1、含参二次函数类型一 函数类型确定型1. 已知抛物线 y3ax 22bxc.(1)若 a3k，b5k，ck 1，试说明此类函数图象都具有的性质；(2)若 a ，c 2b，且抛物线在2x 2 区间上的最小值是3，求 b 的13值；(3)若 ab c1，是否存在实数 x，使得相应的 y 值为 1，请说明理由解：(1) a3k ，b5k ，ck1，抛物线 y3ax 22bxc 可化为 y9kx 210kxk1(9x 210x1)k1，令 9x210x 10，解得 x1 1，x 2 ，19图象必过点( 1，1) ，( ，1)，19对称轴为直线 x ；10k29k59(2)a ，c 2b，13抛物线 y3
2、ax 22bxc 可化为 yx 22bx2b，对称轴为直线 x b，2b2当b2 时，即 b2，x2 时，y 取到最小值为3.44b2b3，解得 b (不符合题意，舍去) ，当b295时即 b2，x2 时，y 取到最小值为3.44b2b3，解得 b3；当2b2 时，即2b2，当 xb 时，y 取到最小值为3， 3，4（2 b） 4b24解得 b1 (不符合题意，舍去)，b 2 ，1 2121 212综上所述，b3 或 ；1 212(3)存在理由如下：abc1，c1ab，令 y1，则 3ax22bxc1.4b 24(3a)(c1)4b 24(3a)(ab)9a 212ab4b 23a 2(3a2
3、b) 23a 2，a0，(3a2b) 23a 20，0，必存在实数 x，使得相应的 y 值为 1.2. 在平面直角坐标系中，一次函数 ykxb 的图象与 x 轴、y 轴分别相交于 A(3， 0)、B(0 ，3)两点，二次函数 yx 2mxn 的图象经过点 A.(1)求一次函数 ykxb 的表达式；(2)若二次函数 yx 2mxn 的图象顶点在直线 AB 上，求 m，n 的值；(3)设 m2，当3 x0 时，求二次函数 yx 2mxn 的最小值；若当3x 0 时，二次函数 yx 2mx n 的最小值为4，求 m，n 的值解：(1) 将点 A(3，0)，B(0，3)代入 y kxb 得，解得 .
4、3k b 0b 3 ) k 1b 3)一次函数 ykxb 的表达式为 yx 3；(2)二次函数 yx 2mxn 的图象顶点坐标为( ， )，m24n m24顶点在直线 AB 上， 3，4n m24m2又二次函数 yx 2mx n 的图象经过点 A(3，0) ，93m n0，组成方程组为 ，4n m24 m2 39 3m n 0)解得 或 ；m 4n 3) m 6n 9)(3)当 m2 时，由(2) 得 93mn0，解得 n15，yx 22x15.二次函数对称轴为直线 x1，在3 x0 右侧，当 x0 时，y 取得最小值是15.二次函数 yx 2mxn 的图象经过点 A，93m n0，二次函数
5、yx 2mxn 的对称轴为直线 x ，m2i)如解图 ，当对称轴3 0 时，最小值为 4，联立 m24n m24，4n m24 49 3m n 0)解得 或 (由3 0 知不符合题意舍去 )m 2n 3) m 10n 21) m2 ；m 2n 3)ii)如解图，当对称轴 0 时，3x0 ，当 x0 时，y 有最m2小值为4，把(0 ， 4)代入 yx 2mxn，得 n4，把 n4 代入 93mn0，得 m .53 0，m2m 0，此种情况不成立；iii)当对称轴 0 时，y x 2mxn 当 x0 时，取得最小值为m24，把(0 ， 4)代入 yx 2mxn 得 n4，把 n4 代入 93mn
6、0，得 m .53 0，m2m 0，此种情况不成立；iiii)当对称轴 3 时， 3x0 ，当 x3 时，y 取得最小值m24， 当 x3 时， y0，不成立综上所述，m2，n3.第 2 题解图3. 在平面直角坐标系中，二次函数 y1x 2 2(k2) xk 24k5.(1)求证：该二次函数图象与坐标轴仅有一个交点；(2)若函数 y2kx3 经过 y1图象的顶点，求函数 y1的表达式；(3)当 1x3 时，二次函数的最小值是 2，求 k 的值(1)证明： b24ac 4(k 2) 24(k 24k 5)40，二次函数与坐标轴仅有一个交点；(2)解： y1( xk2) 21，函数 y1的顶点坐标
7、为(2k，1) ，代入函数y2kx 3 得(2k)k31，解得 k1 或 k1 ，3 3y1x 22( 1) x52 或 y1x 22( 1)x 52 ；3 3 3 3(3)解： 当对称轴 x 2k 1 时，k1，b2a当 x1 时， y1取得最小值 2，即 12(k2)k 24k52，解得 k0(舍去 )或 k2；当对称轴 12k3 时，1k1，当 x2k 时，最小值恒为 1，无解；当对称轴 x2k 3 时，k1，当 x3 时， y1取得最小值 2，即 96(k2)k 24k52，化简得 k22k 0，解得 k0(舍去) 或k2.综上所述，k 的值为 2 或2.4. 已知二次函数 yax 2
8、bx c(a0) 的图象经过 A(1，1)、B (2，4)和 C 三点(1)用含 a 的代数式分别表示 b、c ；(2)设抛物线 yax 2bxc 的顶点坐标为(p ，q)，用含 a 的代数式分别表示 p、q；(3)当 a0 时，求证：p ，q1.32(1)解： 二次函数 yax 2bxc 的图象经过 A(1，1)、B(2 ，4)两点， ，1 a b c4 4a 2b c)化解得 33ab，b33a，1a33ac，c2a2；(2)解：由 (1)得 b3 3a，c2a2，p ；b2a 3a 32aq ；4a（2a 2） （3 3a）24a a2 10a 94a(3)证明： a0， 0，32ap
9、；3a 32a3232a32 0， （a 3）24aq 11. a2 6a 94a4a4a （a 3）24a5. 已知抛物线 y1ax 2bxc (a0，ac )过点 A(1，0) ，顶点为 B，且抛物线不经过第三象限(1)用含 a、 c 的代数式表示 b；(2)判断点 B 所在象限，并说明理由；(3)若直线 y22xm 经过点 B，且与该抛物线交于另一点 C( ，b8)，求ca当 x1 时， y1的取值范围解：(1) 抛物线 y1ax 2bxc(a0 ，ac)经过点 A(1，0) ，把点 A(1， 0)代入即可得到 abc 0，即 bac；(2)点 B 在第四象限理由如下：抛物线 y1ax
10、2bxc(a0 ，ac)过点 A(1，0)，抛物线 y1与 x 轴至少有 1 个交点，令 ax2bx c0，x1x2 ，cax11，x 2 ， ac，ca抛物线与 x 轴有两个不同的交点，又抛物线不经过第三象限，a0，且顶点 B 在第四象限；(3)点 C( ， b8)在抛物线上，ca令 b80，得 b8，由(1)得 a cb，ac8，把 B( ， )、C( ，b8)两点代入直线解析式得b2a4ac b24aca，4ac b24a 2（b2a） mb 8 2ca ma c 8 )解得 或 (ac，舍去)，a 2b 8c 6m 6) a 4b 8c 4m 2)如解图所示，C 在 A 的右侧，当 x
11、1 时，y 1 2.4ac b24a第 5 题解图6. 在平面直角坐标系中，设二次函数 y1ax 22ax3(a0)(1)若函数 y1的图象经过点(1，4)，求函数 y1的表达式；(2)若一次函数 y2bxa(b0) 的图象经过 y1图象的顶点，探究实数 a，b满足的关系式；(3)已知点 P(1，m) 和 Q(x0，n) 在函数 y1的图象上，若 mn，求 x0的取值范围解：(1) 二次函数 y1ax 22ax3 的图象经过点( 1，4)，4a2a3，a1，函数 y1的表达式为 y1x 22x3；(2)y1ax 22ax3a(x1) 23a，y1图象的顶点坐标为( 1，3a)一次函数 y2bx
12、 a(b0) 的图象经过 y1图象的顶点，3aba，实数 a、b 满足的关系式为 b2a3；(3)二次函数 y1ax 2 2ax3 的图象的对称轴为直线 x 1，2a2a当 mn 时，x 03.当 a0 时，如解图所示，第 6 题解图m n，3x 01 ；当 a0 时，如解图所示，m 0，x 03 或 x01.综上所述：x0的取值范围为 . 3 x0 1 （a 0）x0 3或 x0 1 （a 0）)类型二 函数类型不确定型1. 已知函数 y(n1)x mmx1n(m，n 为实数) (1)当 m，n 取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与 x 轴有交点吗？请判断并说明理由；(2)若它是
13、一个二次函数，假设 n1，那么：当 x0 时， y 随 x 的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；它一定经过哪个点？请说明理由解：(1) 当 m1，n2 时，函数 y(n1)x mmx1n(m，n 为实数)是一次函数，它一定与 x轴有一个交点，当 y0 时，(n1) xmmx1n0，x ，n 1n 2函数 y(n1) xmmx1n( m，n 为实数 )与 x 轴有交点；当 m2，n1 时，函数 y(n1)x mmx1n(m ，n 为实数)是二次函数，当 y0 时， (n1)x mmx1n0，即(n 1)x2 2x1n0，2 24(n1)(1 n)4n 20，函数 y(n1) xmmx1
14、n( m，n 为实数 )与 x 轴有交点；当 n1，m0 时，函数 y(n1)x mmx1n 是一次函数，当y0 时，x ，n 1m函数 y(n1) xmmx1n( m，n 为实数 )与 x 轴有交点；(2)假命题，若它是一个二次函数，则 m2，函数 y(n1)x 22x1n，n1，n10，抛物线开口向上，对称轴：x 0，b2a22（n 1）1n 1对称轴在 y 轴左侧，当 x0 时，y 可能随 x 的增大而增大，也可能随 x 的增大而减小，故为假命题；它一定过点(1，4) 和( 1，0)，理由如下：当 x1 时， yn1 21n4.当 x1 时， y0.它一定经过点(1 ，4) 和( 1，0
15、)2. 设函数 ykx 2(2k1) x1(k 为实数)(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并且在同一坐标系中，用描点法画出它们的图象；(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数 k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；(3)对于任意负实数 k，当 xm 时，y 随 x 的增大而增大，试求 m 的取值范围第 2 题图解：(1) 令 k0，k1，则这两个函数为 yx1，y x 23x1，描点法画函数图象如解图所示；第 2 题解图(2)不论 k 取何值，函数 ykx 2(2k 1)x1 的图象必过定点(0，1) ，(2，1)，且与 x 轴至少有 1 个交点证明：当 x0 时，y 1
16、；当 x2 时，y1.函数图象必过(0 ，1) ，( 2，1)；当 k0 时，函数为一次函数， yx1 的图象是一条直线，且与 x 轴有一个交点；当 k0 时，函数为二次函数，ykx 2(2k1)x 1 的图象是一条抛物线(2k1) 24k1 4k24k14k4k 210，抛物线 ykx 2(2k 1)x1 与 x 轴有两个交点综上所述，函数 ykx 2(2k1) x1(k 为实数 )与 x 轴至少有一个交点；(3)k0，函数 ykx 2(2k1)x1 的图象在对称轴直线 x 的左侧时，2k 12ky 随 x 的增大而增大根据题意，得 m ，2k 12k而当 k0 时， 1 1，2k 12k1
17、2km 1.3. 已知函数 ykx 2( 3k )x4.43(1)求证：无论 k 为何值，函数图象与 x 轴总有交点；(2)当 k0 时，A( n3，n7)、B (n1，n7)是抛物线上的两个不同点求抛物线的表达式；求 n 的值(1)证明：当 k0 时，函数为一次函数，即 y x4，与 x 轴交于点(3，0)；43当 k0 时，函数为二次函数，( 3k) 24k( 4)(3 k )20，4343函数与 x 轴有一个或两个交点；综上可知，无论 k 为何值，函数图象与 x 轴总有交点；(2)解： 当 k0 时，函数 ykx 2( 3k )x4 为二次函数，43A(n3，n7)、B( n1，n7)是
18、抛物线上的两个不同点，抛物线的对称轴为直线 x 1，n 3 n 12 1，43 3k2k解得 k ，415抛物线的表达式为 y x2 x4；415 815(n3， n7)是抛物线 y x2 x4 上的点，415815n7 (n3) 2 (n3) 4，415815解得 n1 ，n 23.1944. 已知 y 关于 x 的函数 y(k1) x22kx k2 的图象与 x 轴有交点(1)求 k 的取值范围；(2)若 x1，x 2是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，且满足(k 1)x 2kx 2 k24x 1x2.21求 k 的值；当 kxk2 时，请结合函数图象确定 y 的最大值和最小值解：(1)
19、 当 k1 时，函数为一次函数 y2x3，其图象与 x 轴有一个交点当 k1 时，函数为二次函数，其图象与 x 轴有一个或两个交点，令 y0 得(k1)x 22kxk20.(2k) 24(k1)(k2)0 ，解得 k2.即 k2 且 k1.综上所述，k 的取值范围是 k2.(2)x1x2，由(1)知 k2 且 k1，函数图象与 x 轴有两个交点，由题意得( k1) x (k2)2kx 1，21将代入 (k1)x 2kx 2k24x 1x2中得：212k(x1x 2)4x 1x2.令(k 1)x 22kxk20，则 x1x 2 ，x 1x2 ，2kk 1 k 2k 12k 4 .2kk 1 k
20、2k 1解得 k1 1，k 22( 不合题意，舍去)所求 k 的值为1；第 4 题解图如解图，k1， y2x 22x12( x )2 .1232且1x1.由图象知：当 x1 时，y 最小 3；当 x 时，y 最大 .1232y 的最大值为 ，最小值为3.325. 设函数 y1(xk )2k 和 y2( xk) 2k 的图象相交于点 A，函数 y1，y 2的图象的顶点分别为 B 和 C.(1)画出当 k0，1 时，函数 y1，y 2在直角坐标系中的图象；(2)观察 (1)中所画函数图象的顶点位置，发现它们均分布在某个函数的图象上，请写出这个函数的解析式，并说明理由；(3)设 A(x，y )，求证
21、： x 是与 k 无关的常数，并求 y 的最小值第 5 题图(1)解：画出图象如解图所示；第 5 题解图(2)解： 当 k0 时，函数 y1y 2x 2的顶点为 (0，0)，当 k1 时，函数 y1 (x1) 21 的顶点为(1，1) ，函数 y2(x1) 21 的顶点为(1，1)，它们的顶点都在直线 yx 的图象上，因为它们的坐标均满足解析式yx ；(3)证明：令(xk )2k(xk) 2k ，整理得 4kx2k，函数 y1(xk )2k 和 y2(xk )2k 的图象相交于点 A，k0，解得 x ，12x 是与 k 无关的常数；此时 y( k )2k k 2 ，即 y 的最小值为 .12141414
