1、专题四三角形与四边形中的证明与计算类型一 三角形中的证明与计算 (2018宁波)如图，在ABC中，ACB90，ACBC，D是AB边上一点(点D与A，B不重合)，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE，连结DE交BC于点F，连结BE.(1)求证：ACDBCE；(2)当ADBF时，求BEF的度数【分析】(1)利用SAS定理证明ACDBCE；(2)利用全等三角形性质求角度【自主解答】1(2018台州)如图，在RtABC中，ACBC，ACB90，点D，E分别在AC，BC上，且CDCE.(1)如图1，求证：CAECBD；(2)如图2，F是BD的中点，求证：AECF；(3)如图3，F，
2、G分别是BD，AE的中点，若AC2，CE1，求CGF的面积类型二 四边形中的证明与计算 (2019余杭区二模)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB上，且DEDF，连结AC，分别交DE，DF于点M，N.(1)求证：ADFCDE；(2)设DMN和AFN的面积分别为S1和S2.若ADFEDF，求S2S1的值；若S22S1，求tanADF.【分析】(1)根据HL证明三角形全等即可(2)作NHAB于H.设FHa.利用参数表示S2，S1即可作NHAB于H.易证ADFHNF，设tanADFtanFNHk，设NHAHb，则FHkb，利用面积关系构建方程求出k即可解决问题【自主解答】2(2017宁
3、波)在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至E，F，G，H，使得AECG，BFDH，连结EF，FG，GH，HE.(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；(2)若矩形ABCD是边长为1的正方形，且FEB45，tanAEH2，求AE的长3(2017绍兴)如图1，已知ABCD，ABx轴，AB6，点A的坐标为(1，4)，点D的坐标为(3，4)，点B在第四象限，点P是ABCD边上的一个动点(1)若点P在边BC上，PDCD，求点P的坐标(2)若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q
4、落在直线yx1上，求点P的坐标(3)若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标(直接写出答案)参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 (1)由题意可知，CDCE，DCE90，ACB90，ACDACBDCB，BCEDCEDCB，ACDBCE.在ACD和BCE中，ACDBCE(SAS)(2)ACB90，ACBC，A45.由(1)可知CBEA45.ADBF，BEBF，BEF67.5.跟踪训练1(1)证明：在ACE和BCD中，ACEBCD，CAECB
5、D.(2)证明：如图，设AE与CF交于点M.在RtBCD中，点F是BD的中点，CFBF，BCFCBF.由(1)知，CAECBD，BCFCAE，CAEACFBCFACFACB90，AMC90，AECF.(3)解：如图，AC2，BCAC2.CE1，CDCE1，在RtBCD中，根据勾股定理得BD3.点F是BD的中点，CFDFBD.同理EGAE.连结EF，过点F作FHBC，ACB90，点F是BD的中点，FHCD，SCEFCEFH1.由(2)知，AECF，SCEFCFMEMEME，ME，ME，GMEGME，SCFGCFGM.类型二【例2】 (1)四边形ABCD是正方形，ABBCCDAD，DAFDCEAD
6、C90.DFDE，RtADFRtCDE.(2)如图，作NHAB于H.设FHa.RtADFRtCDE，ADFCDE.又ADFEDF，ADFEDFCDE30，AFD60.NHF90，FNH30，HNa.NAH45，AHN90，NAHANH45，HAHNa，AF(1)a，ADAF(3)a，S2AFNH(1)aaa2.ADNCDM，ADDC，DANDCM45，ADNCDM，SADNSDCM，S1SADC2SADN(3)a22(3)aa3a2，.(3)如图，FHNFAD90，HNAD，ADFHNF.设tanADFtanFNHk，设NHAHb，则FHkb，AFbkb，ADb，S2(1k)b2，S1SADC
7、2SADN(b)22bb.S22S1，(1k)b22(b)22bb，整理得k22k20，解得k1或1(舍弃)，tanADFk1.跟踪训练2(1)证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，BADBCD90.BFDH，AHCF.在RtAEH中，EH，在RtCFG中，FG.AECG，EHFG.同理EFHG，四边形EFGH为平行四边形(2)解：在正方形ABCD中，ABAD1，设AEx，则BEx1，在RtBEF中，BEF45，BEBF.BFDH，DHBEx1，AHADDHx2.在RtAEH中，tanAEH2，AH2AE，2x2x，解得x2，AE2.3解：(1)CD6，点P与点C重合，点P坐标为(3，4)(2
8、)当点P在边AD上时，直线AD的解析式为y2x2，设P(a，2a2)，且3a1，若点P关于x轴的对称点Q1(a，2a2)在直线yx1上，2a2a1，解得a3，此时P(3，4)若点P关于y轴的对称点Q2(a，2a2)在直线yx1上时，2a2a1，解得a1，此时P(1，0)；当点P在边AB上时，设P(a，4)且1a7，若点P关于x轴的对称点Q3(a，4)在直线yx1上，4a1，解得a5，此时P(5，4)若点P关于y轴的对称点Q4(a，4)在直线yx1上，4a1，解得a3，此时P(3，4)综上所述，点P的坐标为(3，4)或(1，0)或(5，4)或(3，4)(3)点P坐标为(2，4)或(，3)或(，4)或(，4)
