。

12、理、变形，根据要求写出定义域关 键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错 【方法揭秘】 由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用 类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边如图 1，已知点 A 的坐标为(3, 4)，点 B 是 x 轴 正半轴上的一个动点，设 OBx，ABy，那么我们在直角三角形 ABH 中用勾股定理，就可以得到 y 关于 x 的函数关系式 类型二，图形的翻折已知矩形 OABC 在坐标平面内如图 2 所示，AB5，点 O 沿直线 EF 翻折后，点 O 的对应点 D 落在 AB 边上，设 ADx，OEy， 那么在直角三角形 AED 中用勾股定理就可以得到 y 关于 x 的函数关系式 图 1 图 2 【典例分析】 例 1 如图 1，在 RtABC 中，BAC90 ，B60 ，BC16cm，AD 是斜边 BC 上的高，垂足为 D，BE 1cm，点 M 从点 B 出发沿 BC 方向以 1cm/s 的速度运动，点 N 从点 E 出发，与点 M 同时同方向以。

13、值；但当时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
3. 判别式法根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。
4.构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。
5. 利用非负数的性质在实数范围内，显然有，当且仅当时，等号成立，即的最小值为k。
6. 零点区间讨论法用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。
7. 利用不等式与判别式求解在不等式中，是最大值，在不等式中，是最小值。
8. “夹逼法”求最值在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。
专题典型题考法及解析 【例题1】（经典题）二次函数y=2（x3）24的最小值为 【答案】4【解析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答。

14、值；但当时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
3. 判别式法根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。
4.构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。
5. 利用非负数的性质在实数范围内，显然有，当且仅当时，等号成立，即的最小值为k。
6. 零点区间讨论法用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。
7. 利用不等式与判别式求解在不等式中，是最大值，在不等式中，是最小值。
8. “夹逼法”求最值在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。
专题典型题考法及解析 【例题1】（经典题）二次函数y=2（x3）24的最小值为 【例题2】（2018江西）如图，AB是O的弦，AB=5，点C是O上的一个动点，且。

15、分成多少组？这时，人数最少的那组有多少人？3有 11 个同学计划组织一场围棋比赛，他们准备分为两组，每组进行单循环比赛，那么他们最少需要比赛多少场？4我们知道，很多自然数可以表示成两个不同质数的和，例如 8 = 3 + 5有的数有几种不同的表示方法，例如 100 = 3 + 97 =11 + 89 =17 + 83.请问：恰好有两种表示方法的最小数是多少？5一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？商最小是多少？6(1)在分母是一位数的最简真分数中，两个不相等的分数最小相差多少？(2)从 1 至 9 中选取四个不同的数字填人算式 中，使算式的结果小于 1这个结果最 大是多少？7如图 16-1，等腰直角三角形 ABC 中，CA = CB = 4 厘米，在其中作一个矩形 CDEF，矩形 CDEF 的面积最大可能是多少？8如图 16-2，从一个长方形的两个角上挖去两个小长方形后得到一个八边形，这个八边形的边长恰好为 1、2、3、4、5、6、7、8 这 8 个数，它的面积最大可能是多少？9在 44 的方格表中将一些方格染成黑色，使得任意两个黑格都没有公共顶。

16、实数的值为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C 在上单调递减，在上单调递增，即对任意恒成立，同理可证：对任意恒成立，即，故选C学#【举一反三】【2019福建福州第一学期质量抽测】已知函数，对于任意，恒成立，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】A类型二 消元法例2【2019四川攀枝花期末考】已知函数，若方程有四个不等实根，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A B C D【答案】B【解析】当2x4时，04x2，所以f（x）f（4x）|ln（4x）|，由此画出函数f（x）的图象，由题意知，f（2）ln2，故0mln2，且x1x2x3x4，x1+x4x2+x34，x1x21，（4x3）（4x4）1，由，可知，得，设tx1+x2，则，又在上单调递增，所以，即，实数的最大值为，故选B*网【解题秘籍】题设条件中变量较多，但可以把看成整体，从而把问题转化为。

17、或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面” （如图 2） 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长如图 3，PA 与 PB 的差的最大值就是 AB，此时点 P 在 AB 的延长线上，即 P解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题图 1 图 2 图 3如图 4，正方形 ABCD 的边 长为 4，AE 平分BAC 交 BC 于 E点 P 在 AE 上，点 Q 在 AB 上，那么BPQ周长的最小值是多少呢？如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE 是河流，但是点 Q 不确定啊第一步，应用“两点之间，线段最短”如图 5，设点 B 关于“河流 AE”的对称点为 F，那么此刻 PFPQ 的最小值是线段 FQ第二步，应用“垂线段最短” 如图 6，在点 Q 运动过程中，FQ 的最小值是垂线段 FH这样，因为点 B 和河流是确定的，所以点 F 是确定的，于是垂线段 FH 也是确定的图 4 。

18、同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有（  ）A4 个    B5 个    C6 个    D7 个3跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度 （单位： ）与水平距离 （单位： ）近似满足函数关系 （ ） 下图记录了某运动员起跳后的 与 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为A     B     C     D 4如图，平面直角坐标系中，P 经过三点 A（8，0 ） ，O（0 ，0） ，B（0，6） ，点 D 是P 上的一动点当点 D 到弦 OB 的距离最大时，tan BOD 的值是（  ）A2     B3 &。

19、D 对折后再展开，得到折痕EF，M 是 BC 上一点，沿着 AM 再次折叠纸片，使得点 B 恰好落在折痕 EF 上的点 B处，连接 AB，BB判断AB B 的形状为 ；若 P 为线段 EF 上一动点 ，当 PB+PM 最小时，请描述点 P 的位置为 解：等边三角形； 与 的交点EFA三、解答题3.（2018 北京通州区一模）MBFEDBACFEDABC MBFEDBAC答案：4. （2018 北京房山区一模） 抛物线 分 别交 x 轴于点 A（ 1,0） ，23yaxb=+-C（3，0） ，交 y 轴于点 B，抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 D. 点 P 为线段 OB 上的点，点 E 为线段 AB 上的点，且 PE AB.（1）求抛物线的表达式；（2）计算 的值；PEPB（3）请直接写出 的最小值为 .12PB+PD解：（1）抛物线经过点 A（ 1,0） ，C（3，0） ， 1 分93ab。

20、第第 23 讲讲 最值问题一最值问题一 兴趣篇兴趣篇 1、3 个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少？ 2、用 1、2、4 可以组成 6 个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最小的两个数之差是多少？ 3、用 24 根长 1 厘米的火柴棒围成一个矩形，这个矩形的面积最大是多少？如果用 22 根火柴棒呢？ 4、三个自然数的和是 19，它们的乘积最大可能是多少？ 5、 （1）请将 。